误差第三章(共45张PPT)精选

误差(wùchā)第三章第一页，共45页。重点(zhòngdiǎn)与难点函数系统误差(wùchā)函数随机误差(wùchā)函数误差(wùchā)分布的模拟计算随机误差(wùchā)的合成未定系统误差(wùchā)和随机误差(wùchā)的合成误差(wùchā)分配微小误差(wùchā)取舍准则最佳测量方案的确定第二页，共45页。3.1函数(hánshù)误差第2章主要讨论了直接测量的误差计算，但在有有些情况下，由于不能进行直接测量或直接测量不能满足精度要求，需要进行间接测量。间接测量通过直接测量与被测量之间有一定函数关系的其它量，并按照已知的函数关系计算出被测的量。函数误差间接测得的被测量误差应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差。研究函数误差的实质就是研究误差的传递问题(wèntí)，而对于具有确定关系的误差计算，也称为误差合成。下面分别介绍函数系统误差和函数随机误差的计算问题(wèntí)。第三页，共45页。3.1.1函数(hánshù)系统误差计算求上述函数y的全微分，则其函数增量可表示为：(3-1)若已知直接测量值的系统误差由于这些(zhèxiē)误差值较小，可代替式(3-1)中的微分量，可近似得到函数的系统误差(3-2)式(3-2)称为函数系统误差公式，为各个输入量在该测量点处的误差传递系数和的量纲或单位相同，则起到误差放大或缩小的作用；和的量纲或单位不相同，则起到误差单位换算的作用。间接测量的函数(hánshù)关系即数学模型一般为多元函数(hánshù)，表示为式中，与被测量有函数(hánshù)关系的各直接测量值；y间接测量值。第四页，共45页。3.1.1函数(hánshù)系统误差计算简单函数的系统误差（几何(jǐhé)量测量常用）1、线性函数(hánshù)（测长度）2、三角函数（测角度）由式(3-2)得(3-5)又因故(3-6)同理(3-7)(3-8)(3-9)系统误差公式当当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和

(3-3)(3-4)第五页，共45页。3.1.1函数(hánshù)系统误差计算【例3.1】用弓高弦长法间接测量大工件直径(zhíjìng)D。如图所示，直接测得弓高h=50mm，弦长s=500mm。已知，弓高的系统误差h=-0.1mm,弦长的系统误差s=1mm。求测量结果。解:建立间接测量大工件(gōngjiàn)直径的函数模型不考虑测量值的系统误差，可求出直径测量值

直径D的系统误差为各个误差传递系数系统误差通过修正可消除直径系统误差，则被测直径的实际尺寸为：第六页，共45页。3.1.2函数(hánshù)随机误差计算随机误差是用表征其分散程度的标准差来评定的，对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来评定，故函数随机误差的计算就是研究函数y的标准差与各测得值的标准差之间的关系。在式(3-1)中采用各测得量值的随机误差代替各微分量只能得到函数的随机误差，而得不到函数的标准差函数的一般形式设对各个(gègè)测量值都进行了N次等精度测量，其相应随机误差为则y的随机误差为(3-10)将每个方程平方得(3-11)第七页，共45页。3.1.2函数(hánshù)随机误差计算将方程组(3-11)各方程相加(3-12)上式各项除以N，并由式(2-12)得若定义

则可得(3-13)式中，为第i个测得量与第j个测得量之间的误差相关系数。因该式可由各测量值的标准差计算出函数的标准差，故该式称为(chēnɡwéi)函数随机误差公式。第八页，共45页。3.1.2函数(hánshù)随机误差计算若各测量值的随机误差是相互独立的，则当N适当(shìdàng)增大时，相关项则相关系数也为零，误差公式可简化为(3-14)令，则(3-15)各测量值随机误差间互不相关的情况较为常见，且当各相关系数很小时，也可近似作不相关处理。当各测量值的随机误差为正态分布时，式(3-15)中的标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差(3-16)在多数情况下，则：(3-17)(3-18)第九页，共45页。若各测量值的随机误差是相互独立的，则当N适当(shìdàng)增大时，相关项若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为：已知测量的标准差分别为:建立间接测量大工件(gōngjiàn)直径的函数模型1函数(hánshù)系统误差计算在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。在测量实践中，各单项随机误差和测量结果的总误差也常以极限误差的形式来表示。对于已定系统误差，按百分之一到十分之一原则取舍。由于未定系统误差的取值具有随机性，并且服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，它们之间就具有一定的抵偿作用。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。方法三：测量内尺寸L2和外尺寸L2，其函数式及误差为第二十二页，共45页。第二十二页，共45页。当时，两误差正相关，即一误差增大时，另一误差的取值平均的增大；目前对未定系统误差的概率分布，均是根据测量实际情况的分析与判断来确定的，并采用两种假设：3.1.2函数(hánshù)随机误差计算三角函数随机误差计算根据三角函数系统误差公式(3-6)～(3-9)和式(3-14)得相应的角度标准差公式(3-19)(3-20)

