经济计量学第五讲回归方程的函数形式课件

Econometrics王维国东北财经大学计量经济学Econometrics王维国东北财经大学计量经济学1第五讲回归方程的函数形式第一节双对数模型第二节线性模型与对数模型的比较第三节多元对数线性回归模型第四节半对数模型第五节双曲函数模型第六节多项式回归模型第五讲回归方程的函数形式第一节双对数模型2第一节双对数模型（1）

回忆前面学过的widget教科书需求量模型，当时我们通过观察散点图，认为需求量和价格之间是近似的线性关系，因此建立两变量线性回归模型来研究需求量和价格之间的关系。若需求量和价格之间的关系不是线性关系而是指数形式，则我们就需要建立下面的模型来描述需求量和价格之间的关系，即：第一节双对数模型（1）回忆前面学过的widget教3

公式(1)为非线性模型，我们可以通过对数变换，把非线性模型变为线性模型。公式(2)两边的变量都是对数形式，而参数是线性形式，所以模型(2)称为对数(线性)模型（双对数模型）。第一节双对数模型（2）公式(1)为非线性模型，我们可以通过对数变换，把非线4一、对数模型的参数估计与假设检验（1）我们仍然使用普通最小二乘法得到的Bi估计值bi，i=1,2

。注意此时所估计模型的解释变量是lnX，被解释变量是lnY。考虑模型(2)的随机模型，若其随机模型满足古典假定，可以证明b1、b2是B1、B2的线性无偏最小方差（有效）估计量。对数模型的假设检验与线性模型的假设检验完全相同。一、对数模型的参数估计与假设检验（1）我们仍然使用普通最小二5Widget教科书对数回归模型的估计结果：一、对数模型的参数估计与假设检验（2）Widget教科书对数回归模型的估计结果：一、对数模型的参数6二、弹性的定义

对于一个一般的函数Y=f(X)，根据弹性的定义，Y对X的弹性可以表示为：二、弹性的定义对于一个一般的函数Y=f(X)，根据7三、B2的含义

由于回归系数B2表示解释变量变化一个单位引起被解释变量变化B2个单位。则在对数模型中，我们可以得到：

在对数回归模型中解释变量的系数表示弹性，且弹性为常数。通常情况下，我们又称对数模型为不变弹性模型。三、B2的含义由于回归系数B2表示解释变量变化一个8第二节线性模型与对数模型的比较（1）

根据弹性定义公式，我们可以得出这样的结论：对于线性模型，其斜率为一常量，而弹性系数却是一个变量。对于对数模型，其弹性系数为一常量，而斜率却是一个变量。第二节线性模型与对数模型的比较（1）根据弹性定义公9第二节线性模型与对数模型的比较（2）

对于线性模型，Y对X的弹性可以表示为:可见线性模型给出的是点弹性，我们可以通过计算平均弹性系数来给出线性模型的区间弹性：第二节线性模型与对数模型的比较（2）对于线性模型，10第三节多元对数线性回归模型（1）柯布—道格拉斯生产函数其中，L表示劳动力投入量，K表示资本投入量，Y表示产出量。第三节多元对数线性回归模型（1）柯布—道格拉11第三节多元对数线性回归模型（2）

在实际经济环境中，除了劳动力和资本影响产出水平之外，还有其他因素也影响产出水平，我们把这些因素归结为随机误差项。于是可以写出生产函数的随机总体模型：第三节多元对数线性回归模型（2）在实际经济环境中，12第三节多元对数线性回归模型（3）

