现代控制理论4课件

现代控制理论

ModernControlTheory第4章稳定性与李雅普诺夫方法现代控制理论

ModernControlTheory第401112求解微分方程2求解微分方程233344454.1Lyapunov稳定性的定义54.1Lyapunov稳定性的定义5稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的，线性定常系统由于只有唯一的一个平衡状态，所以才笼统地讲所谓的系统稳定性问题，对于其他系统则由于可能存在多个平衡状态，不同的平衡状态可能表现不同的稳定性，因此必须逐个分别加以讨论。6稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的，线性定常系统由于只有67778889定义：对自治系统的平衡状态xe=0，若对任意给定的，存在一个，使得只要状态轨线的初始状态满足，由该初始状态出发的状态轨线满足。那么，系统的平衡状态xe=0称为是李雅普诺夫意义下稳定的。李雅普诺夫意义下稳定9定义：对自治系统的平衡状态x910定义：对自治系统的平衡状态xe=0，若该平衡状态xe=0是李雅普诺夫意义下稳定的，且当t→∞时，始于原点小邻域的轨线满足x(t)→0，则平衡状态xe=0称为是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。李雅普诺夫意义下渐近稳定渐近稳定性是局部性质。需要确定渐近稳定域，吸引域。定义

若对任意，都有，则称平衡状态是大范围渐近稳定。大范围渐近稳定10定义：对自治系统的平衡状态xe1011定义

若对任意给定实数ε>0，不论δ怎么小，至少有一个，当，则有，则称平衡状态不稳定。不稳定稳定渐近稳定不稳定11定义若对任意给定实数ε>0，不论δ怎么小，至少有一个1112121213定理线性定常系统

平衡状态渐近稳定的充要条件是A的特征值均有负实部。4.2李雅普诺夫第一法(间接法)李雅普诺夫间接法是根据A的特征值来判断系统的稳定性。线性定常系统的稳定性状态稳定性，或称内部稳定性。如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。输出稳定的充要条件是传递函数的极点全部位于s平面的左半平面。13定理线性定常系统4.2李雅普诺夫第一法(间接法13李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。14李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程解的特性来判断系统144.2.2非线性系统的稳定性设将f(x)在平衡点xe邻域内展开为泰勒级数，得xe为平衡点。雅可比矩阵154.2.2非线性系统的稳定性设将f(x)在平衡点xe邻域内展15若令Dx=x-xe，并取一次近似式，可得系统的线性化方程为近似线性化：①如果,则渐近稳定，②如果存在，则不稳定；③如，则的稳定性由高阶导数项

R(x)来决定。16若令Dx=x-xe，并取一次近似式，可得系统的线性化方程为近16试分析其平衡状态的稳定性。例

已知非线性系统状态方程解：求平衡状态：由知系统有两个平衡点xe1=[0,0]T;xe2=[1,1]T17试分析其平衡状态的稳定性。例已知非线性系统状态方程解：17在xe1处将其线性化有雅可比矩阵为其特征值为：l1=1，l2=-1，可判原非线性系统在xe1不稳定18在xe1处将其线性化有雅可比矩阵为其特征值为：l1=1，l18在xe2处将其线性化有雅可比矩阵为其特征值为：l1=j，l2=-j，实部为零，不能应用线性化方法判断原非线性系统在xe2的稳定性。19在xe2处将其线性化有雅可比矩阵为其特征值为：l1=j，l19其中常数，试分析其平衡状态的稳定性。例

已知非线性系统20其中常数，试分析其平衡状态的稳定性。例20计算知系统有平衡点解:求平衡状态：由下面仅对情况进行研究，其它情况类似21计算知系统有平衡点解:求平衡状态：由下面仅对情况进21①当时，系统在渐近稳定；时，②系统在不稳定;③如果,其稳定性靠一次近似不能判断。由特征方程，得设则22①当时，系统在渐近稳定；时，②系统在不224.3李雅普诺夫第二法基本思路：从能量观点进行稳定性分析：1)如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，则这个平衡状态是渐近稳定的；

2)反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，则这个平衡状态是不稳定的；

3)如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平衡状态就是Lyapunov意义下的稳定。234.3李雅普诺夫第二法基本思路：从能量观点进行稳定性分析：23

由于实际系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系;

于是Lyapunov定义了一个正定的标量函数，作为虚构的广义能量函数，用其一阶微分的符号特征来判断系统的稳定性。24由于实际系统的复杂性和多样性，往往不244.3.1预备知识1.标量函数的符号性质由n维向量x定义的标量函数V(x)1）存在2）3）当时：若V(x)>0(V(x)≥0)则称V(x)是正定的(半正定的)若V(x)<0(V(x)≤0)则称V(x)是负定的(半负定的)254.3.1预备知识由n维向量x定义的标量函数V(x)1）25例

