第27章《相似图形》-整章优质课件-人教版数学九年级下册

第27章《相似图形》人教版九年级下册数学第27章《相似图形》人教版九年级下册数学127.1图形的相似人教版数学九年级下册27.1图形的相似人教版数学九年级下册2天坛导入新知天坛导入新知3八达岭长城导入新知八达岭长城导入新知4国旗五角星导入新知国旗五角星导入新知5我们刚才所见到的图形有什么联系？【想一想】其中一个图形可以看作是另一个图形放大或者缩小得到的.导入新知我们刚才所见到的图形有什么联系？【想一想】其中一个图形可以看63.能根据多边形相似进行相关的计算。

1.了解相似图形和相似比的概念.2.理解相似多边形的定义.素养目标3.能根据多边形相似进行相关的计算。1.了解相似图形和相似7全等图形指能够完全重合的两个图形，观察即它们的形状和大小完全相同。探究新知知识点1相似图形的定义全等图形指能够完全重合的两个图形，观察即它们的形状和大小完全8黄山松天坛观察两张黄山松、两张天坛的照片有什么特点?探究新知黄山松天坛观察两张黄山松、两张天坛的照片有什么特点?探究新知9中国地图【思考】这两张中国地图的照片有什么关系?探究新知中国地图【思考】这两张中国地图的照片有什么关系?探究新知10【想一想】我们刚才所见到的图形有什么相同和不同的地方?相同点：不同点：形状相同．大小不同．探究新知【想一想】我们刚才所见到的图形有什么相同和不同的地方?相同点11

两个图形的形状________，但图形的大小位置__________，这样的图形叫做相似图形。完全相同不一定相同探究新知归纳总结两个图形的形状________，但图12图形的放大探究新知图形的放大探究新知13图形的放大探究新知图形的放大探究新知14图形的缩小两个图形相似探究新知图形的缩小两个图形相似探究新知15

两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。相似图形的关系探究新知两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大16【思考】你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？探究新知【思考】你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人171.在下列图形中，找出相似图形.巩固练习1.在下列图形中，找出相似图形.巩固练习18下图是两个等边三角形，它们相似吗?它们的对应角、对应边分别有什么关系?BCAB′CA′′∠A=∠A′∠B=∠B′∠C=∠C′两个等边三角形相似,它们的对应角相等,对应边成比例.探究新知观察与思考知识点2相似多边形的定义和相似比的概念下图是两个等边三角形，它们相似吗?它们的对应角、对应19【思考】下图是两个正六边形，它们相似吗?它们的对应角、对应边分别有什么关系?两个正六边形相似,它们的对应角相等,对应边成比例.从上述两个问题的探索中你能得到什么结论?

两个边数相等的正多边形相似,且对应角相等、对应边成比例.探究新知【思考】下图是两个正六边形，它们相似吗?它们的对应角、对应边20任意两个相似三角形,它们的对应角相等吗?对应边成比例吗?【结论】任意两个相似三角形,它们的对应角相等!对应边成比例!探究新知任意两个相似三角形,它们的对应角相等吗?对应边成比例21

图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否有以上的关系呢？对应角之间又有什么关系？【结论】任意两个相似多边形,它们的对应角相等!对应边成比例!探究新知图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应22各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似比.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似比：相似多边形的特征：相似多边形的定义：归纳：探究新知各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.23【思考】任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？探究新知【思考】任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？探究新知24例1

如图，四边形ABCD和EFGH

相似，求角α，β的大小和EH的长度

x.DABC182178°83°β24GEFHαx118°探究新知素养考点1利用相似多边形的定义求线段、角的值例1如图，四边形ABCD和EFGH相似，求25在四边形ABCD中，∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.解：∵四边形ABCD和EFGH相似，∴它们的对应角相等．由此可得DABC182178°83°β24GEFHαx118°探究新知在四边形ABCD中，∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°26∵四边形ABCD和EFGH相似，∴它们的对应边成比例，由此可得解得

x＝28.，即

.探究新知DABC182178°83°β24GEFHαx118°∵四边形ABCD和EFGH相似，解得x＝28272.如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度．532cd7.5ba69巩固练习解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得

