随机变量及其统计特征优秀文档

2.1概率的基本概念

2.2随机变量及其分布

2.3随机变量的数字特征

2.4结构可靠度分析中常用的概率分布

2.5n维随机向量及其数字特征

第2章随机变量及其统计特征返

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录2.1概率的基本概念1.概率的定义设E是随机试验，S是它的样本空间.对于E的每一事件A赋予一实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果它满足下列条件(1)对于每一事件A，有0≤P(A)≤1

(2)P(S)=12.1概率的基本概念(2-1)(2-2)(3)对于两两互不相容的事件Ak（k=1，2，…），有设A是A的对立事件,则2.1概率的基本概念2.概率的基本性质(2-3)空集φ的概率为零，即P(φ)=0

设A、B为两个事件，则

(2-4)对于三个事件的情况，有

2.1概率的基本概念(2-5)2.1概率的基本概念式(2-4)可以推广到n个事件的情况，设A1，A2，…，An是n个事件，则有

(2-6a)如果各事件是互不相容的，式(2-6)化为

2.1概率的基本概念设A、B为二事件,若A⊂B,则

P(A)≤P(A)(2-7)3.条件概率 设A，B为随机试验E

的两个事件，且P(A)>0,在“事件A已经发生”条件下，“事件B发生”的条件概率P(B|A)定义为

2.1概率的基本概念(2-8)计算条件概率P(B|A)有两种方法:2.1概率的基本概念(a)在样本空间S的缩减样本空间中计算B事件发生的概率，就得到P(B|A)。

(b)在样本空间S中，先计算P(AB)、P(A)，再按式(2-8)求得P(B|A)。由式(2-8)即可得到概率的乘法定理。2.1概率的基本概念利用这个定理可以计算事件A,B同时发生的概率P(AB).设P(A)>0，则有(2-9)2.1概率的基本概念一般地，设是个相互独立的事件，则有P(AB)=P(A)P(B)(2-10)如果两事件A、B中任一事件的发生不影响另一事件发生的概率，则称此二事件是相互独立的。于是得到

(2-11)4.全概率公式 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0(i=1，2，…，n)，则2.1概率的基本概念(2-12)称为全概率公式。5.贝叶斯(Bayes)公式 设B1，B2，…，Bn为样本空间S的一个划分,且P(Bi)>0(i=1，2，…，n)，对于任一事件A,P(A)>0,由条件概率的定义有2.1概率的基本概念又由全概率公式

2.1概率的基本概念即得贝叶斯公式：

(2-13)例 2-1静定桁架如图2-1所示，在力F的作用下杆a、b、c的破坏概率分别为、和0.03,求此桁架的破坏概率。

桁架任一杆件的破坏都会导致桁架的破坏，设各个杆件的破坏是相互独立的，则两个或两个以上杆件破坏的概率就等于各杆件破坏概率的乘积。

解以A、B、C分别表示三个杆件a、b、c各自破坏的事件，则有

P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(C)=0.3于是得到桁架的破坏概率为：例2-1=0.05+0.04+0.03–0.002

