初中数学：二次函数复习资料

最值最值二次函数考一二函的念图（分、二次函数的概念一般地，如果

y(a,，0)

，那么y叫的二次函数。yax

2

bxa,,，0)

叫做二次函数的一般式。、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M并用虚线画出对称轴（2求抛物线

yax

与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点及物线与y轴交点再找到点C的称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及称点D。由M、三可粗略地画出二次函数的图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。考二二函的析（）二次函数的解析式有三种形式：（1一般式：

yax

2

bxa,,，0)（2顶点式：

ya(x)

2

(,k是常数，0)（3当物线

yax

与x轴交点时即应二次好方程

0有实根x和x存时据二次三项式的分解因式

ax

2

x)12

二次函数

yax

2

可转化为两根式

ya(x)

。如果没有交点，则不能这样表示。考三二函的值（分如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值b时。2aaaa如果自变量的取值范围是

xx

，那么，首先要看

是否在自变量取值范围xx

内，若在此范围内，则当x

b2

2时，y；若不在此范围内，则最值需要考虑函数在

xx

范围内的增减性如果在此范围y随的大而增大则当x

时，

ax

22

2

当

x

时，

ax1

1

如在此范围内，y随x的增大小，则当

x

时，

1

，当

x

时，

22

2

。考四二函的质（6~14分、二函数的性质函数

二次函数ybx(a,，

yy图像x（1抛物线开口向上，并向上无限延伸；

x（1抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2对称轴是

b，顶点坐标是（，（）称轴是，点坐标是（，aa2a

2

2

性质

（3在对称轴的左侧，即当x<

时，y随x（3在对称轴的左侧即当时y随xa的增大而减小；在对称轴的右侧，即当

x>

的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>

时y随x的增大而增大，简记左减右

时，y随x的大而减小，简记左增增；

右减；（4抛物线有最低点，当x=

时，y最小（）物线有最高，当x=时y有aa值，

y

最小值

2

大值，

y

最大值

2（1）函数＝2＋＋c其中a、b、c常数，且做的二次函数．bac（2）利用配方，可以把二次函数表示成y＝(x＋)2＋或y＝a(x24a－h)

2

＋k的形式（3）二次函数的图象是抛物线，当＞0时抛物线开口向上，当＜0抛物线开口向下．抛物线的对称轴是直线x＝－

b2a

或x＝hbac抛物线的顶点是(－，)(h，k24a、二次函数

yax

bx(a,b，0)中a、b、c

的含义：

表示开口方向：

>0时抛物线开口向上

<0时抛物线开口向下与对称轴有关：对称轴为x=

a

表示抛物线与y的交点坐标，）、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与轴的交点坐标。因此一元二次方程中的

ac

，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当当

>0时图像与x轴两个交点；=0时图像与x轴一个交点；当时图像与x轴有交点。补：两点间距离公当遇到没有思路的题时用方法拓展思路寻解题方法）y如图：点A坐为（x，y）点B标为x，y）112则AB间的距离，即线段AB长度为

AxB222222222222222222、函数平移规律（中考试题中，只占3，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）三、学的过程：分层练习（组）一、选择题：1．为解决价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为，该药品的原价是元，降价后的价格是元，则yx的函数关系式是（）（A）＝2m(1－x)（B）y＝2＋)（D）＝m(1x．抛物线y2x的对称轴是（）、＝－2、x＝2C、＝－4D、x＝43．抛物线＝2(x－的顶点在（）第一象限.第二象限.轴上.y轴上二、填空题：

（C）y＝m－x)1.抛物线

x

与x轴分别交、B两点，则的长为_______．2二次函数＝－＋3配方＝－h＋k形式y＝．三、解答题(写出问题中的函数关系式及自变量的取值范围在一个半径为的圆形纸片中剪去一个半径为r（）的同心圆，得到一个圆环.圆环的面积为S（cm

求S关于r的函数关系式．四、综合题5已知一个二次函数的图象经过－2，、(0)和，－2)三点．2求出这个二次函数的解析式；通过配方，求函数的顶点P坐标；若函数的图象与x轴相交于点E、，（在F的左边），求出E、两点的坐标．作出函数的图象并根据图象回答：当取什么时，＞0y＜0，＝0答案．选择题：CBC．填空题：12.＝x1)＋三、解答题s＝(0r＜四①＝－－1.5

