直线、平面垂直的判定及性质课件

2.3直线、平面垂直的判定及性质

贵阳一中2.3直线、平面垂直的判定及性质贵阳一中1思考：

直线与直线垂直分为哪几类?判断：（1）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。（2）在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。共面垂直异面垂直√×思考：

直线与直线垂直分为哪几类?判断：（1）在同一平面内，2直线、平面垂直的判定及性质课件3直线、平面垂直的判定及性质课件4直线、平面垂直的判定及性质课件5loDCBAmEloDCBAmE6直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α

内的任意一条直线都垂直，就称直线l与平面α

互相垂直。记作：l⊥α平面的垂线

A直线的垂面垂足直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都7思考：（1）什么条件，能判定直线l与平面α

不垂直？在α

内找到一条直线a满足l不垂直于a。（2）什么条件，能使得直线l与平面α

垂直？“所有直线”的条件可以简化吗？思考：（1）什么条件，能判定直线l与平面α不垂直？8思考：直线l垂直于平面α

内的一条直线a，能使得直线l与平面α

垂直吗？直线l垂直于平面α

内的两条直线a，能使得直线l与平面α

垂直吗？直线l垂直于平面α

内的无数直线a，能使得直线l与平面α

垂直吗？不能不能不能思考：直线l垂直于平面α内的一条直线a，能使得直线l与平面9探究：准备一个任意三角形的纸片△ABC，在BC边上任意取一个点D，沿着AD对折三角形，打开成一个角度，把BD,DC边放在桌面上。观察折痕AD所在直线与桌面所在平面的位置关系。ABCD探究：准备一个任意三角形的纸片△ABC，在BC边上任意10探究：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。BDACaBDCAAD⊥BD,AD⊥DCBD，DC在α内BD∩DC=D探究：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌11线面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号语言：条件：结论：abPa垂直于交线→线面垂直线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都12P65例1.如图，已知a∥b，a⊥

α，求证：b⊥

α。★定理：两条平行直线中，如果其中一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直于这个平面。mnP65例1.如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。13P66探究：如图，直四棱柱A’B’C’D’-ABCD中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A’C⊥B’D’？P66探究：如图，直四棱柱A’B’C’D’-ABCD中，底14思考：直线与平面有哪些位置关系？αaA垂直斜交思考：直线与平面有哪些位置关系？αaA垂直斜交15斜线的定义：一条直线PA与平面α

相交于A，但不与α

垂直，称直线PA是平面α

的一条斜线，斜线PA与平面α

的交点A叫做斜足。P斜足斜线斜线的定义：一条直线PA与平面α相交于A，但不与α垂16思考：过平面α外的一点P，（1）向平面α引垂线，可以引几条？（2）引斜线呢？唯一一条无数条αPO思考：过平面α外的一点P，唯一一条无数条αPO17射影的概念：过斜线上斜足A以外的一点P，向平面α

引垂线PO，垂足为O。连接AO，直线AO叫做斜线PA在平面α上的射影。αAPO射影的概念：过斜线上斜足A以外的一点P，向平面α引垂18判断：斜线上任意一点在平面α内的射影，一定在该斜线的射影上吗？αAPO是的Q判断：斜线上任意一点在平面α内的射影，一定在该斜线的射影上19线面所成的角：（1）斜线与平面所成的角：规定：平面一条斜线与它在平面上的射影所成的锐角，称为这条直线与这个平面所成的角。范围：（2）垂线与平面所成的角为：（3）规定：当l∥α或l在α内时，l与α所成的角为：(0°，90°)90°0°αAPO线面所成的角：（1）斜线与平面所成的角：(0°，90°)9020线面所成的角：综上所述，空间任一直线l与平面α所成的角的范围是：P66例2.P67练习2[0°，90°]O线面所成的角：综上所述，空间任一直线l与平面α所成的角的范21在平面内的一条直线a，如果和这个平面内的一条斜线l的射影l'垂直，那么它也和这条斜线垂直。☆三垂线定理αAlOl'a垂直于射影垂直于斜线在平面内的一条直线a，如果和这个平面内的一条斜线l的射影22在平面内的一条直线a，如果和这个平面的一条斜线l垂直，那么它也和斜线l的射影l'垂直。☆三垂线定理的逆定理αAlOl'a垂直于斜线垂直于射影在平面内的一条直线a，如果和这个平面的一条斜线l垂直，那么23线面垂直的性质：☆性质一：若直线l⊥平面α，则l垂直于α内的所有直线。☆性质二：若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，且l1与l2不重合，则l1∥l2。P71练习线面垂直的性质：☆性质一：若直线l⊥平面α，则l垂直于α24观察：教室里墙面所在平面与地面所在平面的位置关系是什么？思考:怎么样去定义“面面垂直”？什么样的两条直线叫做垂直的？两个平面所成的角是哪个角？垂直观察：教室里墙面所在平面与地面所在平面的位置关系是什么？垂直25思考：平面角是怎么组成的？面和面能围成角？怎样在两个相交的平面确定这“一个点，两条射线”？一个顶点，两条射线思考：平面角是怎么组成的？一个顶点，两条射线261、二面角的相关概念：半平面半平面1、二面角的相关概念：半平面半平面27直线、平面垂直的判定及性质课件28二面角的概念：半平面α与半平面β相交于直线l，我们把由α、β、l组成的空间图形叫做二面角，记作二面角α-l-β。αβl棱定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。P68记法二面角的大小，怎么去度量？度量角度的工具有哪些？面二面角的概念：半平面α与半平面β相交于直线l，我们把由α、β29二面角的平面角：把面面角转化成线线角来度量，二面角的平面角有多少度，就说这个二面角有多少度。αβO棱lABαβl直二面角90°二面角的平面角：把面面角转化成线线角来度量，二面角的平面角有30二面角的范围：