(3-21)(3-22)若用极限(jíxiàn)误差来表示角度误差，则上述各式只需作相应的误差代换。1）正弦(zhèngxián)函数形式为:函数随机误差公式为：2）余弦函数形式为:

函数随机误差公式为：3）正切函数形式为:函数随机误差公式为：

4）余弦函数形式为:

函数随机误差公式为：第十页，共45页。3.1.2函数(hánshù)随机误差计算【例3.3】对例3.1用弓高弦长法间接测量大工件直径D。若已知，弓高h=50mm，弦长s=500mm，求直径的极限(jíxiàn)偏差。解:根据式(3-16)求得直径(zhíjìng)的极限误差为则所求直径的最后结果为：第十一页，共45页。3.1.3误差(wùchā)间的相关关系和相关系数在函数误差和其它误差的合成计算时，各误差间的相关性对计算结果有直接影响。若，即函数具有线性关系，则式(3-13)简化为(3-23)当各误差间相关或相关性不能忽略时，必须先求出各个误差间的相关系数。1误差间的线性相关关系误差间的线性相关关系是指它们具有线性关系，这种关系有强有弱。联系最强时，在平均意义上，一个误差的取值完全决定了另外一个误差的取值，此时两误差间具有明确的线性函数关系。当两误差间的线性依赖关系最弱时，一个误差的取值与另外一个误差的取值无关，这是互不相关的情况。一般两误差间的关系是处于(chǔyú)上述两种极端情况之间，既有联系而又不具有确定性关系。此时线性依赖关系是指在平均意义上的线性关系，即一个误差值随另外一个误差值的变化具有线性关系倾向，但两者取值又不服从确定的线性关系，而具有一定的随机性。第十二页，共45页。3.1.3误差间的相关(xiāngguān)关系和相关(xiāngguān)系数2相关系数两误差间有线性关系时，其相关性强弱由相关系数来反映，在误差合成时应求得相关系数，并求出相关项的大小。若两误差与之间的相关系数为，根据式(3-13)中相关系数定义，则有(3-24)式中——误差与之间的协方差；——分别为误差与的标准差根据概率论可知相关系数的取值范围是当时，两误差正相关，即一误差增大时，另一误差的取值平均的增大；当时，两误差正相关，即一误差增大时，另一误差的取值平均的减少；当时，两误差完全正相关，当时，两误差完全负相关，此时(cǐshí)两误差之间存在着确定的线性函数关系；当时，两误差间无线性关系或称不相关。注意：当相关系数很小甚至等于零时，两误差间不存在线性关系，但并不表示它们之间不存在其它的函数关系。第十三页，共45页。可判断(pànduàn)或的情形断定与两误差之间没有(méiyǒu)相互依赖关系的影响可判断(pànduàn)的情形3.1.3误差间的相关关系和相关系数

