肿瘤生长的模型课件

肿瘤的生长规律倪致祥教授肿瘤的生长规律倪致祥教授1问题恶性肿瘤是目前威胁人类的一个主要的杀手，研究恶性肿瘤的生长规律，有助于人类认识其生长特点，寻找控制消灭它的措施。为了定量地研究肿瘤的生长规律，我们希望建立一个肿瘤生长的数学模型。建立数学模型的第一步是从实践的观察结果出发。问题恶性肿瘤是目前威胁人类的一个主要的杀手，研究恶性肿瘤的生2观察数据通过临床观察人们发现肿瘤细胞的生长有下列现象：1.

按照现有手段，肿瘤细胞数目超过1011时，临床才可能观察到。2.

在肿瘤生长初期，每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍。3.

在肿瘤生长后期，由于各种生理条件的限制，肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。根据上面的观察结果，你能不能建立一个简明的数学模型，来描述恶性肿瘤的生长规律？

观察数据通过临床观察人们发现肿瘤细胞的生长有下列现象：3模型一设时刻t肿瘤细胞数目为n(t)，由观察2我们可以假设肿瘤细胞的增长速度与当时该细胞数目成正比，比例系数（相对增长率）为k。则可以得到如下方程：n’(t)=kn(1)其解为n(t)=n(0)ekt(2)据临床观察1，可令n(0)=1011；据临床观察2，设细胞增加一倍所需时间为T，则有n(t＋T)=2n(t)(3)模型一设时刻t肿瘤细胞数目为n(t)，由观察2我4模型一n(t)=n(0)ekt(2)据临床观察1，可令n(0)=1011；据临床观察2，设细胞增加一倍所需时间为T，则有n(t＋T)=2n(t)(3)将(2)式代入(3)式后，有T=ln2/k。由此可以得到肿瘤细胞的生长规律为n(t)=1011etln2/T=10112t/T(4)上面得到的模型称为指数模型，它能够很好地反映临床观察1和观察2。但是该模型未能反映出临床观察3，因此需要进一步修改。模型一n(t)=n(0)ekt5模型二考虑到临床观察3，我们需要对指数模型进行修正。荷兰生物数学家Verhulst提出设想：相对增长率随细胞数目n(t)的增加而减少。若用N表示因生理限制肿瘤细胞数目的极限值，f(n)表示相对增长率，则f(n)为n的减函数，为处理方便，令f(n)为n的线性函数：f(n)=a–bn(5)显然当n=N时，f(n)＝0；假设当n=0时，f(n)=k，代入上式即可解得a=k,b=k/N(6)模型二考虑到临床观察3，我们需要对指数模型进行修正。6模型二a=k,b=k/N(6)f(n)=k(1–n/N)则n(t)满足微分方程n’(t)=kn(1-n/N)(7)该方程称为Logistic模型或者Verhulst-Pearl阻滞方程，广泛应用于医学、农业、生态和商业等领域。Verhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下理解：k是肿瘤的固有增长率(Potentialrate)，即如果没有生理限制而且细胞之间互不影响时的增长率。模型二a=k,b=k/N7模型二Verhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下理解：k是肿瘤的固有增长率(Potentialrate)，即如果没有生理限制而且细胞之间互不影响时的增长率。由于有生理限制和细胞之间的相互影响，存在一个最大可能的细胞数目N。细胞数目为n的肿瘤中还未出生部分所占的比例为1－n/N。因此，肿瘤细胞数目的实际增长率应为其固有增长率乘以上述比例，即k(1–n/N)(8)这个结果与方程(7)完全一致。模型二Verhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下8模型二n’(t)=kn(1-n/N)(7)利用分离变量法，上述方程可以化为(9)由此可以解出(10)模型二n’(t)=kn(1-n/N)9模型二由上面的结果，n(0)=n0=1011；在肿瘤生长初期，t～0，因此有n(t)=n0ekt容易验证n(t＋ln2/k)=2n(t)，即每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍；在肿瘤生长后期，t

，n(t)N，即肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。这些与观察结果完全一致。模型二由上面的结果，n(0)=n0=1011；10Gompertzlan模型在某些情况下，Verhulst模型与实测数据吻合得不好，模型的理论增长率下降得过快，小于实际增长率。这时我们可以考虑将相对增长率从n的线性函数修改为n的对数函数，即把相对增长率取为f(n)=-kln(n/N)(11)其中负号表示随n的增加而减少，但不是线性关系，而是与n在极限值中所占比例的对数有关。由此得到微分方程n’(t)=-knln(n/N)(12)Gompertzlan模型在某些情况下，Verhulst模型11Gompertzlan模型由此得到微分方程n’(t)=-knln(n/N)(12)解为n(t)=n0[N/n0]1-exp(-kt)(13)在肿瘤生长初期，t～0，exp(-kt)=1-kt因此有n(t)=n0(N/n0)kt容易验证每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍；在肿瘤生长后期，t

，n(t)N，即肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。这些与观察结果完全一致。Gompertzlan模型由此得到微分方程12一般模型本世纪80年代，有人对肿瘤生长规律提出了更一般的模型：n’(t)=(kn/a)[1-(n/N)a],a≥0(14)其解为n(t)=N{1+e-kt[(N/n0)a-1]}-1/a(15)显然当a=1时，我们回到了Logistic模型；而当a