[0°，180°)锐角直角钝角两个平面垂直二面角的范围：[0°，180°)锐角直角钝角两个平面垂直31例2。正四面体ABCD中，求相邻两个面围成的二面角的余弦值。ABCD例2。正四面体ABCD中，求相邻两个面围成的二面角的余弦值32面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。符号语言：线面垂直面面垂直Aβγ面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个33P69例3如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。P69例3如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平34B探究：如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？CDAB探究：如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现35P69练习：如图，在四面体S-EFG中必有（）A.SG⊥△EFG所在平面B.SD⊥△EFG所在平面C.GF⊥△SEF所在平面D.GD⊥△SEF所在平面SG1G2G3EFDP69练习：如图，在四面体S-EFG中必有（）SG36P69练习：如图，在四面体S-EFG中必有（）A.SG⊥△EFG所在平面B.SD⊥△EFG所在平面C.GF⊥△SEF所在平面D.GD⊥△SEF所在平面SEFGDAP69练习：如图，在四面体S-EFG中必有（）SE37思考：如图，已知α⊥β，α∩β=l，请问如何在平面β内作出一条直线，使得它与平面α垂直？αβl无数条思考：如图，已知α⊥β，α∩β=l，请问如何在平面β内作出38面面垂直的性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。符号语言：条件：结论：面面垂直线面垂直αβla面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的39P72例4如图，已知平面α、β，α⊥β，直线a满足a⊥β，aα，试判断直线a与平面α的位置关系。αβablP72例4如图，已知平面α、β，α⊥β，直线a满足a⊥β，40P72探究：已知平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β=AB，a∥AB，试判断直线a与平面β的位置关系。P73练习αβaABaP72探究：已知平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β=AB412.3直线、平面垂直的判定及性质

贵阳一中2.3直线、平面垂直的判定及性质贵阳一中42思考：

直线与直线垂直分为哪几类?判断：（1）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。（2）在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。共面垂直异面垂直√×思考：

直线与直线垂直分为哪几类?判断：（1）在同一平面内，43直线、平面垂直的判定及性质课件44直线、平面垂直的判定及性质课件45直线、平面垂直的判定及性质课件46loDCBAmEloDCBAmE47直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α

内的任意一条直线都垂直，就称直线l与平面α

互相垂直。记作：l⊥α平面的垂线

A直线的垂面垂足直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都48思考：（1）什么条件，能判定直线l与平面α

不垂直？在α

内找到一条直线a满足l不垂直于a。（2）什么条件，能使得直线l与平面α

垂直？“所有直线”的条件可以简化吗？思考：（1）什么条件，能判定直线l与平面α不垂直？49思考：直线l垂直于平面α

内的一条直线a，能使得直线l与平面α

垂直吗？直线l垂直于平面α

内的两条直线a，能使得直线l与平面α

垂直吗？直线l垂直于平面α

内的无数直线a，能使得直线l与平面α

垂直吗？不能不能不能思考：直线l垂直于平面α内的一条直线a，能使得直线l与平面50探究：准备一个任意三角形的纸片△ABC，在BC边上任意取一个点D，沿着AD对折三角形，打开成一个角度，把BD,DC边放在桌面上。观察折痕AD所在直线与桌面所在平面的位置关系。ABCD探究：准备一个任意三角形的纸片△ABC，在BC边上任意51探究：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。BDACaBDCAAD⊥BD,AD⊥DCBD，DC在α内BD∩DC=D探究：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌52线面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号语言：条件：结论：abPa垂直于交线→线面垂直线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都53P65例1.如图，已知a∥b，a⊥