确定两误差之间的相关系数通常可采用以下方法：（1）直接判断法

通过两误差之间关系的分析，直接确定相关系数。当一个误差依次增大时，引起另一个误差呈正负交替变化，反之亦然与属于完全不相干的两类体系误差，如人员操作引起的误差与环境湿度引起的误差与虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关断定与两误差间近似呈现正的线性关系或负的线性关系当一个误差依次增大时，引起另一个误差依次增大或减小，反之亦然与属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关第十四页，共45页。3.1.3误差间的相关(xiāngguān)关系和相关(xiāngguān)系数（2）试验观察法和简略计算法观察法用多组测量(cèliáng)的对应值作图，然后与标准图形相比，看与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。=1=0=-1简单计算法将多组测量(cèliáng)的对应值在平面坐标上作图，如右图所示，然后作平行于纵轴的直线将点阵左右均分，再作平行于横轴的直线将点阵上下均分，并尽量使A、B线上无点，将点阵分为四部分，各部分点数分别为n1,n2,n3,n4，则相关系数(3-25)其中，n2n3n4n10第十五页，共45页。3.1.3误差(wùchā)间的相关关系和相关系数直接计算法根据多组测量的对应值按相关系数的定义直接计算(3-26)其中(qízhōng)，分别为的均值。（3）理论计算法根据概率论和最小二乘法直接求出。如果求得两个误差与间为线性关系，即，则相关系数为(3-27)结论：一般先在理论上探求；数值小或一般性的误差间的相关系数可用直接判断法；数值大或重要的误差间的相关系数宜采用多组成对观测，并分情况采用不同的方法。第十六页，共45页。3.2随机误差的合成(héchéng)随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量的标准差和极限误差来表征其取值的分散程度。随机误差的合成采用方和根的方法，同时考虑误差传递系数和误差间的相关性的影响。3.2.1标准差的合成全面分析测量过程中影响测量结果的各个误差因素，若有q个单项随机误差，其标准差分别为，其对应的误差传递系数为，误差传递系数由测量的具体情况来确定。根据方和根的运算(yùnsuàn)方法，总标准差为(3-28)一般情况下，各个误差互不相关，相关系数则(3-28)用标准差合成的优点：不论个单项误差的概率分布如何，只要给出标准差就能计算。第十七页，共45页。3.2.2极限(jíxiàn)误差的合成在测量实践中，各单项随机误差和测量结果的总误差也常以极限误差的形式来表示。用极限误差表示随机误差有明确(míngquè)的概率意义。极限误差合成时，各单项极限误差应取同一置信概率。若已知各单项极限误差为，且置信概率相同，则按方和根法合成的总的极限误差为(3-30)一般情况下，已知的各单项极限误差的置信概率可能不相同，不能按式(3-30)进行合成。应根据各单项误差分布情况，引入置信系数，先将误差转换成标准差，在按极限误差合成。各单项极限误差(3-31)总的极限误差为(3-34)

式(3-34)中的各个置信系数不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关。当各单项误差的项目较多时，合成的总误差接近正态分布。第十八页，共45页。3.2.2极限误差(wùchā)的合成当各单项随机误差均服从正态分布时，式(3-34)中的各个置信系数完全相同，即则式(3-34)可简化为(3-35)一般情况下，各个误差互不相关，相关系数则(3-36)式(3-36)非常简洁，由于(yóuyú)各单项误差大多服从正态分布或假设近似服从正态分布，而且它们之间常是线性无关或近似线性无关，故该式是较为广泛使用的极限误差合成公式。第十九页，共45页。3.3系统误差的合成(héchéng)系统误差的大小是评定测量准确度高低的标志，系统误差越大，准确度越低；反之，准确度越高。3.3.1已定系统误差的合成在测量过程中，若有r个单项已定系统误差，其误差值分别为相应的误差传递系数为，则按代数和法进行合成，求得总的已定系统误差(3-37)在实际测量中，有不少已定系统误差在测量过程中均已消除，由于某些原因未予消除的按代数和法合成后，还可以从测量结果中修正。3.3.2未定系统误差的合成未定系统误差在测量实践中较为常见，对于某些影响较小的已定系统误差，为简化计算(jìsuàn)也可不对其进行误差修正，而将其作未定系统误差处理。因此未定系统误差的处理是测量结果的重要内容之一。第二十页，共45页。3.3.2未定系统误差的合成(héchéng)1未定系统误差的特征(tèzhēng)及其评定定义：误差大小(dàxiǎo)和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围的系统误差。特征：（1）在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性；（2）随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概论分布，具有随机误差的特性。表示符号：