1） 正定的

2） 半正定的

3） 负定的

4） 半负定的

5） 不定的26例26262.二次型标量函数设x=[x1,x2,

···,xn]T，则实二次型可记为：V(x)=V(x1,x2,

···,xn)=xTPx

P称为二次型的矩阵(实对称矩阵)

272.二次型标量函数P称为二次型的矩阵(实对称矩阵)2727实二次型是x∈Rn的标量函数V(x1,x2,

···,xn)=xTPx，式中，P为一实对称nn矩阵①x

0,若xTPx>0,则称二次型V为正定的，P称为正定矩阵，记为P>0。②x

0,若xTPx≥0,，则称二次型V为半正定的，P称为半正定矩阵，记为P≥0。③若xTPx<0(≤0),称V为负定的(半负定的)，P称为负定(半负定)矩阵，记为P<0(≤0)。④若V既不是半正定又不是半负定，则称为不定的。28实二次型是x∈Rn的标量函数V(x1,x2,···,283.希尔维斯特(Sylvester)判据二次型函数的定号性判别准则i(i=1,2,…,n)为其各阶主子行列式：V(x1,x2,

···,xn)=xTPx293.希尔维斯特(Sylvester)判据i(i=1,2,…29矩阵P定号性的充要条件是：(1)若i>0(i=1,2,…,n)，则P为正定的。(2)若i，则P为负定的。>0i为偶数<0i为奇数(3)若i，则P为半正定的。0i=(1,2,…,n-1)=0i=n(4)若i，则P为半负定的。0i为偶数0i为奇数=0i=nV(x1,x2,

···,xn)=xTPx正定V(x1,x2,

···,xn)=xTPx负定V(x1,x2,

···,xn)=xTPx半正定V(x1,x2,

···,xn)=xTPx半负定30矩阵P定号性的充要条件是：(1)若i>0(i=1,2,304.3.2几个稳定性判据设系统的状态方程为xe=0为系统平衡状态满足f(xe)=0，若可构造标量函数V(x)满足：①标量函数V(x)对x具有连续一阶偏导数②

V(x)

是正定的，即V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态x满足V(x)>0

③V(x)沿状态轨迹方向计算的时间导数V(x)=dV(x)/dt．314.3.2几个稳定性判据xe=0为系统平衡状态满足f(xe31分别满足下列条件

为半负定的，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下稳定——稳定判据；为负定的；或者虽然为半负定，但对任意初始状态x(t0)≠0，除了x=0外，对x≠0，不恒为零，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下渐近稳定的，如果进一步还有||x||→∞时，V(x)→∞，那么平衡状态xe为大范围渐近稳定的——渐近稳定判据；为正定的，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下不稳定——不稳定判据。32分别满足下列条件3232例；设系统状态方程为试确定该系统平衡状态的稳定性。解：由平衡状态方程得解得唯一的平衡状态为x1=0,x2=0,

即xe=0,

为坐标原点。33例；设系统状态方程为试确定该系统平衡状态的稳定性。解：由平33为一负定的标量函数，平衡状态（0,0）渐近稳定。并且||x||→∞，有V(x)→∞，系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。选取一正定的标量函数34为一负定的标量函数，平衡状态（0,0）渐近稳定。选取一正定的34例；设系统状态方程为x1=0,x2=0为系统唯一的平衡状态，试确定该系统平衡状态的稳定性。解：选取一正定的标量函数≤035例；设系统状态方程为x1=0,x2=0为系统唯一的平衡状态35且‖x‖→∞，有V(x)→∞系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。①x20

，x1任意②x2-1，

x1任意由①x10只有原点满足矛盾！

0有两种可能：由②即假设不成立36且‖x‖→∞，有V(x)→∞①x20，x1任意36说明：

(1)该判据适用线性和非线性、时变和时不变等各类动态系统；

(2)Lyapunov函数V(x)不等同于能量，是一个正定标量函数，对x有连续的一阶偏导数；

(3)系统渐近稳定性的判别，归结为V(x)的选取，一般选取V(x)为状态x的二次型函数，需要研究者的经验与技巧，V(x)的选取是非唯一的，不影响判定结论的一致性；

(4)充分条件，且只表示平衡点邻域的局部稳定性；

37说明：37374.4.1线性定常系统的渐近稳定性对线性定常系统系统的稳定性和原点的稳定性是一致的，以下不再区分。系统渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的某个正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足李雅普诺夫方程：李雅普诺夫函数384.4.1线性定常系统的渐近稳定性系统的稳定性和原点的稳定性38若Q>0，根据李雅普诺夫稳定性定理，系统是渐近稳定的。选则39若Q>0，根据李雅普诺夫稳定性定理，系统是渐近稳定的。选则39例:某系统解:

选Q=I,由ATP+PA=-Q

，pij=pji.其平衡状态在坐标原点，试判断该系统的稳定性。40例:某系统解:选Q=I,由ATP+PA=-Q，40注：由于P的对称性，只有个未知数。41注：由于P的对称性，只有41用Sylvester判据：P>0

系统是渐近稳定的.