，，，，解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6.所以未知边a，b，c，d的长度分别为3，4.5，4，6.2.如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度281.（2018•重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元

B．720元

C．1080元

D．2160元连接中考巩固练习C1.（2018•重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是292.（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm

B．4cm

C．4.5cm

D．5cmC连接中考巩固练习2.（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一30D2.若一张地图的比例尺是1:150000，在地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，则甲、乙两地的实际距离是（）A.3000mB.3500m

C.5000m

D.7500mD

基础巩固题课堂检测1.下列说法正确的是（）A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B．商店新买来的一副三角板是相似的.C．所有的课本都是相似的.D．国旗的五角星都是相似的.D2.若一张地图的比例尺是1:150000，在地图上量得313.

如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，相似比是多少？GFEH1.51ADCB32解：矩形ABCD相似于矩形EFGH因为它们的对应角相等，对应边成比例.相似比为:.课堂检测基础巩固题3.如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，相似比是多324.

观察下面的图形

(a)~(g)，其中哪些是与图形

(1)、

(2)

或

(3)相似的？基础巩固题课堂检测4.观察下面的图形(a)~(g)，其中哪些是与图形(33

判断下边的两个多边形是否相似？3正方形344菱形解:∵正方形，菱形的四条边都相等.∴它们的对应边成比例，k=3:4.∵正方形的四个内角均为直角，

而菱形的内角有钝角有锐角.∴它们的对应角不相等.∴这一组图形不相似.课堂检测能力提升题判断下边的两个多边形是否相似？3正方形344菱形解:∵34

如图，把矩形ABCD

对折，折痕为EF，若矩形ABCD与矩形EABF

相似，AB=1．

ABCDEF解：∵E是

AD的中点，∴.又∵矩形

ABCD与矩形

EABF相似，AB=1，

∴，∴AB2=AE·BC，∴.解得拓广探索题课堂检测（1）求BC长；如图，把矩形ABCD对折，折痕为EF，若矩35（2）求矩形

ABFE

与矩形

ABCD的相似比.ABCDEF解：矩形ABEF与矩形ABCD

的相似比为：拓广探索题课堂检测（2）求矩形ABFE与矩形ABCD的相似比.ABCD36相似图形形状相同的图形叫做相似图形

相似图形的大小不一定相同相似多边形对应边的比叫做相似比对应角相等，对应边成比例图形的相似相似多边形课堂小结相似图形形状相同的图形叫做相似图形相似图形的大小不一定相同3727.2相似三角形人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定27.2相似三角形人教版数学九年级下册27.2.1相似38

平行线分线段成比例定理

及其推论第一课时返回平行线分线段成比例定理第一课时返回391.相似多边形的特征是什么？2.怎样判定两个多边形相似？3.什么叫相似比？4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A

＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，，那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？

导入新知ABCA1B1C11.相似多边形的特征是什么？导入新知ABCA1B1C1401.理解相似三角形的概念，并会用以证明和计算.

2.体会用相似符号“∽”表示的相似三角形之间的边，角对应关系.素养目标3.

掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.1.理解相似三角形的概念，并会用以证明和计算.2.体会用请分别度量l3,l4,l5.在l1上截得的两条线段AB,

BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB：BC与DE：EF相等吗？任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的长度,它们的比值还相等吗？

????猜想ABCDEF

l2探究新知l1

除此之外，还有其他对应线段成比例吗？l2l3l4l5知识点1平行线分线段成比例定理若，那么若，那么即请分别度量l3,l4,l5.在l1上截得的两事实上，当l3//l4//l5时，都可以得到，

还可以得到，，等.

ABCDEFl3l4l5

l1l2

通过探究，你得到了什么规律呢？探究新知事实上，当l3//l4//l5时，都可以得到

一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言：若a∥b∥c

，则，，

归纳：

A1A2A3B1B2B3bca探究新知一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：符号语言441.如何理解“对应线段”？2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？

【想一想】

探究新知【想一想】探究新知1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()

A.B.C.D.