极限误差：e

标准差：u概率分布：目前对未定系统误差的概率分布，均是根据测量实际情况的分析与判断来确定的，并采用两种假设：（1）按正态概率分布；（2）按均匀分布处理。第二十一页，共45页。3.3.2未定系统误差的合成(héchéng)2未定系统误差的合成若测量过程中存在若干项未定系统误差，应正确地将这些误差合成，以求得最后的结果。由于未定系统误差的取值具有随机性，并且服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，它们之间就具有一定的抵偿作用。该种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成完全可以(kěyǐ)采用随机误差的合成公式。当难以严格区分随机误差或未定系统误差时，不论做哪一种误差处理，最后的结果相同。标准差的合成测量过程中，s个单项已定系统误差，其标准差分别为，相应的误差传递系数为，则合成后未定系统误差的总标准差(3-38)当时，则有(3-39)第二十二页，共45页。3.3.2未定系统误差的合成(héchéng)极限(jíxiàn)误差的合成则由各单项未定系统误差标准差得到的合成(héchéng)未定系统误差极限误差为：

因为各个单项未定系统误差的极限误差为:

若总的未定系统误差极限误差表示为：或由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为：当各单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，则上式可简化为：

(3-40)(3-41)(3-42)(3-43)(3-44)第二十三页，共45页。3.4系统误差与随机误差的合成(héchéng)3.4.1按极限误差(wùchā)合成误差的合成可按照(ànzhào)两种形式合成：按极限误差误差形式合成、按标准差形式合成。

测量过程中，假定有r个单项已定系统误差，s个单项未定系统误差，q个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：1单次测量情况

若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为：式中，R为各个误差之间的协方差之和。

(3-45)第二十四页，共45页。3.4.1按极限误差(wùchā)合成当各个误差均服从(fúcóng)正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总的极限误差可简化为：一般情况下，已定系统误差经修正(xiūzhèng)后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：2n次重复测量情况

当每项误差都进行n次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n。总极限误差变为：

(3-46)

(3-47)

(3-48)第二十五页，共45页。3.4.2按标准差合成(héchéng)测量过程中，假定(jiǎdìng)有s个单项未定系统误差，q个单项随机误差，它们的标准差分别为：1单次测量(cèliáng)情况

若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为：式中，R为各个误差之间的协方差之和。

若用标准差来表示系统误差和随机误差的合成公式，则只考虑未定系统误差与随机误差的合成。(3-49)

当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总标准差为：2、n次重复测量情况

当每项误差都进行n次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n。总极限误差变为：(3-50)(3-51)第二十六页，共45页。3.4.3例题(lìtí)【例3.5】在万能(wànnéng)工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为，，已知工件的高度为，求测量结果及其极限误差。序号123456误差(wùchā)因素极限误差随机误差未定系统误差备注阿贝误差光学刻尺刻度误差温度误差读数误差瞄准误差光学刻尺检定误差－－－－0.81－－0.50.351.251未修正时计入总误差修正时计入总误差根据工具显微镜的工作原理和结构可知，测量过程中主要的误差见表。第二十七页，共45页。3.4.3例题(lìtí)解：两次测量(cèliáng)结果的平均值为:根据万能(wànnéng)工具显光学刻线尺的刻度误差表，查得在50mm范围内的误差=-0.0008mm，此项误差为已定系统误差，应予修正。则测量结果为：

在万工显上用影像法测量平面工件尺寸时，其主要误差分析如下：1、随机误差

由读数误差和工件瞄准引起，其极限误差分别为第二十八页，共45页。3.4.3例题(lìtí)1）读数(dúshù)误差：2）瞄准误差：2、未定系统误差(wùchā)由阿贝误差(wùchā)等引起，其极限误差(wùchā)分别为

1）阿贝误差：2）瞄准误差：

3）温度误差：

4）光学刻度尺的检定误差：第二十九页，共45页。3.4.3例题(lìtí)3、计算测量(cèliáng)值及其误差计算测量(cèliáng)值的误差时有两种方法：方法(fāngfǎ)1当未修正光学刻尺刻度误差时测量结果可表示为：

方法2当已修正光学刻尺刻度误差时

第三十页，共45页。3.4.3例题(lìtí)【例3.6】用TC328B型天平，配用三等标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量(chēnɡliànɡ)得钢球质量，求测量结果的标准差。1随机误差:

天平(tiānpíng)示值变动性所引起的误差为随机误差。多次重复称量同一球的质量的天平(tiānpíng)标准差为2未定系统误差:

