几何与代数：lec17-向量的内积

教学内容和学时分配第四章n维向量教学内容学时数§4.1n维向量空间2§4.2向量组的线性相关性4§4.3子空间的基和维数2§4.4向量的内积2§4.5线性方程组的解的结构2§4.7用Matlab解题

1问题式预习及思考题1.什么是向量空间的标准正交基？2.如何由向量空间的一组基得到一组标准正交基？3.正交矩阵有哪些性质？思考题设ARmn,称

A的m个行向量生成的子空间为A的行空间，请给出两种方法计算A的行空间的基，并给出其维数。设ARmn,称

A的m个行向量生成的子空间为A的行空间，请给出两种方法计算A的行空间的基，其维数：法1：按列向量组构成矩阵

初等行变换阶梯阵阶梯阵的主列对应的原矩阵的列的转置是行空间的一组基；法2：按行向量组构成矩阵

初等行变换阶梯阵阶梯阵的非零行是行空间的一组基.建议方法：法1，和列向量组的极大无关组一致A的行空间即为AT的列空间dim(L(1,…,s))=r(1,…,s).§4.4向量的内积向量空间·基和维数一.内积和正交性二.标准正交基和Schmidt正交化方法R3Rn线性相关共线共面基？直角坐标系？标准正交基维数仿射坐标系三.正交矩阵维数1.设

=(a1,a2,…,an)T,=(b1,b2,…,bn)T,则

与的内积为

2.内积的基本性质,=aibi

=T

n

i=1

对称性:,=,;

线性性:k11+k22,=k11,+k22,;正定性:,0;且,=0=.3.n维实向量的长度或模为

,||||==ai2

n

i=1§4.4向量的内积

一.内积和正交性第四章n维向量§4.4向量的内积5.长度的基本性质

正定性:||||0;且||||=0=;

齐次性:||k||=|k|·||||(kR);Cauchy不等式:|,|||||·||||.

三角不等式：||+||2=+,+=(||||+||||)2

=,+2,+,||||2+2||||||||+||||2

||+||||||+||||4.单位向量:||||=1的向量.非零向量单位化或标准化:

0=||||1第四章n维向量§4.4向量的内积5.长度的基本性质

正定性:||||0;且||||=0=;

齐次性:||k||=|k|·||||(kR);

Cauchy不等式:|,|||||·||||.

三角不等式：||+||2=+,+=,+2,+,||+||||||+||||4.单位向量:||||=1的向量.非零向量单位化或标准化:

0=||||1若,=0,

即

=/2,则称与正交.||+||2=||||2+||||2

(5)勾股定理

时,第四章n维向量§4.4向量的内积5.长度的基本性质

正定性:||||0;且||||=0=;

齐次性:||k||=|k|·||||(kR);

Cauchy不等式:|,|||||·||||.

三角不等式：||+||||||+||||4.单位向量:||||=1的向量.非零向量单位化或标准化:

0=||||1若,=0,

即

=/2,则称与正交.(5)勾股定理

时,=arccos,||||·||||,0

6.若,,则定义,的夹角第四章n维向量§4.4向量的内积||+||2=||||2+||||2

例1.设,<,>=1+61=4第四章n维向量§4.4向量的内积||||,

||||,0,0

计算<,>,<,>,<,>=1+01=0

||||

=0=||||

=0=问题：如何由仿射坐标系{,,}得到与其等价的直角坐标系？例1.设,第四章n维向量§4.4向量的内积计算<,>,<,>,<,>=1+01=0

0=0=问题：如何由仿射坐标系{,,}得到与其等价的直角坐标系？因为,问题：求向量,使得,？设=,因为,{,,}例1.设,第四章n维向量§4.4向量的内积计算<,>,<,>,<,>=0

0=0=问题：如何由仿射坐标系{,,}得到与其等价的直角坐标系？,,{,,},,为一个正交向量组

R3的一组基：,,，R3的一组正交基：,,0=0,0,0

为标准正交向量组

R3的一组标准正交基：0,0,0二.标准正交基和施密特(Schmidt)方法1.正交向量组:非零向量组两两正交

标准正交向量组:向量空间的正交基:标准正交基:e1,e2,,en例2.设为任一Rn的标准正交基，则任一标准正交基与自然基作用同由单位向量组成的正交向量组.一组基是正交向量组;一组基是标准正交向量组.第四章n维向量§4.4向量的内积定理4.10.设1,2,…,s是正交向量组,则1,2,…,s线性无关.问题的提出：线性无关1,2,…,s的向量组不一定是正交向量组，那么如何得到与1,2,…,s等价的正交向量组1,2,…,s呢？第四章n维向量§4.4向量的内积第四章n维向量§4.4向量的内积当s=2,1,2线性无关,求2使12,1,2与1,2等价1