DACEBDFl2l1l3巩固练习1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是(

如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，ABCDEFl4l5l1l2l3把直线l1向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.探究新知知识点2平行线分线段成比例定理的推论如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本【思考】如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上，如图2（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ABCDEFl3l4l5

l1l2探究新知图1图2（1）A（D）EFCB【思考】如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点48【思考】如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？探究新知图1图2（2）ABCDEFl3l4l5

l1l2BCEADl1l2l3l4l5【思考】如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落49l2l3l1l3ll

平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ABCDEl2ABCDEl1ll

探究新知

归纳：

l2l3l1l3ll平行于三角形一边的直线截其他50巩固练习2.如图,l1∥l2∥l3，

，DE＝6，求DF的长．解：∵l1∥l2∥l3，∴.又∵，DE＝6，∴，解得EF＝4.∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.l1l2l3巩固练习2.如图,l1∥l2∥l3，，DE＝例1

如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.

∴AE=3.

解：∵AC=4，EC=1，

∵DE∥BC，

∴∴AD=2.25，

∴BD=0.75.探究新知素养考点1利用平行线分线段成比例定理及推论求线段例1如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，523.如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，

BE=6cm，FC=3cm，AF的长为_______．1cm巩固练习3.如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，1cm巩53

如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.问题1

△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？问题2

分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？BCADE探究新知知识点3相似三角形的判定定理如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC问题3

你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立.探究新知BCADE问题3你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE

【思考】1.我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？

2.由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？探究新知用相似的定义证明△ADE∽△ABCBCADE【思考】1.我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽ABCDE证明:在△ADE与△ABC中，∠A=∠A∵

DE//BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C，过E作EF//AB交BC于F,∵四边形DBFE是平行四边形F∴DE=BF∴△ADE∽△ABC探究新知∴∴则已知：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D、E．

求证：△ADE∽△ABC.ABCDE证明:在△ADE与△ABC中，∠A=∠A∵DE“A”型“X”型（图2）DEOBCABCDE（图1）探究新知定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.符号语言：∵DE//BC∴△ADE∽△ABC．“A”型“X”型（图2）DEOBCABCDE（图1）探究【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行线，那么你应该联想到什么？【方法总结】过点D作与AC平行的直线与BC相交，仍可证明△ADE∽△ABC，这与教材第31页证法雷同．题目中有平行线，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性质，可列出比例式．探究新知【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE4.

已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.3CDABEFO相似具有传递性巩固练习4.已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角连接中考巩固练习

（2018•临安区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A．

B．

C．

D．A连接中考巩固练习（2018•临安区）如图，在△ABC中1.如图，在△ABC

中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，BC=4cm，EF

长（）

AA.1cmB.cm

C.3cmD.2cmABCEF课堂检测基础巩固题1.如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，BE2.如图，DE∥BC，，

；FG∥BC，，则

.ABCEDFG课堂检测基础巩固题2.如图，DE∥BC，，3.如图，在△ABC中，EF∥BC.（1）如果E、F分别是AB和AC上的点，AE=BE=7，

FC=4，那么AF的长是多少？ABCEF解：∵∴解得AF=4.课堂检测基础巩固题3.如图，在△ABC中，EF∥BC.ABCEF解：∵∴解得(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？解：∵∴基础巩固题解得

.ABCEF课堂检测(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么F

如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：OD∶OA＝OE∶OB

证明：∵DF∥AC，∵EF∥BC，课堂检测能力提升题如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，O66

如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.解：∵四边形ABCD为菱形，BCADEF∴CD∥AB，∴设菱形的边长为xcm，则CD=AD=xcm，DF=(4－x

）cm，∴解得

∴菱形的边长为

cm.课堂检测拓广探索题如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，A两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.相似三角形判定的引理平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.基本事实平行线分线段成比例课堂小结两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论平行于三三边成比例的两个三角形相似第二课时返回ABCDEDEOBC三边成比例的两个三角形相似第二课时返回ABCDEDEOBC69学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等．对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？探究探究！讨论一下？导入新知学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相702.会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并能进行相关计算与推理.1.复习已经学过的三角形相似的判定定理

.素养目标2.会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”判定两个三1.定义法:对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似.如何判断两个三角形是否相似?

∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

DEABCABCDE2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.A型X型探究新知知识点1三边对应成比例的两三角形相似还有没有其他简单的判断方法呢？1.定义法:对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似.如何72

是否有△ABC∽△A′B′C′？ABC三边对应成比例探究新知C′B′A′是否有△ABC∽△A′B′C′？ABC三边对应成比例探究73ABCC′B′A′

通过测量不难发现∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，又因为两个三角形的边对应成比例，所以△ABC∽△A′B′C′.

下面我们用前面所学的定理证明该结论.探究新知ABCC′B′A′通过测量不难发现∠A=∠A′，∠74已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，A′B′:AB=A′C′:AC=B′C′:BC.求证:△ABC∽△A′B′C′证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,A′B′C′ABCDE过点D作DE∥BC交AC于点E.

又A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA

∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC∵AD=A′B′∴AD:AB=A′B′:AB

∴DE:BC=B′C′:BC,EA:CA=C′A′:CA.因此DE=B′C′,EA=C′A′.∴△A′B′C′∽△ABC

∴△ADE≌△A′B′C′探究新知已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，A′B′:AB=A75由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．归纳：∵，∴△ABC∽△A′B′C.符号语言：探究新知由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：归纳：∵76【讨论】在用三边的比判定两个三角形相似时，如何寻找对应边？【方法点拨】利用三边的比判定两个三角形相似时，应先将两个三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似．

探究新知【讨论】在用三边的比判定两个三角形相似时，如何寻找对应边？【77例1

已知AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=24cm，试说明△ABC∽△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′＇探究新知素养考点1利用三边成比例判断三角形相似解：∵

∴例1已知AB=4cm，BC=6cm，AC78探究新知方法点拨判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最大边与最大边对应，最短边与最短边对应.探究新知方法点拨判定三角形相似的方法之一：如果题中791.在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是_________________．2.

如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）相似C三组对应边的比相等巩固练习A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④1.在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝680例2

如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，且

求证：△A′B′C′∽△ABC.

证明：由已知条件得

AB=2A′B′，AC=2A′C′，

∴BC2=AB2－AC2=(2A′B′)2－(2A′C′)2=4A′B′2－4A′C′2

=4(A′B′2－A′C′2)=4B′C′2=(2B′C′)2.∴△A′B′C′∽△ABC.∴BC=2B′C′，探究新知素养考点2判断三角形相似例2如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中813.如图，△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．∴△ABC∽△EFD.证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴∴巩固练习3.如图，△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，82试说明∠BAD=∠CAE.ADCEB∴ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC即∠BAD=∠CAE例3如图已知：解：∵探究新知素养考点3利用三角形相似求角相等试说明∠BAD=∠CAE.ADCEB∴ΔABC∽ΔADE例383解：相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.理由如下：在△ABC和△ADE中，∵

AB:AD=BC:DE=AC:AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=

∠ADE，∠C=∠E.∴∠BAC－∠CAD=∠DAE－∠CAD，∴∠BAD=∠CAE.故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.

4.

如图，已知

AB:AD=BC:DE=AC:AE，找出图中相等的角(对顶角除外)，并说明你的理由.ABCDE巩固练习解：相等的角有∠BAC=∠DAE，4.如图，已知AB84

（2018•临安）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

A．

B．

C．

D．

连接中考巩固练习B（2018•临安）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的1．下列各组三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个钝角三角形C．两个等腰三角形D．两个等边三角形D2.下列判断，不正确的是（）A．两条直角边分别是3、4和6、8的两个直角三角形相似.B．斜边长和一条直角边长分别是、4和、2的两个直角三角形相似.C．两条边长分别是7、4和14、8的两个直角三角形相似.D．斜边长和一条直角边长分别是5、3和2.5、1.5的两个直角三角形相似.C课堂检测基础巩固题1．下列各组三角形一定相似的是（）D2.下列863.

