几何证明举例(3)-2021-2022学年数学八年级上册同步课件(青岛版)_第1页
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几何证明举例(3)01学习目标04随堂练习05课堂小结03新知探究02旧知回顾1.掌握并证明线段垂直平分线的性质定理与判定定理;2.掌握基本的证明方法,会通过分析的方法探索证明的思路。1.什么是线段的垂直平分线?2.根据本册第二章的学习你知道线段的垂直平分线有什么性质?3.这个性质你是怎样得到的?这个性质是真命题吗?你能用逻辑推理的方法,证明它的真实性吗?已知:直线

是线段AB的垂直平分线,垂足为点

,点P是直线

上的任意一点。求证:

=___.

P

CABM

D线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。“对折”得线段垂直平分线的性质:探究与证明分析:要证明边相等,可构造全等三角形,利用全等三角形的性质可得结论:但是当P与M重合时,构不成三角形,需分类讨论.(1)点P与点M不重合时;(2)点P与点M重合时.已知:直线CD是线段AB的垂直平分线,垂足为点M,点P是直线CD上的任意一点。求证:PA

=PB.

P

CABM

D证明:(1)点P与点M重合时∵MA=MB(垂直平分线的性质),∴PA=PB(等量代换).(2)点P不与点M重合时∵PM⊥AB(已知),∴∠PMA=∠PMB(垂直平分线的定义).已知:直线CD是线段AB的垂直平分线,垂足为点M,点P是直线CD上的任意一点。求证:PA

=PB.

P

CABM

D接上∵PM=PM(公共边),MA=MB(垂直平分线的定义).由(1)(2)可得,该命题成立。∴△PMA≌△PMB(SAS).∴PA=PB(全等三角形对应边相等).交流与发现线段垂直平分线性质定理的逆命题是什么呢?它是真命题吗?应如何证明它的真实性?已知:线段AB,P为平面内一点,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.

要证明这个命题成立,只要证明平分线段AB的直线经过点P,且是AB的垂线即可。发现与证明已知:线段AB,P为平面内一点,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.

PABC证明:(1)点P在线段AB所在的直线上,∵PA=PB(已知),∴点P是线段AB的中点(中点的定义)∴点P在线段AB的垂直平分线上(垂直平分线的定义)(2)点P不在线段AB所在的直线上,∵PA=PB(已知),∴△PAB是等腰三角形.已知:线段AB,P为平面内一点,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.

ABCP接上∴PC⊥AB(等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合).∴点P在线段AB的垂直平分线上(垂直平分线的定义)由(1)(2)可得,该命题成立。取AB的中点C,并连接PC.到一条线段两端的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。证明得:

1.已知:AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上.求证:AB=AC=CE.

2.已知:如图,AB=AD,BC=DC,E是AC上一点.求证:BE=DE.

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