概率论与数理统计：第六章 样本及抽样分布2

6.2抽样分布6.2.1统计量

1、定义由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来。这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。它是完全由样本决定的量。定义（统计量）：请注意：2、常见统计量（1）样本平均值它反映了总体均值的信息（2）样本方差它反映了总体方差的信息（3）样本标准差它反映了总体k阶原点矩的信息（4）样本k阶原点矩（5）样本k阶中心矩它反映了总体k阶中心矩的信息3、统计量的观察值注意：这就是矩估计法的理论依据。辛钦定理6.2.2常用统计量的分布统计量的分布称为抽样分布。来自于正态总体的常用统计量的分布有分布、t分布、F分布等。1、分布（1）定义：设相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：服从的分布为自由度为n的分布，记为。分布是由正态分布派生出来的一种分布。（2）分布的密度函数来定义。其中伽玛函数通过积分I、设相互独立，都服从正态分布则这个性质称为

分布的可加性。III、若，则当n充分大时，近似呈标准正态分布。（应用中心极限定理可得）（3）分布的性质II、设事实上，由于V、分布的分位点对于给定的正数，称满足条件所服从的分布为自由度为n的t分布，记为t~t(n)。

t分布又称学生氏分布，其概率密度函数为

（1）定义：设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立，则称变量2、t分布（2）t分布的性质III、t分布的分位点对于给定的正数，称满足条件3、F分布由定义可见，（1）定义:

设U与V相互独立，则称随机变量服从自由度为n1及n2的F分布，记作F~F(n1,n2)

。

n1称为第一自由度，n2称为第二自由度。即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1。（2）概率密度函数：若F~F(n1,n2)，F的概率密度为（3）性质

I、F分布的数学期望II、F分布的分位数对于给定的正数，称满足条件6.2.3几个重要的抽样分布定理当总体为正态分布时，给出几个重要的抽样分布定理。

事实上，1、定理1(样本均值的分布)

设X1,X2,…,Xn是来自正态总体的样本，是样本均值，则有即期望、方差已知U统计量n取不同值时样本均值的分布请注意:2、定理2(样本方差的分布)设X1,X2,…,Xn是来自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有n取不同值时的分布方差已知χ2统计量3、定理3(样本均值的分布)

设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有期望已知T统计量4、定理4(两总体样本均值差、样本方差比的分布)设且X与Y独立，X1,X2,…,Xn1是来自X的样本，而

Y1,Y2,…,Yn2是来自Y的样本。两个样本的均值和方差分别为则有【例1】设总体X服从正态分布，抽取容量为25的样本，求以下两种情况下样本均值大于12.5的概率：（1）已知；（2）未知，但样本方差S2=5.57

。【解】（1）（2）查自由度为n−1=24的t分布表，可得t0.15(24)=1.059。所以【例2】【解】(1)查自由度为n=10的分布表，可得。所以(2)

查自由度为n−1=9的分布表，可得。所以【例3】【解】同理由分布的性质可知故课堂练习解1：或？课堂练习解2：解3：解4：小结抽样分布统计量的定义常见统计量统计量源于正态总体的常见统计量的分布

分布t分布F分布源于正态总体的抽样分布定理样本均值分布（方差已知）样本均值分布（方差未知）样本方差分布教材p147~148——1；4；6；7；9；10