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几何证明举例（3）01学习目标04随堂练习05课堂小结03新知探究02旧知回顾1.掌握并证明线段垂直平分线的性质定理与判定定理；2.掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证明的思路。1.什么是线段的垂直平分线？2.根据本册第二章的学习你知道线段的垂直平分线有什么性质？3.这个性质你是怎样得到的？这个性质是真命题吗？你能用逻辑推理的方法，证明它的真实性吗？已知：直线

是线段AB的垂直平分线，垂足为点

，点P是直线

上的任意一点。求证：

=___.

P

CABM

D线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。“对折”得线段垂直平分线的性质：探究与证明分析：要证明边相等，可构造全等三角形，利用全等三角形的性质可得结论：但是当P与M重合时，构不成三角形，需分类讨论.（1）点P与点M不重合时；（2）点P与点M重合时.已知：直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为点M，点P是直线CD上的任意一点。求证：PA

=PB.

P

CABM

D证明：（1）点P与点M重合时∵MA=MB(垂直平分线的性质)，∴PA=PB(等量代换).（2）点P不与点M重合时∵PM⊥AB(已知),∴∠PMA=∠PMB(垂直平分线的定义).已知：直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为点M，点P是直线CD上的任意一点。求证：PA

=PB.

P

CABM

D接上∵PM=PM(公共边)，MA=MB(垂直平分线的定义).由(1)(2)可得，该命题成立。∴△PMA≌△PMB(SAS).∴PA=PB(全等三角形对应边相等).交流与发现线段垂直平分线性质定理的逆命题是什么呢？它是真命题吗？应如何证明它的真实性?已知：线段AB，P为平面内一点，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.

要证明这个命题成立，只要证明平分线段AB的直线经过点P，且是AB的垂线即可。发现与证明已知：线段AB，P为平面内一点，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.

PABC证明：（1）点P在线段AB所在的直线上，∵PA=PB(已知)，∴点P是线段AB的中点(中点的定义)∴点P在线段AB的垂直平分线上(垂直平分线的定义)（2）点P不在线段AB所在的直线上，∵PA=PB(已知)，∴△PAB是等腰三角形.已知：线段AB，P为平面内一点，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.

ABCP接上∴PC⊥AB(等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合).∴点P在线段AB的垂直平分线上(垂直平分线的定义)由(1)(2)可得，该命题成立。取AB的中点C，并连接PC.到一条线段两端的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。证明得：

1.已知：AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上.求证：AB=AC=CE.

2.已知：如图，AB=AD，BC=DC，E是AC上一点.求证：BE=DE.

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