高考数学(文数)一轮复习习题 课时跟踪检测 （二十二）　正弦定理和余弦定理 (含解析)

课时跟踪检测(二十二)正弦定理和余弦定理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，则B的值为()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选B由正弦定理知：eq\f(sinA,sinA)＝eq\f(cosB,sinB)，∴sinB＝cosB，∴B＝45°．2．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝eq\f(2,3)，则b＝()A．14 B．6C．eq\r(14) D．eq\r(6)解析：选DbsinA＝3csinB⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c∴b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋1－2×3×1×eq\f(2,3)＝6，b＝eq\r(6)，故选D．3．在△ABC中，AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，则边AC上的高为()A．eq\f(3\r(2),2) B．eq\f(3\r(3),2)C．eq\f(3,2) D．3eq\r(3)解析：选B由题意得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(1,2)，∴sinA＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，∴边AC上的高h＝ABsinA＝eq\f(3\r(3),2)．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b＝2asinB，则角A的大小为________．解析：由正弦定理得sinB＝2sinAsinB，因为sinB≠0，所以sinA＝eq\f(1,2)，所以A＝30°或150°．答案：30°或150°

5．(2015·安徽高考)在△ABC中，AB＝eq\r(6)，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________．解析：∠C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(\r(6),sin60°)＝eq\f(AC,sin45°)，解得AC＝2．答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC中，2acosA＋bcosC＋ccosB＝0，则角A为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)解析：选C由余弦定理得2acosA＋b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝0，即2acosA＋a＝0，∴cosA＝－eq\f(1,2)，A＝eq\f(2π,3)．故选C．2．(2017·重庆适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝eq\r(3)，则△ABC的面积为()A．eq\f(\r(3),4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(3,2)解析：选B依题意得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，即C＝60°，因此△ABC的面积等于eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,4)，选B．3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解 B．有两解C．无解 D．有解但解的个数不确定解析：选C由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq\r(3)>1．∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．4．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sinB＋sinC)＝(a－eq\r(3)c)sinA，则角B的大小为()A．30° B．45°C．60° D．120°解析：选A由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)及(b－c)·(sinB＋sinC)＝(a－eq\r(3)c)sinA得(b－c)(b＋c)＝(a－eq\r(3)c)a，即b2－c2＝a2－eq\r(3)ac，所以a2＋c2－b2＝eq\r(3)ac，又因为cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，所以cosB＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝30°．5．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝eq\f(π,3)，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(3),6) D．eq\f(\r(3),8)解析：选B由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3)，又B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3)．故A＝B＝eq\f(π,3)，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)．6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－eq\f(1,4)，3sinA＝2sinB，则c＝________．解析：∵3sinA＝2sinB，∴3a＝2b又a＝2，∴b＝3．由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC，∴c2＝22＋32－2×2×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝16，∴c＝4．答案：47．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则eq\f(sin2A,sinC)＝________．解析：由正弦定理得eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，∵a＝4，b＝5，c＝6，∴eq\f(sin2A,sinC)＝eq\f(2sinAcosA,sinC)＝2·eq\f(sinA,sinC)·cosA＝2×eq\f(4,6)×eq\f(52＋62－42,2×5×6)＝1．答案：18．(2017·云南统检)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a＝5，tanB＝－eq\f(4,3)，那么eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________．解析：∵tanB＝－eq\f(4,3)，∴sinB＝eq\f(4,5)，cosB＝－eq\f(3,5)，又S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝2c＝8，∴c＝4，∴b＝eq\r(a2＋c2－2accosB)＝eq\r(65)，∴eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(5\r(65),4)．答案：eq\f(5\r(65),4)9．(2017·海口调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a－3b)cosC＝c(3cosB－cosA)．(1)求eq\f(sinB,sinA)的值；(2)若c＝eq\r(7)a，求角C的大小．解：(1)由正弦定理得，(sinA－3sinB)cosC＝sinC(3cosB－cosA)，∴sinAcosC＋cosAsinC＝3sinCcosB＋3cosCsinB，即sin(A＋C)＝3sin(C＋B)，即sinB＝3sinA，∴eq\f(sinB,sinA)＝3．(2)由(1)知b＝3a，∵c＝eq\r(7)a，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋9a2－7a2,2×a×3a)＝eq\f(3a2,6a2)＝eq\f(1,2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3)．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知2acos2eq\f(C,2)＋2ccos2eq\f(A,2)＝eq\f(5,2)b．(1)求证：2(a＋c)＝3b；(2)若cosB＝eq\f(1,4)，S＝eq\r(15)，求b．解：(1)证明：由条件得a(1＋cosC)＋c(1＋cosA)＝eq\f(5,2)b，由于acosC＋ccosA＝b，所以a＋c＝eq\f(3,2)b，即2(a＋c)＝3b．(2)在△ABC中，因为cosB＝eq\f(1,4)，所以sinB＝eq\f(\r(15),4)．由S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,8)eq\r(15)ac＝eq\r(15)，得ac＝8，又b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB2(a＋c)＝3b，所以eq\f(5b2,4)＝16×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))，所以b＝4．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·衡水中学模拟)已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A－cos2A＝eq\f(1,2)，则下列各式正确的是()A．b＋c＝2a B．b＋c<C．b＋c≤2a D．b＋c≥解析：选C∵sin2A－cos2A＝eq\f(1,2)，∴cos2A＝－eq\f(1,2)．∵0<A<eq\f(π,2)，∴0<2A<π，∴2A＝eq\f(2π,3)，∴A＝eq\f(π,3)，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－eq\f(3,4)(b＋c)2＝eq\f(b＋c2,4)，∴4a2≥(b＋c)2，∴2a≥b＋2．(2016·贵阳监测)如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cos∠B＝eq\f(\r(3),3)．(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝2eq\r(3)，求AB的长．解：(1)因为∠D＝2∠B，cos∠B＝eq\f(\r(3),3)，所以cos∠D＝cos2∠B＝2cos2B－1＝－eq\f(1,3)．因为∠D∈(0，π)，所以sin∠D＝eq\r(1－cos2D)＝eq\f(2\r(2),3)．因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝eq\f(1,2)AD·CD·sin∠D＝eq\f(1,2)×1×3×eq\f