标准砝码误差和天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差均属未定系统误差。解：根据TC328B型天平的称重方法，其测量结果的主要误差如下：第三十一页，共45页。3.4.3例题(lìtí)（2）天平(tiānpíng)示值误差该项标准差为:三项误差互不相关，且各个误差传播(chuánbō)系数均为1，因此误差合成后可得到测量结果的总标准差为最后测量结果应表示为（１倍标准差）：（1）砝码误差:天平称量时所用的标准砝码有三个，即的一个，的两个，标准差分别为:故三个砝码组合使用时，质量的标准差为第三十二页，共45页。3.5误差(wùchā)分配在误差分配(fēnpèi)时，随机误差和未定系统误差同等看待。假设(jiǎshè)各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有：若已经给定，如何确定Di或相应的i,使其满足式中，称为函数的部分误差，或局部误差

测量结果的总误差由各单项误差的综合影响所确定。现研究一个新的课题，给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差，即误差分配。

误差分配的目的是在测量工作前，根据测量总误差的允差来选择合理的测量方案，合理确定各单项误差，以保证测量精度。

(3-52)

(3-53)第三十三页，共45页。3.5.1按等作用原则分配(fēnpèi)误差等作用(zuòyòng)原则：各分项误差(wùchā)对函数误差(wùchā)的影响相等，即由此可得：或用极限误差表示：函数的总极限误差各单项误差的极限误差

(3-54)

(3-55)

(3-56)第三十四页，共45页。3.5误差(wùchā)分配(1)对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本(chéngběn)为代价。3.5.2按等可能性调整误差按等作用(zuòyòng)原则分配误差可能会出现不合理情况

(2)当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。

在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。3.5.3验算调整后的总误差

误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。第三十五页，共45页。3.5.4例题(lìtí)【例3.7】测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径(zhíjìng)D及高度h，根据函数式求得体积V，若要求测量体积的相对误差为1％，已知直径和高度的公称(gōngchēng)值分别为，试确定直径D及高度h的准确度。（1）按等作用原则分配误差得到测量直径D与高度h的极限误差:

解：计算体积体积的绝对误差:第三十六页，共45页。3.5.4例题(lìtí)用这两种量具(liángjù)测量的体积极限误差为所以，用这两种量具测量不够合理(hélǐ)，需进行调整，选择精度较低的量具。

查各种量具的误差极限表，直径可用分度值为0.02mm的游标卡尺测量，在20mm测量范围内的极限误差为；而高度只需用分度值为0.10mm的游标卡尺测量，在50mm测量范围内的极限误差为。（2）调整后的测量极限误差

若改用分度值为0.05mm的游标卡尺来测量直径和高度，在50mm测量范围内的极限误差为。此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分得到补偿。调整后的实际测量极限误差为所以调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。第三十七页，共45页。3.6微小误差取舍(qǔshě)准则微小(wēixiǎo)误差（定义）测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响(yǐngxiǎng)，可以忽略不计的误差，称为微小误差。在此讨论误差小到何种程度可作为微小误差予以舍弃，即微小误差取舍准则。已知测量结果的标准差：

若将其中的部分误差取出后，则得

如果，则称为微小误差

测量误差的有效数字取一位（一般精度测量）：

解得：

(3-57)满足此条件，只需取

(3-58)(3-59)第三十八页，共45页。3.6微小误差取舍(qǔshě)准则测量误差的有效数字取二位（精密(jīngmì)测量）：对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍区准则(zhǔnzé)是被舍去的误差必须小于或等于测量结果的十分之一到三分之一。对于已定系统误差，按百分之一到十分之一原则取舍。

应用：

计算总误差或进行误差分配时，若发现有微小误差，可不考虑该项误差对总误差的影响。选择高一级精度的标准器具时，其误差一般应为被检器具允许误差的1/10～3/10。(3-60)

由此可得：

满足此条件，只需取

(3-61)(3-62)结论：

第三十九页，共45页。3.7最佳(zuìjiā)测量方案的确定最佳(zuìjiā)测量方案的确定：当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，才能(cáinéng)使测量结果的误差最小。研究间接测量中使函数误差为最小的最佳测量方案。函数的标准差为：

欲使为最小，可从哪几方面来考虑？

考虑因素：因为已