–0.0015–=0.11536例 2-2简支刚架AB如图所示。由于土壤地基的不均匀可能导致两支座产生不均匀沉降，设

支座A、B不是保持原来位置就是下沉50mm，且沉降概率均为；图２－２例 2-2(b)若某支座已经下沉，则另一支座将要下沉的概率为。

求支座A、B产生50mm不均匀沉降的概率。

将支座沉降事件记作：

解A—支座A沉降；B—支座B沉降；

—支座A不沉降而B沉降；

—支座A沉降而B不沉降。

(b)X为连续随机变量，其概率密度函数f(x)。桁架任一杆件的破坏都会导致桁架的破坏，设各个杆件的破坏是相互独立的，则两个或两个以上杆件破坏的概率就等于各杆件破坏概率的乘积。空集φ的概率为零，即P(φ)=0二维随机变量(X，Y)的性质与不仅变量X，Y有关，而且还依赖于这两个变量的相互关系。式(2-4)可以推广到n个事件的情况，设A1，A2，…，An是n个事件，则有4结构可靠度分析中常用的概上述结论可以推广到n个相互独立正态分布变量的线性组合情况，得到结构可靠度分析中常用的概率分布定理的条件npn=λ(常数)意味着当n很大时pn必定很小。连续随机变量可以取得某一区间内的任何数值。桁架任一杆件的破坏都会导致桁架的破坏，设各个杆件的破坏是相互独立的，则两个或两个以上杆件破坏的概率就等于各杆件破坏概率的乘积。设随机变量X所有可能取的值为0，1，2，…，而取各个值的概率为(a)pk≥0,k=1，2，…(2-15)结构可靠度分析中常用的概率分布设试验E只有两个可能的结果：A及A，记P(A)=p，P(A)=1–p=q(0<p<1)，将E独立地重复进行n次，则称这一系列重复的独立试验为n重贝努利(Bernoulli)试验，简称贝努利试验。则称(X，Y)是连续的二维随机变量，函数f(x，y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度函数。显然,支座产生不均匀沉降的概率应为事件、之和的概率。由于此二事件是互不相容的,所以得到:例2-2这就是支座A、B产生5cm不均匀沉降的概率。2.2随机变量及其分布随机变量就是在试验的结果中能取得不同数值的量。按照随机变量可能取得的值，可分为两种基本类型：离散随机变量及连续随机变量。离散随机变量仅可能取得有限或可列无限个数值。连续随机变量可以取得某一区间内的任何数值。

设离散随机变量X所有可能取的值为xk(k=1，2，…)，X取各个可能值的概率，即事件{X=xk}的概率为

及其分布1.离散随机变量的概率分布P{X=xk}=pk，k=1，2，…(2-14)由概率的定义，pk满足如下两个条件(a)pk

≥0,k

=1，2，…

(2-15)(b)

(2-16)式(2-14)称为离散随机变量的概率分布。

及其分布（1）二项式分布

将试验E重复进行n次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。 设试验E只有两个可能的结果：A及A，记P(A)=p，P(A)=1–p

=

q(0<p<1)，将E独立地重复进行n次，则称这一系列重复的独立试验为n重贝努利(Bernoulli)试验，简称贝努利试验。

及其分布

在n重贝努利试验中，事件A可能发生0，1，…，n次，以X表示事件A发生的次数，则X是一个随机变量，事件A恰发生k(0≤k≤n)次的概率为：及其分布(2-17)注意到 恰好是二项式(p+q)n的展开式中的第k+1项,故称随机变量X服从参数为n，p的二项式分布,记为X~B(n，p)。及其分布(2-18)特别，当n=1时二项式分布化为

这是(0-1)分布。及其分布（2）泊松(Poisson)分布这里概率Pn是与n有关的数。

泊松定理

设随机变量Xn(n=1，2，…)服从二项式分布，其分布规律为

又设npn=λ>0是常数，则有

及其分布(2-19)定理的条件npn=λ(常数)意味着当n很大时pn必定很小。上述定理表明当n很大、p很小时有以下的近似公式

式中λ=np。及其分布在实际计算中，当n≥10，p≤时就可以用 作为 的近似值，而前者可查表得到，较为方便。

设随机变量X所有可能取的值为0，1，2，…，而取各个值的概率为

及其分布其中λ>0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为X~π(λ)

。

泊松定理指明了当n∞时，以n，p(np=)为参数的二项式分布趋于以λ为参数的泊松分布。及其分布2.连续随机变量（1）概率分布函数

设X是一个随机变量，x是任意实数，函数

(2-20)称为X的概率分布函数。它完整地描述了随机变量的概率特征. 概率分布函数F(X)具有以下的基本性质：及其分布

F(X)是一个不减函数

0≤F(X)≤1，且有

(c)F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续的。及其分布（2）概率密度函数 对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负的函数f(x)，使对于任意实数x有

则称X为连续随机变量，f(x)称为X的概率密度函数。(2-21)概率密度函数f(x)具有以下性质：及其分布(a)f(x)≥0(b)(c)(d)若f(x)在点x处连续，则有