如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是（）

A.△PAB∽△PCAB.△PAB∽△PDA

C.△ABC∽△DBAD.△ABC∽△DCA

ACBPDC课堂检测基础巩固题3.如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结874.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．ABC33.54DFE1.82.12.4课堂检测基础巩固题4.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．ABC33.88解：在△ABC

中，AB>BC>CA，在△DEF中，DE>EF>FD.∴△DEF∽△ABC.

∵

，，，∴.

课堂检测基础巩固题DFE1.82.12.4ABC33.54解：在△ABC中，AB>BC>CA，在△DE89要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？方案(1)解：设另外两条边长分别为x,y方案(2)方案(3)课堂检测能力提升题要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的90

如图，某地四个乡镇

A，B，C，D之间建有公路，已知

AB=14千米，AD=28千米，BD=21千米，DC=31.5千米，公路

AB与

CD平行吗？说出你的理由.ACBD2814214231.5解：公路

AB与

CD平行.∵∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥DC.课堂检测拓广探索题如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公91三边成比例两个三角形相似利用三边判定两个三角形相似相似三角形的判定定理的运用

课堂小结三边成比例两个三角形相似利用三边判定两个三角形相似相似三角92两边成比例且夹角相等的两个

三角形相似第三课时返回B'A'C'BAC两边成比例且夹角相等的两个第三课时返回B'A'C'BAC931.

两个三角形全等有哪些判定方法？2.我们学习过哪些判定三角形相似的方法？SSS、SAS、ASA、AAS、HL(1)通过定义（三边对应成比例，三角分别相等）(2)平行于三角形一边的直线(3)三边对应成比例导入新知1.两个三角形全等有哪些判定方法？SSS、SAS、ASA、94

类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？探究导入新知类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不探究导入新951.

探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理并且会运用.2.会运用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似，并进行相关计算与推理.素养目标1.探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法.等于k∠B=∠B'∠C=∠C'改变k的值具有相同的结论利用刻度尺和量角器画△ABC和△A'B'C'，使∠A＝∠A'，量出它们第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？探究新知知识点1两边成比例且夹角相等的两个三角形相似改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？实际上，我97A'B'C'ABC∠A＝∠A'如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，我们试证明这个结论．△ABC∽△A'B'C'探究新知A'B'C'ABC∠A＝∠A'如果两个三角形98已知：如图，

△A'B'C'和

△ABC中，∠A'=∠A，A'B'：AB=A'C'：AC求证：△A'B'C'∽△ABC证明：在△ABC的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，连结DE，因∠A'=∠A，这样△A'B'C'≌△ADE∴DE//BC∴△ADE∽△ABC∴△A'B'C'∽△ABCA'B'C'ABCDE探究新知已知：如图，△A'B'C'和△ABC中，∠A'=∠A，99由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．符号语言：∵

∠A=∠A′，BACB'A'C'∴△ABC∽△A′B′C′

.归纳：探究新知由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：符号语100【思考】对于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:AB=A′C′:AC.∠C=∠C′，这两个三角形一定会相似吗？

不一定，如下图，因为能构造符合条件的三角形有两个，其中一个和原三角形相似，另一个不相似.

A

B

C

A′

B′

B″

C′探究新知【思考】对于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:101探究新知

归纳总结

如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.探究新知归纳总结如果两个三角形两边对应102已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.∵又

∠A＝∠A'∴△ABC∽△A'B'C'例1探究新知素养考点1利用两边成比例且夹角相等识别三角形相似两三角形的相似比是多少？

△ABC∽△A'B'C'.理由如下：解：∴已知∠A＝120°，AB＝71031.