经对数变换得到如下对数线性模型：这就是一个多元对数回归模型。B2和B3称为偏弹性系数，含义为当其他条件不变时，劳动力或资本的产出弹性。如果误差项ui

服从正态分布，则称误差项i

服从对数正态分布。当模型满足古典假定条件时，我们就可以对模型进行参数估计及参数显著性检验和回归方程的显著性检验。第三节多元对数线性回归模型（3）经对数变换13例：根据墨西哥1955年到1974年的数据估计多元对数模型的结果如下：第三节多元对数线性回归模型（4）例：根据墨西哥1955年到1974年的数据估计多元对数模型的14第四节半对数模型（1）下述模型称为半对数模型或对数—线性模型：B2表示X增加一个单位，Y的平均增长率；即表示的是因变量的相对增量。第四节半对数模型（1）下述模型称为半对数模15第四节半对数模型（2）

在线性模型中，B2表示X增加一个单位，Y的绝对量的平均增量，即Y增加B2个单位。在半对数模型中，B2表示X增加一个单位，Y的相对量的平均增量，即Y增加100*B2%。第四节半对数模型（2）在线性模型中，B2表16第四节半对数模型（3）例：以时间t作为解释变量模型—增长模型我们来研究一下在货币、银行及金融等课程中介绍过的复利计算公式：等式两端取对数：第四节半对数模型（3）例：以时间t作为解释变量模型—增长模17第四节半对数模型（4）根据前面的式子，我们可以建立下面的半对数回归模型：利用美国1973年到1987年间未偿还消费者信贷的数据，得到如下结果：B2表示的就是Y的年增长率。第四节半对数模型（4）根据前面的式子，我们可以建立下面的半18下面的半对数模型称为线性—对数模型：

B2的含义为：X的相对变化引起的Y的绝对量变化量；即表示自变量的一个单位相对增量引起因变量平均的绝对增量。第四节半对数模型（5）下面的半对数模型称为线性—对数模型：第四节半对数模型（5）19第五节双曲函数模型下述模型称为双曲函数模型：双曲函数模型的一个显著特征是，当X无限增大时，Y将逐渐接近于B1(渐进值或极值)。可以用双曲函数模型来描述平均成本曲线、恩格尔消费曲线和菲利普斯曲线等领域的情况。第五节双曲函数模型下述模型称为双曲函数模型：20第六节多项式回归模型下述模型称为多项式回归模型：多项式回归模型在生产与成本函数领域应用广泛。在多项式回归模型中，等式右边虽然只有一个解释变量，但却以不同的次幂出现，因此可以把它们看做是多元回归模型中的不同解释变量。第六节多项式回归模型下述模型称为多项式回归模型：21Econometrics王维国东北财经大学计量经济学Econometrics王维国东北财经大学计量经济学22第五讲回归方程的函数形式第一节双对数模型第二节线性模型与对数模型的比较第三节多元对数线性回归模型第四节半对数模型第五节双曲函数模型第六节多项式回归模型第五讲回归方程的函数形式第一节双对数模型23第一节双对数模型（1）

回忆前面学过的widget教科书需求量模型，当时我们通过观察散点图，认为需求量和价格之间是近似的线性关系，因此建立两变量线性回归模型来研究需求量和价格之间的关系。若需求量和价格之间的关系不是线性关系而是指数形式，则我们就需要建立下面的模型来描述需求量和价格之间的关系，即：第一节双对数模型（1）回忆前面学过的widget教24

公式(1)为非线性模型，我们可以通过对数变换，把非线性模型变为线性模型。公式(2)两边的变量都是对数形式，而参数是线性形式，所以模型(2)称为对数(线性)模型（双对数模型）。第一节双对数模型（2）公式(1)为非线性模型，我们可以通过对数变换，把非线25一、对数模型的参数估计与假设检验（1）我们仍然使用普通最小二乘法得到的Bi估计值bi，i=1,2

。注意此时所估计模型的解释变量是lnX，被解释变量是lnY。考虑模型(2)的随机模型，若其随机模型满足古典假定，可以证明b1、b2是B1、B2的线性无偏最小方差（有效）估计量。对数模型的假设检验与线性模型的假设检验完全相同。一、对数模型的参数估计与假设检验（1）我们仍然使用普通最小二26Widget教科书对数回归模型的估计结果：一、对数模型的参数估计与假设检验（2）Widget教科书对数回归模型的估计结果：一、对数模型的参数27二、弹性的定义