F’(x)=

f(x)及其分布3.多维随机变量及其分布 在生产实际中，常常需要同时用几个随机变量才能较好地描述某一现象或问题。我们称n个随机变量X1，X2，…，Xn的总体X=(X1，X2，…，Xn)为n维随机向量或n维随机变量。 由于二维与n维没有什么本质的差别，为简单及容易理解起见，下面着重讨论二维情形。设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在上的随机变量，由它们构成的一个向量(X，Y)称为二维随机向量或二维随机变量。及其分布 二维随机变量(X，Y)的性质与不仅变量X，Y有关，而且还依赖于这两个变量的相互关系。这就需要将(X，Y)作为一个整体来进行研究。2随机变量及其分布3随机变量的数字特征0≤F(X)≤1，且有一般地，设是个相互独立的事件，则有定理的条件npn=λ(常数)意味着当n很大时pn必定很小。多维随机变量及其分布(a)f(x)≥0反之，则图形变得越平坦，X落在μ附近的概率也就越小。对于随机变量函数的数学期望，有下面的定理：(2)P(S)=1(a)pk≥0,k=1，2，…(2-15)为了求得沉降量的最大差值ε不超过15mm的概率，必须确定支座C沉降值的允许范围。对于任意固定的x，F(x，–∞)=0如果两事件A、B中任一事件的发生不影响另一事件发生的概率，则称此二事件是相互独立的。结构可靠度分析中常用的概率分布n维随机向量关于其中某一分量xi的边缘概率分布函数和边缘概率密度函数分别定义如下：结构可靠度分析中常用的概率分布设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数

及其分布称为二维随机变量(X,Y)的概率分布函数，或称为随机变量X和Y的联合概率分布函数。 概率分布函数F(x，y)具有下列基本性质：

及其分布(a)F(x，y)是变量x或y的不减函数。(b)0≤F(x，y)≤1，且

对于任意固定的y，

F(–∞，y)=0对于任意固定的x，

F(x，–∞)=0

F(–∞，–∞)=0，F(+∞，+∞)=1(c)F(x，y)=F(x+0，y)，F(x，y)=F(x+0，y+0)，即F(x，y)关于x，y均为右连续.

对于二维随机变量(X，Y)的概率分布函数F(x，y)，如果存在非负的函数f(x，y)使得对于任意实数x，y有

则称(X，Y)是连续的二维随机变量，函数f(x，y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度函数。及其分布概率密度函数f(x，y)具有以下性质：及其分布(a)f(x，y)>0(b)(c)若f(x，y)在点(x，y)连续，则有

(d)设G是xOy平面上的一个区域，点(X，Y)落在G内的概率为

关于常见随机变量的概率分布函数、概率密度函数等统计特性，将在节及节介绍。

及其分布2.3随机变量的数字特征随机变量分布的常用数字特征:数学期望，方差和矩。1.数学期望设离散随机变量X的概率分布为

若级数

绝对收敛，则称级数为X的数学期望，记为E(X)，即

(2-22)对于连续随机变量X，设它的概率密度函数为f(x)，若积分

绝对收敛，则称积分 为X的数学期望，记为E(X)，即

(2-23)的数字特征

数学期望为随机变量X的一阶原点矩。

数学期望又简称为期望或均值,

在可靠度分析中常用mx表示。的数字特征

的数字特征

2.随机变量函数的数学期望对于随机变量函数的数学期望，有下面的定理：设Y是随机变量X的函数，且Y=g(X)为连续实函数，(a)X为离散随机变量，其概率分布为 。若 绝对收敛，则有

(2-24)的数字特征

(b)X为连续随机变量，其概率密度函数f(x)。若 绝对收敛，则有

(2-25)的数字特征

3.方差、均方差及变异系数方差，描述随机变量的一切可能值在均值周围的分散程度。 变量η=X-mX叫做随机变量X的离差。因为均值是一常数，所以有

(2-26)由此可见，随机变量的离差的均值恒等于零。的数字特征

随机变量X的离差的平方的均值称为随机变量X的方差，记作

随机变量X的方差的平方根叫做标准差，它与变量X具有相同的量纲，记作

由方差的定义，对于离散随机变量，有

对于连续随机变量，则有(2-27)(2-28)随机变量X的方差也叫做X的二阶中心矩.

的数字特征

随机变量X的标准差与均值之比叫做变异系数，它是描述随机变量分散程度的无量纲因数，记作

(2-29)的数字特征

2.4结构可靠度分析中

常用的概率分布 在工程结构可靠性设计与分析中，常用的随机变量的概率密度函数有：正态分布，对数正态分布，极值Ⅰ型分布。

支座A、B不是保持原来位置就是下沉50mm，且沉降概率均为；相关因数表示两个随机变量之间的线性相关程度， 表示两个变量之间完全相关，ρ=0则表示二者之间完全不相关。(a)pk≥0,k=1，2，…(2-15)设随机变量X的自然对数lnX服从正态分布，则称X服从对数正态分布，其概率密度函数为设随机变量X所有可能取的值为0，1，2，…，而取各个值的概率为若 绝对收敛，则有结构可靠度分析中常用的概率分布与边缘分布相对应的另一个概念是条件分布。对于E的每一事件A赋予一实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果它满足下列条件设A是A的对立事件,则由方差的定义，对于离散随机变量，有我们称n个随机变量X1，X2，…，Xn的总体X=(X1，X2，…，Xn)为n维随机向量或n维随机变量。上述定理表明当n很大、p很小时有以下的近似公式1.正态分布结构可靠度分析中常用的概率分布设连续随机变量X的概率密度函数为