已知∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A'=40°，A'B'=16，A'C'=30，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.解：

∴△ABC∽△A'B'C'巩固练习△ABC∽△A'B'C'

.

理由如下：∴∠A=∠A'又∵∵1.已知∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A'=104解：∵AE=1.5，AC=2，

ACBED例2

如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长.∴又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴探究新知素养考点2利用三角形相似求线段的长度提示：解题时要找准对应边.解：∵AE=1.5，AC=2，ACBED例2如图，D，1052.如图，在△ABC中，AC＞BC，D是边AC

上一点，连接BD．（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是;（只要求填一个）（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，

,求CD的长．巩固练习ABCD解：（1）CD:CB＝BC:AC

（2）设CD＝x,则CA＝x＋2．当△CBD∽△CAB，且AD＝2，,有CD:CB＝BC:AC，即,所以x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3．但x２＝－3不符合题意,应舍去．所以CD＝1．2.如图，在△ABC中，AC＞BC，D是边AC上一点，106证明：∵CD是边

AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=

90°.ABCD例3

如图，在

△ABC

中，CD是边

AB上的高，且，求证：∠ACB=90°．∵探究新知素养考点3利用三角形相似求角方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.证明：∵CD是边AB上的高，∴△ADC∽△CDB1073.如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别是AB、AC上的点，AE：AD＝AB：AC．试问:DE与AB

垂直吗?为什么?ABCDE证明：DE⊥AB．理由如下:∵AE：AD＝AB：AC,∴．又∠A＝∠A,∴△ABC∽△AED．∴∠ADE＝∠C＝90°．∴DE与AB垂直．巩固练习3.如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别是A1081.（2017•同仁）如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．求证：△ABC∽△AED．连接中考巩固练习证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．

∵∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△AED．∴，，∴，1.（2017•同仁）如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=1.

如图，D是

△ABC一边

BC上一点，连接

AD，使△ABC∽△DBA的条件是

（）

A.AC:BC=AD:BD

B.AC:BC=AB:AD

C.AB2=CD·BC

D.AB2=BD·BCDABCD课堂检测基础巩固题1.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD1102.

在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△DEF∽△ABC.ACBFED证明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，又

∵∠C=∠F=70°，∴△DEF∽△ABC.∴课堂检测基础巩固题2.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，1113.

如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.证明：∵AD=AE，AB=AC，∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∴△ABC∽△ADE.ABCDE课堂检测基础巩固题3.如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=A112

如图，在四边形

ABCD

中，已知

∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，

，求

AD

的长．ABCD解：∵AB=6，BC=4，AC=5，，

∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，

∴，∴课堂检测能力提升题如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠113

如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB=7.8，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，试判断△ADE与△ABC是否相似，某同学的解答如下：解：∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，∴AD=7.8-4.8=3.

∵∴这两个三角形不相似.你同意他的判断吗？请说明理由.

拓广探索题课堂检测 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，114解：他的判断是错误的.

∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，

∴AD=7.8-4.8=3.∵，，

∴．

又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB

．拓广探索题课堂检测解：他的判断是错误的.拓广探索题课堂检测115两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用两边及夹角判定三角形相似相似三角形的判定定理的运用

课堂小结两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用两边及夹角判定三角形116两角分别相等的两个三角形相似第四课时返回两角分别相等的两个三角形相似第四课时返回117

观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？导入新知观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或1181.

掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.素养目标3.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理.1.掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.2.作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？分别度量这两个三角形的边长，计算，你有什么发现？满足：∠C=∠C'探究新知知识点1两角分别相等的两个三角形相似这两个三角形是相似的作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'120

把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？△ABC和△A'B'C'相似吗？一样△ABC和△A'B'C'相似探究新知你能试着证明△A′B′C′∽△ABC吗？把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？一样121如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'，求证:△ABC∽△A'B'C'证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B,∠B=∠B'∴∠ADE=∠B'又∵∠A=∠A'，AD=A'B'∴△ADE≌△A'B'C'∴△A'B'C'∽△ABCABCDEA'B'C'探究新知如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=122由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.符号语言：CABA'B'C'归纳：探究新知由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：∵∠A123例1如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似．C'B'A'CBA解：∵∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′