原则上Q为任意正定对称阵，且系统渐近稳定性的判断结果与Q的不同选取无关。具体应用时，Q常常取为正定对角阵或单位阵，以简化计算结果。42用Sylvester判据：P>0系统是渐424.4.3线性定常离散系统的渐近稳定性对线性定常离散系统平衡状态xe=0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足下述李雅普诺夫方程：434.4.3线性定常离散系统的渐近稳定性平衡状态xe=0处渐43现代控制理论

ModernControlTheory第4章稳定性与李雅普诺夫方法现代控制理论

ModernControlTheory第4444514546求解微分方程2求解微分方程464734748448494.1Lyapunov稳定性的定义54.1Lyapunov稳定性的定义49稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的，线性定常系统由于只有唯一的一个平衡状态，所以才笼统地讲所谓的系统稳定性问题，对于其他系统则由于可能存在多个平衡状态，不同的平衡状态可能表现不同的稳定性，因此必须逐个分别加以讨论。50稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的，线性定常系统由于只有50517515285253定义：对自治系统的平衡状态xe=0，若对任意给定的，存在一个，使得只要状态轨线的初始状态满足，由该初始状态出发的状态轨线满足。那么，系统的平衡状态xe=0称为是李雅普诺夫意义下稳定的。李雅普诺夫意义下稳定9定义：对自治系统的平衡状态x5354定义：对自治系统的平衡状态xe=0，若该平衡状态xe=0是李雅普诺夫意义下稳定的，且当t→∞时，始于原点小邻域的轨线满足x(t)→0，则平衡状态xe=0称为是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。李雅普诺夫意义下渐近稳定渐近稳定性是局部性质。需要确定渐近稳定域，吸引域。定义

若对任意，都有，则称平衡状态是大范围渐近稳定。大范围渐近稳定10定义：对自治系统的平衡状态xe5455定义

若对任意给定实数ε>0，不论δ怎么小，至少有一个，当，则有，则称平衡状态不稳定。不稳定稳定渐近稳定不稳定11定义若对任意给定实数ε>0，不论δ怎么小，至少有一个5556125657定理线性定常系统

平衡状态渐近稳定的充要条件是A的特征值均有负实部。4.2李雅普诺夫第一法(间接法)李雅普诺夫间接法是根据A的特征值来判断系统的稳定性。线性定常系统的稳定性状态稳定性，或称内部稳定性。如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。输出稳定的充要条件是传递函数的极点全部位于s平面的左半平面。13定理线性定常系统4.2李雅普诺夫第一法(间接法57李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。58李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程解的特性来判断系统584.2.2非线性系统的稳定性设将f(x)在平衡点xe邻域内展开为泰勒级数，得xe为平衡点。雅可比矩阵594.2.2非线性系统的稳定性设将f(x)在平衡点xe邻域内展59若令Dx=x-xe，并取一次近似式，可得系统的线性化方程为近似线性化：①如果,则渐近稳定，②如果存在，则不稳定；③如，则的稳定性由高阶导数项

R(x)来决定。60若令Dx=x-xe，并取一次近似式，可得系统的线性化方程为近60试分析其平衡状态的稳定性。例

已知非线性系统状态方程解：求平衡状态：由知系统有两个平衡点xe1=[0,0]T;xe2=[1,1]T61试分析其平衡状态的稳定性。例已知非线性系统状态方程解：61在xe1处将其线性化有雅可比矩阵为其特征值为：l1=1，l2=-1，可判原非线性系统在xe1不稳定62在xe1处将其线性化有雅可比矩阵为其特征值为：l1=1，l62在xe2处将其线性化有雅可比矩阵为其特征值为：l1=j，l2=-j，实部为零，不能应用线性化方法判断原非线性系统在xe2的稳定性。63在xe2处将其线性化有雅可比矩阵为其特征值为：l1=j，l63其中常数，试分析其平衡状态的稳定性。例

