分段函数及映射

..第2课时分段函数及映射[学习目标]1.掌握简单的分段函数,并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系.知识点一分段函数在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.思考分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同,那么分段函数是一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？答分段函数是一个函数,而不是几个,各段定义域的并集即为分段函数的定义域,各段值域的并集即为分段函数的值域.知识点二映射映射的定义：设A、B是两个___的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的_______元素x,在集合B中都有_______的元素y与之对应,那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.思考函数与映射有何区别与联系？题型一分段函数求值例1已知函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋1,x≤－2,,x2＋2x,－2＜x＜2,,2x－1,x≥2.>>求f<－5>,f<－eq\r<3>>,f[f<－eq\f<5,2>>]的值；<2>若f<a>＝3,求实数a的值.跟踪训练1<1>若f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x2,x≥0,,－x,x<0,>>则f[f<－2>]等于<>A.2B.3C.4D.5<2>已知函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<3x＋1,x≤1,,－x,x>1,>>若f<x>＝2,则x＝________.题型二分段函数的图象及应用例2已知f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x2,－1≤x≤1,,1,x＞1或x＜－1,>>画出f<x>的图象；<2>求f<x>的定义域和值域.跟踪训练2作出y＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<－7,x∈－∞,－2],,2x－3,x∈－2,5],,7,x∈5,＋∞>>的图象,并求y的值域.跟踪训练3设x∈<－∞,＋∞>,求函数y＝2|x－1|－3|x|的最大值.题型三映射的概念例3判断下列对应是不是映射？<1>A＝{x|0≤x≤3},B＝{y|0≤y≤1},f：y＝eq\f<1,3>x,x∈A,y∈B；<2>A＝N,B＝N*,f：y＝|x－1|,x∈A,y∈B；<3>A＝{x|0<x≤1},B＝{y|y≥1},f：y＝eq\f<1,x>,x∈A,y∈B；<4>A＝R,B＝{y|y∈R,y≥0},f：y＝|x|,x∈A,y∈B.跟踪训练4下列对应是从集合M到集合N的映射的是<>①M＝N＝R,f：x→y＝eq\f<1,x>,x∈M,y∈N；②M＝N＝R,f：x→y＝x2,x∈M,y∈N；③M＝N＝R,f：x→y＝eq\f<1,|x|＋x>,x∈M,y∈N；④M＝N＝R,f：x→y＝x3,x∈M,y∈N.A.①②B.②③C.①④D.②④题型四求某一映射中的像或原像例4设f：A→B是A到B的一个映射,其中A＝B＝{<x,y>|x,y∈R},f：<x,y>→<x－y,x＋y>.<1>求A中元素<－1,2>的像；<2>求B中元素<－1,2>的原像.跟踪训练5设集合A、B都是坐标平面上的点集{<x,y>|x∈R,y∈R},映射f：A→B使集合A中的元素<x,y>映射成集合B中的元素<x＋y,x－y>,则在f作用下,像<2,1>的原像是<>A.<3,1>B.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3,2>,\f<1,2>>>C.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3,2>,－\f<1,2>>>D.<1,3>题型五映射的个数问题例5已知A＝{a,b,c},B＝{－1,2}.<1>从A到B可以建立多少个不同的映射？<2>若f<a>＋f<b>＋f<c>＝0,则从A到B的映射中满足条件的映射有几个？跟踪训练5设集合A＝{a,b},B＝{0,1},则从A到B的映射共有<>A.2个B.3个C.4个D.5个题型六分段函数与不等式<组>综合应用题型七分段函数的实际应用例7为了节约用水,某市打算出台一项水费政策,规定每季度每人用水量不超过5吨时,每吨水的水费为1.2元,若超过5吨而不超过6吨时,超过部分的水费按原价的200％收费,若超过6吨而不超过7吨时,超过部分的水费按原价的400％收费.如果某人本季度实际用水量为吨,试计算本季度他应交的水费y<单位：元>.1.已知函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\f<1,x＋1>,x<1,,\r<x－1>,x>1,>>则f<2>等于<>A.0B.eq\f<1,3>C.1D.22.下列集合A到集合B的对应中,构成映射的是<>3.设函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x2＋1,x≤1,\f<2,x>,x>1>>,则f<f<3>>等于<>A.eq\f<1,5>B.3C.eq\f<2,3>D.eq\f<13,9>4.如图所示,函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成,则函数的解析式为_____________.1.对映射的定义,应注意以下几点：<1>集合A和B必须是非空集合,它们可以是数集、点集,也可以是其他集合.<2>映射是一种特殊的对应,对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达.2.理解分段函数应注意的问题：<1>分段函数是一个函数,其定义域是各段"定义域"的并集,其值域是各段"值域"的并集.写定义域时,区间的端点需不重不漏.<2>求分段函数的函数值时,自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式.<3>研究分段函数时,应根据"先分后合"的原则,尤其是作分段函数的图象时,可先将各段的图象分别画出来,从而得到整个函数的图象.一、选择题1.以下几个论断①从映射角度看,函数是其定义域到值域的映射；②函数y＝x－1,x∈Z且x∈[－3,3>的图象是一条线段；③分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集；④若D1,D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域,则D1∩D2＝∅.其中正确的论断有<>A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<10,x<0,,10x,x≥0,>>则f[f<－7>]的值为<>A.100B.10C.－10D.－1003.已知集合A中元素<x,y>在映射f下对应B中元素<x＋y,x－y>,则B中元素<4,－2>在A中对应的元素为<>A.<1,3>B.<1,6>C.<2,4>D.<2,6>4.已知集合A＝[0,4],B＝[0,2],按照对应关系f不能成为从集合A到集合B的一个映射的是<>A.f：x→y＝eq\f<1,2>xB.f：x→y＝x－2C.f：x→y＝eq\r<x>D.f：x→y＝|x－2|5.已知函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x＋2,x≤0,,,x2,0<x≤3,>>若f<x>＝3,则x的值是<>A.eq\r<3>B.9C.－1或1D.－eq\r<3>或eq\r<3>二、填空题7.已知f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x2－1,x≥1,,\f<1,x>,x<1,>>则f<f<eq\f<1,3>>>＝________.8.设函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x2＋2x＋2,x≤0,,－x2,x>0.>>若f<f<a>>＝2,则a＝________.9.设f：x→ax－1为从集合A到B的映射,若f<2>＝3,则f<3>＝________.10.函数f<x>＝eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<