(2-30)式中μ，σ

>0为常数，则称X服从参数为μ，σ的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为X~N(μ，σ2)。可以证明，式(2-30)中常数μ为X的均值，σ为X的标准差。f(x)的图形如下图所示，它具有下列性质：(a)曲线关于x=μ对称。(b)当

x=μ时取得最大值：结构可靠度分析中常用的概率分布结构可靠度分析中常用的概率分布如果固定σ而改变μ的值，则f(x)的图形沿着x轴平移，其形状不改变(如图2-5)。结构可靠度分析中常用的概率分布如果固定μ而改变σ的值，由可见：σ越小时图形变得越陡峭(如图2-6)，因而X落在μ附近的概率越大；反之，则图形变得越平坦，X落在μ附近的概率也就越小。特别当μ=0，σ=0时，称X服从标准正态分布，其概率密度函数和概率分布函数分别用 表示，得

(2-31)(2-32)结构可靠度分析中常用的概率分布 标准正态分布曲线如下图所示，阴影部分的面积分别表示X落在中心点 左右范围内的概率。

结构可靠度分析中常用的概率分布对于一般正态分布变量X，其概率分布函数

可通过变量代换得到式(2-32)所示的标准形式，然后查表，即令 ，得

(2-33)(2-34)结构可靠度分析中常用的概率分布 如果要计算变量X落在区间(x1，x2)内的概率，得到

(2-35)结构可靠度分析中常用的概率分布例 2-3壳体结构如图所示：设支座A、B、C处的反力可由平衡条件求得，由于地基土物理性质的复杂性，使得三支座的沉降量δA，δB，δC服从相互独立的正态分布，均值分别为20mm、25mm和30mm，变异系数分别为、和0.25。ACB例 2-3试求：

(1)最大沉降量超过40mm的概率是多少?(2)若已知支座A、B分别沉降25mm、35mm，求三支座沉降量的最大差值不超过15mm的概率是多少？先求最大沉降量超过40mm的概率，有

解为了求得沉降量的最大差值ε不超过15mm的概率，必须确定支座C沉降值的允许范围。由已知条件可见,支座C的沉降值范围是：20mm≤δC≤40mm，于是得到

例2-32.对数正态分布结构可靠度分析中常用的概率分布 设随机变量X的自然对数lnX服从正态分布，则称X服从对数正态分布，其概率密度函数为

(2-36)式中λ=E(lnx)和 分别是lnx的均值和标准差。下图给出了ζ取不同值时函数f(x)的图形：结构可靠度分析中常用的概率分布(2-37)可以证明，lnX的均值λ和标准差ζ可由随机变量X的均值μ和标准差σ表示如下：(2-38)(2-39)结构可靠度分析中常用的概率分布3.极值Ⅰ型分布结构可靠度分析中常用的概率分布若随机变量X的概率密度函数为

则称X服从极值Ⅰ型(最大值型)分布，其概率分布函数为

(2-40)(2-41)式中参数

(2-42)极值Ⅰ型概率分布函数的另一种表达形式为

式中参数

(2-43)(2-44)结构可靠度分析中常用的概率分布结构可靠度分析中常用的概率分布极值Ⅰ型分布曲线如下图所示：kfX(x)x4.相互独立正态分布 变量的和与差结构可靠度分析中常用的概率分布如果随机变量X~ 和Y~ 为相互独立的正态分布变量，则其和或差Z=XY也是正态分布变量。

变量Z的概率密度函数为

(2-45)式中

(2-46) 上述结论可以推广到n个相互独立正态分布变量的线性组合情况，得到

(2-47)(2-48)结构可靠度分析中常用的概率分布2.5n维随机向量及其数字特征设E是一个随机试验,X1，X2，…，Xn是定义在同一样本空间S=S{e}上的随机变量，由它们构成的一个向量X=(X1，X2，…，Xn)称为n维随机向量或n维随机变量。 n维随机向量的联合概率分布函数可表示为

2.5n维随机向量及其数字特征

式中f(x1，x2，…，xn)称为n维随机向量的联合概