α，求证：b⊥

α。★定理：两条平行直线中，如果其中一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直于这个平面。mnP65例1.如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。54P66探究：如图，直四棱柱A’B’C’D’-ABCD中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A’C⊥B’D’？P66探究：如图，直四棱柱A’B’C’D’-ABCD中，底55思考：直线与平面有哪些位置关系？αaA垂直斜交思考：直线与平面有哪些位置关系？αaA垂直斜交56斜线的定义：一条直线PA与平面α

相交于A，但不与α

垂直，称直线PA是平面α

的一条斜线，斜线PA与平面α

的交点A叫做斜足。P斜足斜线斜线的定义：一条直线PA与平面α相交于A，但不与α垂57思考：过平面α外的一点P，（1）向平面α引垂线，可以引几条？（2）引斜线呢？唯一一条无数条αPO思考：过平面α外的一点P，唯一一条无数条αPO58射影的概念：过斜线上斜足A以外的一点P，向平面α

引垂线PO，垂足为O。连接AO，直线AO叫做斜线PA在平面α上的射影。αAPO射影的概念：过斜线上斜足A以外的一点P，向平面α引垂59判断：斜线上任意一点在平面α内的射影，一定在该斜线的射影上吗？αAPO是的Q判断：斜线上任意一点在平面α内的射影，一定在该斜线的射影上60线面所成的角：（1）斜线与平面所成的角：规定：平面一条斜线与它在平面上的射影所成的锐角，称为这条直线与这个平面所成的角。范围：（2）垂线与平面所成的角为：（3）规定：当l∥α或l在α内时，l与α所成的角为：(0°，90°)90°0°αAPO线面所成的角：（1）斜线与平面所成的角：(0°，90°)9061线面所成的角：综上所述，空间任一直线l与平面α所成的角的范围是：P66例2.P67练习2[0°，90°]O线面所成的角：综上所述，空间任一直线l与平面α所成的角的范62在平面内的一条直线a，如果和这个平面内的一条斜线l的射影l'垂直，那么它也和这条斜线垂直。☆三垂线定理αAlOl'a垂直于射影垂直于斜线在平面内的一条直线a，如果和这个平面内的一条斜线l的射影63在平面内的一条直线a，如果和这个平面的一条斜线l垂直，那么它也和斜线l的射影l'垂直。☆三垂线定理的逆定理αAlOl'a垂直于斜线垂直于射影在平面内的一条直线a，如果和这个平面的一条斜线l垂直，那么64线面垂直的性质：☆性质一：若直线l⊥平面α，则l垂直于α内的所有直线。☆性质二：若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，且l1与l2不重合，则l1∥l2。P71练习线面垂直的性质：☆性质一：若直线l⊥平面α，则l垂直于α65观察：教室里墙面所在平面与地面所在平面的位置关系是什么？思考:怎么样去定义“面面垂直”？什么样的两条直线叫做垂直的？两个平面所成的角是哪个角？垂直观察：教室里墙面所在平面与地面所在平面的位置关系是什么？垂直66思考：平面角是怎么组成的？面和面能围成角？怎样在两个相交的平面确定这“一个点，两条射线”？一个顶点，两条射线思考：平面角是怎么组成的？一个顶点，两条射线671、二面角的相关概念：半平面半平面1、二面角的相关概念：半平面半平面68直线、平面垂直的判定及性质课件69二面角的概念：半平面α与半平面β相交于直线l，我们把由α、β、l组成的空间图形叫做二面角，记作二面角α-l-β。αβl棱定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。P68记法二面角的大小，怎么去度量？度量角度的工具有哪些？面二面角的概念：半平面α与半平面β相交于直线l，我们把由α、β70二面角的平面角：把面面角转化成线线角来度量，二面角的平面角有多少度，就说这个二面角有多少度。αβO棱lABαβl直二面角90°二面角的平面角：把面面角转化成线线角来度量，二面角的平面角有71二面角的范围：

[0°，180°)锐角直角钝角两个平面垂直二面角的范围：[0°，180°)锐角直角钝角两个平面垂直72例2。正四面体ABCD中，求相邻两个面围成的二面角的余弦值。ABCD例2。正四面体ABCD中，求相邻两个面围成的二面角的余弦值73面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。符号语言：线面垂直面面垂直Aβγ面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个74P69例3如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同