②y＝x－－，－③(－，0)F，④图略当＜－或X＞当－＜＜3＜0当X－，＝时y＝0第26章二次函数26.1二次函数26.2用函数观点看一元二次方程26.3实际问题与二次函数第二十六章二函数一．知识框架二．知识概念二次函数地量和因变量之间在如下关系式a、c为数)，则称y为x的次函数。二次函数的解析式三种形式。一般式y=ax+bx+c(≠)顶点式

ya(

2

ya(

4)2a4

2交点式

ya()(1二次函图像与性质y对称轴：

x

b2顶点坐

Ox

标：

(

4,)与y交点坐标（0，）增减性：当a>0时对称轴左边，随x增而减小；对称轴右边y随x增而增大当时对称轴左边y随x增而增大；对称轴右边，y随x增大而减小二次函数图像画法：勾画草图关键点开口方向eq\o\ac(○,2)称轴eq\o\ac(○,3)点eq\o\ac(○,4)与x轴点eq\o\ac(○,5)y轴点图像平步骤（1配方

ya(

，确定顶点h,k）22222222（2对轴左加右减；对y轴上加下减二次函的对称性二次函数是轴对称图形有这样个结论横坐标为x其对应的纵坐标相等那么对称1,2轴

1根据图判断a,b,c的号a—开口方向—对称轴与a左右异二次函与一元二次方程的关系抛物线

+bx+c与x轴交点的横坐标xx是一元二次方程1,

（≠）的。抛物线，，抛物线便转化为一元二次方程+bx+c=022

>0时一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴两个交点；=0时一元二次方程有两个等的实根，二次函数图像与x轴一个交点；

ac

<0时一元二次方程有不等实根，二次函数图像与x没有交点二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．教师在讲解本章内容时应注重培养学生数形结合的思想和独立思考问题的能力。时18．二次函数及其【前身1．将抛物线

y

2

向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是．2.如1所的抛物线是二次函数yax

2

x

2

的图象，那么a的值是．3.二函数

yx

的最小值是（）A.－2B.2C.1D.14.二函数

y2(

的图象的顶点坐标是（）A.（1,3）（－1,3）C.1,－）D.－1,）5.二函数A.

的图象如图所示，则下列结论正确的是（）yD.【考链】

O

x1.二函数

y()

2

的图像和性质

＞

＜y图开

象口

O

x对称轴顶点坐标最

值

当x＝值

时，有

当x＝时，y有最值增

在对称轴左侧

y随的增而

y随x的大而减性

在对称轴右侧

y随的增而

y随x的大而2.二函数

yax

2

用配方法可化成

y

的形式，其中

＝，

＝3.二函数

y()

2

的图像和

yax

2

图像的关系4.二函数

yax

2

中,

的符号的确.【典精】例(06遂宁)知二次函数

yx

2

，(1)用方法把该函数化为

y(x

2

(其中a、、都是常数且a≠0)式，并画出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称轴和顶点坐.(2)求数的图象与x轴交点坐.例（大连）图，直线

ym

和抛物线

yx

都经过点A(1，0)，B(3，2)．⑴求m的和物线的解析式；

⑵求等式

x

xm

的解集．

B(直接写出答案)O

A

yoyo【考练1.抛线

y

的顶点坐标.2.请出一个开口向上，对称轴为直线＝2，且与轴交标为(，3)的抛物线的解析.

点坐3.（江西）知二次函数

y

2

x

的部分图象如

右图所示，则关于

的一元二次方程

的解为．4.函

y2

与

yaxab

在同一坐标系中

的大致图象是（

）

yy

yo

oo

x

xx

xA

B

CD5.(06资阳)已知函数y=x-2x-2的图象如图1所，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立x的值范围是（）A．-1≤3B．≤x≤C≥-3．x≤或x≥36.(06浙江)二次函数

yax

a0的图象如图所示，则下列结论：①a＞；②c＞；③b-4a＞0，其正确的个数()A.0个B.1个C.2个D.3个（第题（第题）7.已二次函数

y

的图象经过点（1，8）求此二次函数的解析式；根据（）填写下表.在直角坐标中描点，并画出函数的图象；

01234（）据图象回答：当函数值y<0，的取范围是什么？时19．二次函数的应【前身1.二函数y＝2x－＋的称轴方程是＝___；当＝时y有最值.2.有个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中（如右图抛物线的解析式为．3.某司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分都是，那么与的数关系是（）A．y＝＋B．＝a（－）．y＝（－）．＝（＋）4.把段长米铁丝围长方形ABCD设宽为x面积为y则y最时x所的是（）A．B．0.4．0.3．【考链】1.二函数的解析式）一式点式：；（）点式：2.顶式的几种特殊形.⑴，⑵，⑶）．二次函数

yax

通过配方可得

(

bac)22a

，其抛物线关于直线，顶点坐标为（⑴当时抛物线开口向，有最（填高或低）当有（“大”或“小）值是⑵当

时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）,当

时，

有最”“小是【典精】例铝合金型材做一个形状如图1所示矩形窗设窗框的一边为窗的透光面积为ym，与x的函数图象如所示.观察图象，当x为值时，窗户光面积最大？当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？例子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示.若已知OP＝米出的水流的最高点A距水平面的高度是4米离柱子OP的离为1米求这条抛物线的解析式；若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？xxxx【考练1.（06浙）次函数y＝x＋10x－的小值为．2.某机着陆生滑行的路程s米与时间t的关系式为：

tt

，试问飞机着陆后滑行米才能停.3.矩周长为16cm,它一边长为xcm面积为ycm，则y与之间数关系为．苹熟了上落下所经过的路程s与落的时t满足

s

gt

（是为的数）则s与t的数图象大致()（恩一张边长为30㎝正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形然后折叠成一个无盖的长方体.ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（）A.7B.6C.5D.4.下列数关系中，是二函数的()在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之的关系当距离一定时，火车行驶的时间与度v之间的关系等边三角形的周长C与长之间的关系圆心角为的形面积与半径之的系7.根下列表格中二次函数

yax

2

的自变量x函数值的应值，判断方程

（

a，，，

为常数）的一个解

的范围是（）ya

x

6.17.