2

2

2,1||1||1||1||1

2,11,11

=

=2=21

2,11,1几何:代数:2+k1,1

2,1

+k1,1

==0引理.设1,2,…,s线性无关(s2),则存在一个正交向量组1,2,…,s,满足1,2,…,t与1,2,…,t等价(1ts).问题的提出：线性无关1,2,…,s的向量组不一定是正交向量组，那么如何得到与1,2,…,s等价的正交向量组1,2,…,s呢？第四章n维向量§4.4向量的内积当s=2,1,2线性无关,求2使12,1,2与1,2等价2=21

2,11,1设s=t时正交向量组1,…,t与1,…,t等价,证

s=t+1时成立.引理.设1,2,…,s线性无关(s2),则存在一个正交向量组1,2,…,s,满足1,2,…,t与1,2,…,t等价(1ts).第四章n维向量§4.4向量的内积当s=2,1,2线性无关,求2使12,1,2与1,2等价2=21

2,11,1设s=t时正交向量组1,…,t与1,…,t等价,证

s=t+1时成立.设t+1=t+1+k11+…+ktt使<t+1,i>=0,i=1,…,t则t+1=t+1t+1,11,11…t+1,tt,tt0=<t+1,i>=<t+1,i>+ki<i,i>,i=1,…,t1=1,………施密特正交化:将一组l.i.的向量化为正交向量组2=22,11,11,s=ss,11,11…s,s1s1,s1s1再将1,2,…,s单位化得:1=1

||1||,2=2

||2||,…,s=s

||s||.施密特正交化方法

标准化得到一组标准正交向量组也可求向量空间的一组标准正交基.第四章n维向量§4.4向量的内积1=A1,2=A2A2,A1A1,A1A1=A2A11=1

||1||2=2

||2||求L(A1,A2,A3,A4)的一组标准正交基.例3.设A=(A1,A2,A3,A4)=101210111111,解：A1,A2是L(A1,A2,A3,A4)的一组基.31,32

1,2为L的一组标准正交基,1,2,3为R3的一组标准正交基并将其扩展到R3的一组标准正交基.Dürer空间的子空间(1)7维Dürer魔方空间D：R=C=D=SR=C=H=N(2)5维泛对角方的向量空间B:(3)要求所有数都相等:一维向量空间G={rE,r∈R}.(4)特别的，当r=0:0维向量空间{O}{O}

G

B

D魔方空间

维数

0

1

5

7(5)8维魔方空间Q：R=C=D(6)10维魔方空间U：R=C(7)16维数字空间M：数字可任意取值

Q

U

M

8

10

16和扩张能否将Dürer魔方“和相等”的限制再放宽吗？三.正交矩阵1.满足QTQ=E(即Q1=QT)的实方阵Q称为正交矩阵,简称为正交阵.定理4.12.设Q为n阶实方阵,则Q是正交矩阵Q的列向量组构成Rn的一组标准正交基.推论.设Q为n阶实方阵,则Q是正交矩阵QT=Q1也是正交矩阵

Q的行向量组(转置)构成Rn的一组标准正交基

Q是从自然基到标准正交基q1,q2,,qn的过渡矩阵EC=Q第四章n维向量§4.4向量的内积问题：Rn的一组标准正交基构成的矩阵的性质？第四章n维向量§4.4向量的内积n阶实方阵Q为正交阵

Q的列(行)向量组构成Rn的标准正交基.

QT=Q1也是正交矩阵

Q是从自然基到标准正交基q1,q2,,qn的过渡矩阵注:正交阵还具有以下性质：(1)Q为正交阵|Q|=1.|QTQ|=|E||Q|2=|Q||Q|=|QT||Q|==1.QTQ=E

(2)A,B为正交阵AB为正交阵.四.Rn上的可逆线性变换和正交变换设ARnn,映射f:RnRn,y=f(x)=Ax,称为Rn的线性变换.若ARnn,且可逆,则y=Ax

称为Rn的可逆线性变换.若Q为n阶正交阵,则

y=Qx称为Rn的正交变换.定理.Rn的正交变换y=Qx不改变向量的内积,即

,

Rn,<Q,Q>=<,>.因而也不改变向量的长度和夹角.正交变换是保持原点不动的直角坐标变换,对应的是直角坐标系的旋转.每一个直角坐标系对应一个标准正交基.第四章n维向量§4.4