探究新知利用两角相等判断三角形相似素养考点1例1如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝124ABDCACDACB

B

ADC巩固练习1.如图，点D

在AB上，当∠

＝

(或∠

＝∠

)时，△ACD∽△ABC；

ABDCACDACBBADC巩固练习1.如图，点125例2弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:PA·PB=PC·PDACD证明:连接AC、BD∵∠A、∠D都是弧CB所对的圆周角∴∠A=∠D同理:

∠C=∠B∴△PAC∽△PDB即PA·PB=PC·PDABPOODCBP探究新知素养考点2利用三角形相似求等积式∴例2弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:PA·PB=PC1262.如图，⊙O

的弦

AB，CD相交于点

P，若

PA=3，

PB=8，PC=4，则

PD=

.

6ODCBAP巩固练习2.如图，⊙O的弦AB，CD相交于点P，若PA=127∴解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.

又∠C=90°，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC.

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.DABCE∴探究新知知识点2两直角三角形相似的判定∴解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.如图，在128由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.归纳：探究新知由此得到一个判定直角三角形相似的方法：归纳：探究新129已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：你能证明吗？可要仔细哟！HLABCA1B1C1Rt△ABC和

Rt△A1B1C1，探究新知已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：你能证明吗？可要仔细哟130

如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°，.求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.CAA'BB'C'要证明两个三角形相似，即是需要证明什么呢？目标：探究新知如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′131证明：设

，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.由，得

∴.∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.勾股定理∴

CAA'BB'C'探究新知证明：设，则A132

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.判定两直角三角形相似的定理HLABC△ABC∽△A1B1C1.即如果那么√A1B1C1Rt△ABC

和

Rt△A1B1C1.探究新知如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三133例3

如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，，当AB的长为

时，△ACB与△ADC相似．CABD探究新知素养考点1直角三角形相似的判定例3如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，A134解析：∵∠ADC=90°，AD=2，

，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）

当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有

AC

:AD＝AB

:AC，

即

，解得

AB=3；∴CABD2探究新知解析：∵∠ADC=90°，AD=2，135（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC

:CD＝AB

:AC，即

，解得

．∴当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似．探究新知CABD2（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC:1363.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D.若AB=6，AD=2，则AC=

，BD=

，BC=

.18DBCA巩固练习3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，B1371.（2018•永州）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（）

A．2

B．4

C．6

D．8巩固练习连接中考B1.（2018•永州）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一2.（2018•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（

）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m连接中考巩固练习C2.（2018•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置1.

如图，△ABC中，AE交

BC于点

D，∠C=∠E，AD

:DE=3:5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（）

A.B.C.D.A

CABDE课堂检测基础巩固题1.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E1402.

如图，在△ABC和△A'B'C'中，若∠A=60°，∠B=40°，∠A'=60°，当∠C'=

时，△ABC∽△A'B'C'.CABB'C'A'80°基础巩固题课堂检测2.如图，在△ABC和△A'B'C'中，若∠A=6141

3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.AEFBCD证明:

∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.∴△ADE∽△EFC.基础巩固题课堂检测3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，A142证明：∵在△

ABC中，∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°－∠A－∠B=60°.

∵

在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°.

∴∠B=∠E，∠C=∠F.

∴△ABC∽△DEF.4.

如图，△ABC和

△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°

．求证：△ABC∽△DEF.

ACBFED基础巩固题课堂检测证明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，4.143证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，∴∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE

=∠BFD（对顶角相等）∴△FEA

∽△FDB，∴1.

如图，△ABC

的高AD、BE交于点F．

求证：

DCABEF课堂检测能力提升题证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，1.如图，△A144解：∵∠A=∠A,∠ABD=∠C,∴△ABD∽△ACB,∴AB:AC=AD:AB,∴AB2=