对于一个一般的函数Y=f(X)，根据弹性的定义，Y对X的弹性可以表示为：二、弹性的定义对于一个一般的函数Y=f(X)，根据28三、B2的含义

由于回归系数B2表示解释变量变化一个单位引起被解释变量变化B2个单位。则在对数模型中，我们可以得到：

在对数回归模型中解释变量的系数表示弹性，且弹性为常数。通常情况下，我们又称对数模型为不变弹性模型。三、B2的含义由于回归系数B2表示解释变量变化一个29第二节线性模型与对数模型的比较（1）

根据弹性定义公式，我们可以得出这样的结论：对于线性模型，其斜率为一常量，而弹性系数却是一个变量。对于对数模型，其弹性系数为一常量，而斜率却是一个变量。第二节线性模型与对数模型的比较（1）根据弹性定义公30第二节线性模型与对数模型的比较（2）

对于线性模型，Y对X的弹性可以表示为:可见线性模型给出的是点弹性，我们可以通过计算平均弹性系数来给出线性模型的区间弹性：第二节线性模型与对数模型的比较（2）对于线性模型，31第三节多元对数线性回归模型（1）柯布—道格拉斯生产函数其中，L表示劳动力投入量，K表示资本投入量，Y表示产出量。第三节多元对数线性回归模型（1）柯布—道格拉32第三节多元对数线性回归模型（2）

在实际经济环境中，除了劳动力和资本影响产出水平之外，还有其他因素也影响产出水平，我们把这些因素归结为随机误差项。于是可以写出生产函数的随机总体模型：第三节多元对数线性回归模型（2）在实际经济环境中，33第三节多元对数线性回归模型（3）

经对数变换得到如下对数线性模型：这就是一个多元对数回归模型。B2和B3称为偏弹性系数，含义为当其他条件不变时，劳动力或资本的产出弹性。如果误差项ui

服从正态分布，则称误差项i

服从对数正态分布。当模型满足古典假定条件时，我们就可以对模型进行参数估计及参数显著性检验和回归方程的显著性检验。第三节多元对数线性回归模型（3）经对数变换34例：根据墨西哥1955年到1974年的数据估计多元对数模型的结果如下：第三节多元对数线性回归模型（4）例：根据墨西哥1955年到1974年的数据估计多元对数模型的35第四节半对数模型（1）下述模型称为半对数模型或对数—线性模型：B2表示X增加一个单位，Y的平均增长率；即表示的是因变量的相对增量。第四节半对数模型（1）下述模型称为半对数模36第四节半对数模型（2）

在线性模型中，B2表示X增加一个单位，Y的绝对量的平均增量，即Y增加B2个单位。在半对数模型中，B2表示X增加一个单位，Y的相对量的平均增量，即Y增加100*B2%。第四节半对数模型（2）在线性模型中，B2表37第四节半对数模型（3）例：以时间t作为解释变量模型—增长模型我们来研究一下在货币、银行及金融等课程中介绍过的复利计算公式：等式两端取对数：第四节半对数模型（3）例：以时间t作为解释变量模型—增长模38第四节半对数模型（4）根据前面的式子，我们可以建立下面的半对数回归模型：利用美国1973年到1987年间未偿还消费者信贷的数据，得到如下结果：B2表示的就是Y的年增长率。第四节半对数模型（4）根据前面的式子，我们可以建立下面的半39下面的半对数模型称为线性—对数模型：

B2的含义为：X的相对变化引起的Y的绝对量变化量；即表示自变量的一个单位相对增量引起因变量平均的绝对增量。第四节半对数模型（5）下面的半对数模型称为线性—对数模型：第四节半对数模型（5）40第五节双曲函数模型