重邮-信号与系统课件

§3.9周期信号的变换正余弦信号的一般周期信号的变换FT变换

级数FS与其单脉冲的傅立叶变换FT的关系一、正余弦信号的 变换0

1

)]

F

(0FT[

f

(t)e1j

tF0

()

FT[1]

2()112()([1)]1

([e][c1

os

ejjtt

1

)]FT

t

FT)]1111[()(1)]jFT

t

FT[][s(in

ejejtt

12

jFT[cos1

t]

[

(

1

)

(

1

)]FT[sin

1

t]

j[

(

1

)

(

1

)]

(

1

)

(

1)110jF

(

)

(

1

)1

10

(

1)二、一般周期信号的变换n

nF

e1f

(t

)

jn

tTnT11221f

(t)e

dt1T]jn

t

jn1tn

1Fn

2

Fn

(

n1

)nF

FT

[eFT[

f

(t)]

FT[

f

(t)]

2

Fn

(

n1

)n由一些冲激组成离散频谱冲激位于谐频处大小不是有限值，而是冲激函数，冲激的强度为Fn的2

倍(0,1,21,)周期信号的

变换存在条件周期信号不满足绝对可积条件;引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的;在以上意义下，周期信号的

变换是存在的;周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，即

变换是一系列冲激.f

(t)e

jωt

dt取f

(t)的一个周期f0

(t)，若f0

(t)

F0

(ω)则22122100F

(ω)

TT1

T1Tf

(t)e

jωt

dt

1tωdtTTjn

tωn

n11T121

21)e(tfjnn)(

,其中FeFtf若

tf)为(

周期信号，由

级数知：三、周期性脉冲序列级数FS与其单脉冲的

变换FT的关系

nn

T

F

F

(

)例一：求周期单位冲激序列的FS与FT

T

(t)nnTF

e1

n

(t

nT

)

(t)

（1）求FS：1jn

tTF

T

T

jn

t

(t)e dt

T

TTT

T

jn

t

(t)e dt

ne

jn1tT

(t)

T1

n11TtFn01112

1T1（2）求FT：

nn

nnjn

tjn

tT

(t)

eTF

e

(t

nT

)

(

n

)T

(t)

nTn)T

(t)T1t02111

211

(t)t(1)0T(t)0F0

()11TtFn01112

1T1FS02111

211FT1

(

n1

)n例二：周期矩形脉冲的FS和FTF0

()E20FTT12EnFFSE1FTEf0

(t)

2

0

2t周期重复T1T1Ef

(t)t

2

0F

(

)

ESa

1T1

2Tn

0

E

Sa(

n1

)F

1

F

(

)

n11.e12T1jn

tn

nf

(t)

E

Sa211n

Sa

(

n

)F

()

E1

nFSFT1n

0T

n1F

1

F

(

)单脉冲和周期信号的变换的比较单脉冲的频谱F0

()是连续谱，它的大小是有限值；周期信号的谱F()是离散谱，含频谱密度概念，它的大小用冲激表示；F

()的包络是F0

()的包络倍。§3.10

抽样信号的变换时域抽样冲激抽样矩形抽样频域抽样抽样过程方框图：连续信号f(t)抽样信号fs(t)抽样量化编码抽样脉冲p(t)问题的提出：抽样后离散信号的频谱是什么样的？它与未被抽样的连续信号的频谱有什么关系？连续信号被抽样后，是否保留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从抽样的信号还原出原始信号？数字信号一.时域抽样设：f

(t)

F(),p(t)

P(),fs

(t)

Fs

()×抽样后信号：fs抽(t)样器f

(的t)

p数(t学)

模型st

dtT

jnp(t)eTsnp(ts)nsnP()

2

P

(

n

),

其中P

p(t)为周期信号f，(t)周期为Ts，有：fs(t)Ts221s2Pn

F

(

ns

)

F

()

1

F

()

*

P()

nsTssTTss1p(t)e1

s2P

n

jn

tP()

2时域抽样域周期重复0ns(

)sdt

Ts若p(t)为冲激序列时，有：

频FTPP(()

n

)1.冲激抽样f

(t)t0

P(t)(1)0Tsf

(t)st相乘0t01FT相卷

ss0sF

()12TsFT信号在时域被冲激抽样后，其频谱Fs(ω)是原信号的频谱F(ω)以抽样频率ωs为间隔周期重复而得到的。在重复过程中，F(ω)幅度被抽样脉冲p(t)的

系sn

ssTF

(ω

nω

)P

F

(ω

nω

)

1

F

(ω)

s

nn数所

，冲激序列的系数取决于抽样脉冲序列的形状。由于系数为常数，所以冲激抽样后的频谱是将原信号的频谱F(ω)以ωs为周期等幅地重复。抽样前01抽样后s

s0Fs

()Ts1p(t)0tTsss

0sTT

jn

tsnnSaTE

ns

TP

s

ssp(t)e

dt

FP(T)