已知非线性系统64其中常数，试分析其平衡状态的稳定性。例64计算知系统有平衡点解:求平衡状态：由下面仅对情况进行研究，其它情况类似65计算知系统有平衡点解:求平衡状态：由下面仅对情况进65①当时，系统在渐近稳定；时，②系统在不稳定;③如果,其稳定性靠一次近似不能判断。由特征方程，得设则66①当时，系统在渐近稳定；时，②系统在不664.3李雅普诺夫第二法基本思路：从能量观点进行稳定性分析：1)如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，则这个平衡状态是渐近稳定的；

2)反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，则这个平衡状态是不稳定的；

3)如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平衡状态就是Lyapunov意义下的稳定。674.3李雅普诺夫第二法基本思路：从能量观点进行稳定性分析：67

由于实际系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系;

于是Lyapunov定义了一个正定的标量函数，作为虚构的广义能量函数，用其一阶微分的符号特征来判断系统的稳定性。68由于实际系统的复杂性和多样性，往往不684.3.1预备知识1.标量函数的符号性质由n维向量x定义的标量函数V(x)1）存在2）3）当时：若V(x)>0(V(x)≥0)则称V(x)是正定的(半正定的)若V(x)<0(V(x)≤0)则称V(x)是负定的(半负定的)694.3.1预备知识由n维向量x定义的标量函数V(x)1）69例

1） 正定的

2） 半正定的

3） 负定的

4） 半负定的

5） 不定的70例26702.二次型标量函数设x=[x1,x2,

···,xn]T，则实二次型可记为：V(x)=V(x1,x2,

···,xn)=xTPx

P称为二次型的矩阵(实对称矩阵)

712.二次型标量函数P称为二次型的矩阵(实对称矩阵)2771实二次型是x∈Rn的标量函数V(x1,x2,

···,xn)=xTPx，式中，P为一实对称nn矩阵①x

0,若xTPx>0,则称二次型V为正定的，P称为正定矩阵，记为P>0。②x

0,若xTPx≥0,，则称二次型V为半正定的，P称为半正定矩阵，记为P≥0。③若xTPx<0(≤0),称V为负定的(半负定的)，P称为负定(半负定)矩阵，记为P<0(≤0)。④若V既不是半正定又不是半负定，则称为不定的。72实二次型是x∈Rn的标量函数V(x1,x2,···,723.希尔维斯特(Sylvester)判据二次型函数的定号性判别准则i(i=1,2,…,n)为其各阶主子行列式：V(x1,x2,

···,xn)=xTPx733.希尔维斯特(Sylvester)判据i(i=1,2,…73矩阵P定号性的充要条件是：(1)若i>0(i=1,2,…,n)，则P为正定的。(2)若i，则P为负定的。>0i为偶数<0i为奇数(3)若i，则P为半正定的。0i=(1,2,…,n-1)=0i=n(4)若i，则P为半负定的。0i为偶数0i为奇数=0i=nV(x1,x2,

···,xn)=xTPx正定V(x1,x2,

···,xn)=xTPx负定V(x1,x2,

···,xn)=xTPx半正定V(x1,x2,

···,xn)=xTPx半负定74矩阵P定号性的充要条件是：(1)若i>0(i=1,2,744.3.2几个稳定性判据设系统的状态方程为xe=0为系统平衡状态满足f(xe)=0，若可构造标量函数V(x)满足：①标量函数V(x)对x具有连续一阶偏导数②

V(x)

是正定的，即V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态x满足V(x)>0

③V(x)沿状态轨迹方向计算的时间导数V(x)=dV(x)/dt．754.3.2几个稳定性判据xe=0为系统平衡状态满足f(xe75分别满足下列条件

为半负定的，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下稳定——稳定判据；为负定的；或者虽然为半负定，但对任意初始状态x(t0)≠0，除了x=0外，对x≠0，不恒为零，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下渐近稳定的，如果进一步还有||x||→∞时，V(x)→∞，那么平衡状态xe为大范围渐近稳定的——渐近稳定判据；为正定的，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下不稳定——不稳定判据。76分别满足下列条件3276例；设系统状态方程为试确定该系统平衡状态的稳定性。解：由平衡状态方程得解得唯一的平衡状态为x1=0,x2=0,

即xe=0,

为坐标原点。77例；设系统状态方程为试确定该系统平衡状态的稳定性。解：由平77为一负定的标量函数，平衡状态（0,0）渐近稳定。并且||x||→∞，有V(x)→∞，系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。选取一正定的标量函数78为一负定的标量函数，平衡状态（0,0）渐近稳定。选取一正定的78例；设系统状态方程为x1=0,