0时，我们又可以得到Gompertzlan模型。由于参数a可以在大于零的范围内任意取值，故上述模型具有高度的一般性和广泛的适应性。一般模型本世纪80年代，有人对肿瘤生长规律提出了更一般的模型13结束语人类的认识就是这样由简单到复杂、由特殊到普遍、由个别到一般的。看了上述的应用数学范例，你能把我们已经学过的各种数学物理模型也来改造一番，使其具有更广泛的适用性吗？试试看，路就在脚下！结束语人类的认识就是这样由简单到复杂、由特殊到普遍、由个别到14谢谢同学们的合作谢谢同学们的合作15

肿瘤的生长规律倪致祥教授肿瘤的生长规律倪致祥教授16问题恶性肿瘤是目前威胁人类的一个主要的杀手，研究恶性肿瘤的生长规律，有助于人类认识其生长特点，寻找控制消灭它的措施。为了定量地研究肿瘤的生长规律，我们希望建立一个肿瘤生长的数学模型。建立数学模型的第一步是从实践的观察结果出发。问题恶性肿瘤是目前威胁人类的一个主要的杀手，研究恶性肿瘤的生17观察数据通过临床观察人们发现肿瘤细胞的生长有下列现象：1.

按照现有手段，肿瘤细胞数目超过1011时，临床才可能观察到。2.

在肿瘤生长初期，每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍。3.

在肿瘤生长后期，由于各种生理条件的限制，肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。根据上面的观察结果，你能不能建立一个简明的数学模型，来描述恶性肿瘤的生长规律？

观察数据通过临床观察人们发现肿瘤细胞的生长有下列现象：18模型一设时刻t肿瘤细胞数目为n(t)，由观察2我们可以假设肿瘤细胞的增长速度与当时该细胞数目成正比，比例系数（相对增长率）为k。则可以得到如下方程：n’(t)=kn(1)其解为n(t)=n(0)ekt(2)据临床观察1，可令n(0)=1011；据临床观察2，设细胞增加一倍所需时间为T，则有n(t＋T)=2n(t)(3)模型一设时刻t肿瘤细胞数目为n(t)，由观察2我19模型一n(t)=n(0)ekt(2)据临床观察1，可令n(0)=1011；据临床观察2，设细胞增加一倍所需时间为T，则有n(t＋T)=2n(t)(3)将(2)式代入(3)式后，有T=ln2/k。由此可以得到肿瘤细胞的生长规律为n(t)=1011etln2/T=10112t/T(4)上面得到的模型称为指数模型，它能够很好地反映临床观察1和观察2。但是该模型未能反映出临床观察3，因此需要进一步修改。模型一n(t)=n(0)ekt20模型二考虑到临床观察3，我们需要对指数模型进行修正。荷兰生物数学家Verhulst提出设想：相对增长率随细胞数目n(t)的增加而减少。若用N表示因生理限制肿瘤细胞数目的极限值，f(n)表示相对增长率，则f(n)为n的减函数，为处理方便，令f(n)为n的线性函数：f(n)=a–bn(5)显然当n=N时，f(n)＝0；假设当n=0时，f(n)=k，代入上式即可解得a=k,b=k/N(6)模型二考虑到临床观察3，我们需要对指数模型进行修正。21模型二a=k,b=k/N(6)f(n)=k(1–n/N)则n(t)满足微分方程n’(t)=kn(1-n/N)(7)该方程称为Logistic模型或者Verhulst-Pearl阻滞方程，广泛应用于医学、农业、生态和商业等领域。Verhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下理解：k是肿瘤的固有增长率(Potentialrate)，即如果没有生理限制而且细胞之间互不影响时的增长率。模型二a=k,b=k/N22模型二Verhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下理解：k是肿瘤的固有增长率(Potentialrate)，即如果没有生理限制而且细胞之间互不影响时的增长率。由于有生理限制和细胞之间的相互影响，存在一个最大可能的细胞数目N。细胞数目为n的肿瘤中还未出生部分所占的比例为1－n/N。因此，肿瘤细胞数目的实际增长率应为其固有增长率乘以上述比例，即k(1–n/N)(8)这个结果与方程(7)完全一致。模型二Verhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下23模型二n’(t)=kn(1-n/N)(7)利用分离变量法，上述方程可以化为(9)由此可以解出(10)模型二n’(t)=kn(1-n/N)24模型二由上面的结果，n(0)=n0=1011；在肿瘤生长初期，t～0，因此有n(t)=n0ekt容易验证n(t＋ln2/k)=2n(t)，即每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍；在肿瘤生长后期，t

，n(t)N，即肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。这些与观察结果完全一致。模型二由上面的结果，n(0)=n0=1011；25Gompertzlan模型在某些情况下，Verhulst模型与实测数据吻合得不好，模型的理论增长率下降得过快，小于实际增长率。这时我们可以考虑将相对增长率从n的线性函数修改为n的对数函数，即把相对增长率取为f(n)=-kln(n/N)(11)其中负号表示随n的增加而减少，但不是线性关系，而是与n在极限值中所占比例的对数有关。由此得到微分方程n’(t)=-knln(n/N)(12)Gompertzlan模型在某些情况下，Verhulst模型26Gompertzlan模型由此得到微分方程n’(t)=-knln(n/N)