Pn

(Ens

s

)若p(t)为2矩

形抽样脉冲时，2有2.矩形脉冲抽样f

(t)0t乘f

(t)s0tFT0P(

)10s

s2

2sE

/

TFT卷Fs

()当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时，抽样后的信号频谱包

括有原信号的频谱以及无限个经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率ωs及其各次谐波频率,且平移后的频谱幅值随频率而呈Sa函数分布。sssnsSaTn

EF(

n

)

sP

F(

n

)

F

()

nn抽样前01抽样后0s

s2

2E

/

TsFs

()二、频域抽样1T1T1T1IFT

(t)

1nn

(t

tnT

)

n

FT

[

(

n0

)]

(

n

)

(t

nT

)]

FT[f

(t

nT

)

1

f

(t)*f

(t)11

n1

n1

(t

nT1

)F1

(n)

F

()

()0

(

)(1)11

1F

()11

相乘f

(t)0tIFT111

f

(t)0tIFT卷积11T11T分析表明：若f(t)的频谱F(ω)被间隔为ω1的冲激序列在频域中抽样，则在时域中等效于f(t)以时间T1为间隔周期重复。周期信号的频谱是离散的频域抽样对应时域周期重复f

(t)0t1f1(t)0t11T1T1时域理想抽样与频域理想抽样f(t)以Ts

时间间隔抽样：F(ω)以ωs为周期重复F(ω)以ωs频率间隔抽样：f(t)以Ts

为周期重复例：求周期矩形信号冲激抽样后信号的频谱t02

2T11Tfs

(t)E抽样间隔为Ts1E22

t02

1

211

11SaT2πEτTδ(ω

nω

)

nω

τ

F

(ω)

1

Eτ

nω1τ

TF

(ω)

|

Fn

n0

ωnω周期矩形脉冲信号：时域先重复后抽样

2

0单脉冲信号：F

(

)

ESa

21111

1sSaT

Tn

(

n

m

)Sa

Fs

()

T

F1

(

ms

)

2E

1

s

m

ns

m周期矩形脉冲信号抽样后：t0

2

21T1Tf

(t)sEs抽样间隔为TTs

Ts

22

22

1频域先抽样后重复T1T§3.11抽样定理时域抽样定理频域抽样定理一个频率受限信号f

(t),如果频谱只占据的范围，则信号

f

(t)

可以用等间隔的抽样值f(nTs)来唯一地表示。而抽样间隔

Ts

1/(2

fm

)，或者说抽样频率：fs

2

fm

(s

2m

)m

m（一）时域抽样定理——fs

fm奈 频率：奈 间隔:Ts

/

fm

/m抽样定理说明：0f

(t)tsT0tsTsF

(

)0

sssTFs

()0Ts1

s

mFs

(

)0ss1s

mTs1s

2m0f

(t)tsf

(t)Ts

2ms

2mTstTsh(t)Tsf(t)卷积Fs(ω)ωmωsTsωcH(ω)相乘F(ω)ωm由抽样信号恢复原连续信号fs(t)c

ms

2m

nTs

)]

Ts

c

f

(nf

(t)

fs

(t)*

h(t)ccsSa(

t)h(t)

Ts

ftf(nF

()

Fs

()H

()取主频带

:时域卷积定理：由抽样信号恢复原连续信号（二）、频域抽样定理若信号为时限信号，它集中的时间范围内，若在对的频率间隔进行抽样，f

(t)在

tm

tmm频域中，以fs

12tf

(t)的频谱F()则抽样后的频谱F(ns

)可以唯一地表示原信号。抽样定理小结频域对F

(

)抽样等效于时域对

f

(t)重复，频域抽样间隔不大于。满足抽样定理，则不会产生混叠。12tmm时域对

f

(t)抽样等效于频域对

F

(

)

重复，时域抽样间隔不大于

12

f

。▁▁▁▁间隔为是▁▁▁s.率应选为100

Hz，奈

100课堂练习：1.信号Sa(100t)的频谱所占的带宽（只计正频率）是▁50

▁Hz.若对它进行冲激抽样，为了使抽样信号频谱不产生混叠，则最低抽样频2.对一最高频率为400Hz的带限信号f(t)抽样，要使抽样信号通过一理想低通滤波器后，能完全

恢复出f(t)抽样间隔应满足什么条件？若以T=1ms抽样，理想低通滤波器的截止频率应满足什么条件？

1.25ms2

f解：(1)

fs

2

fm

800HzmsT

1(2)若Ts

1ms则抽样

400

400

6001400f易知:

fm

fc

fs

fm

400Hz

fc

600Hzp172

:

3

4120001

1100011240002000G

(

)*

G

(

)1

22

1000

2000FT[

f

(t)

f

(t)]

14000G

(

)2f

(t)

Sa(2000t)

2000G

(

)1f

(t)

Sa(1000t)

2m(1)

G

(t)

Sa(

)mm

Sa(

t)

G

(

)G

(ω