6.186.196.200.0.0Ａ．Ｃ．

x6.17

Ｂ．Ｄ．

6.18x6.208．如图，用长为18m的笆（虚线部分面靠墙围成矩形的苗圃.⑴设形的一边为

(m)，求

关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；⑵当为值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？9.体测试时三一名高个生推铅球知球所

经过的路线为抛物线

y

112

x

的一部分，根据关系式回答：该同学的出手最大高度是多少？铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？该同学的成绩是多少？时21．函数的综合应（【前身1．抛物线

y

2

x

与x轴别交于A、两，则AB的为________．2．已知函数）象不经过第二象限图象经过（，-5你出一个同时满足（）（）函数_．如图，用一段长为30米篱围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，边长为x米则菜园的面积（位：米2）x（位：米）的函数关系式为要写出自变量的值范围）．当路程一时，速度v与时间t之的函数关系是（）

DA

墙菜园（第题）

CBA．正比例函数B．反比例函．一次函数．二次函数5．函数

ykx

与

y

kx

（≠）同一坐标系内的图象能是（）【考链】1．点yy2的图上则.0o2.求数ykx轴的点横坐标，即令，解方程；与y轴的交点纵坐标，即令，值3.求一次函数

y与次函数

y

2

点，解方程.【典精】例（06烟台如（位三角形ABC以米/秒的速度沿直线向方形移，直到AB与CD重．设x秒时三角形与正方形重叠部分的面积为写出y与x的系式；当x=2，3.5时，y分别是多少？当重叠部分的面积是正方形面积的一半时形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称.例如图，抛物线yx经点A(1,0)，与y轴交于点B.（）抛物线的解析式；（）是y轴正半轴上一点，是等腰三角形，试求点P的标y【考练1．反例函数

y

A1Bk的图像经过A－，5）点B（a，3＝＝x2206旅顺如图是一次函数y＝kx＋b和比例函数1my＝的象，•察图象写出>y时，x的取值范21围是_________．3．根据右图所示的程序计算变量y的，若输入自变量x的值为

32

，则输出的结果是_4.（06威）图，过原点的一条直线与反比例函数＝

kx

（）的图像分别交于A、两，若A点的坐标为a，B点的坐标为（）A，）B，）C，-aD，）5.二函数y＝＋－的数值是8那么对应的值是（）A．B．C．3和．－6.下图中阴影部分的面积与算

3|)242

的结果相同的是（）7.如，方格纸上一圆经过(2,5)(-2,1)，(2,-3)(6,1)四点则该圆圆心的坐标为)A.(2,-1)B.(2,2)C.(2,1)D.(3,1)三解题8.已点

的坐标为

，

的坐标为

．⑴写一个图象经过

，

两点的函数表达式；⑵指该函数的两个性质．9.反例函数y＝个动点，

kx

A313x的图象在第一象限的分支上有一点（34正半轴上的一求反比例函数解析式.当P在么位置时，OPA为直三角形，求出此时P点的坐.10.（枣庄）图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的形片ABCO将纸片翻折后，点B恰落在x轴上记为B′，折痕为CE，已知tanOB′＝（）B′点的坐标；（）折痕CE所在线的解析式．时21．函数的综合应（y【前身1.（08甘）图是某种蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的图像，由图像解答下列问题：⑴此烛燃烧1小后，高度为cmE经过小时燃烧完毕；⑵这蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系OBA的解析式是．

．

x

157O

x(小)2.如，已知中BC=8，BC上高，DBC上一点，，AB于点E交AC于（不过ABE到距离为则的积关于的函数的图像大致为（）（贵阳某商场购进一种单价为

40

元的篮球，如果以单价

50

元售出，那么每月可售出500个根据销售经验，售价提高1元销售量应减少1个假设销售单价提高x元那么销售每个篮球所获得的利润是___________元；这种篮球每月的销售量是个含的数式表示）当篮球的售价应定为元月销售这种篮球的最大利润时大利润是元.【考链】1．二次函数

yax

通过配方可得

(

bac)22a

，⑴当a0时抛物线开口向，有最（高或低）当y有（“大或“小”）值是⑵当

a0

时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）,当

时，y

有最”“小是2.每商品的利润P=－；品的总利润Q=×.【典精】例近年，“宝胜”团根据市变化情况采用灵活样的营销策略，产值、利税逐年大幅度增长．六销售公年销售型号电线达数万米，这得益于们较好地握了电缆售价销售数量间的关系市场研发现电缆线一的销量）与售价（元米）之存在着如图示的一次数关系，40≤x≤．根据图象，求ｙ与ｘ之间的函数解析式；设该销售公司一天销售这种型号电缆线的收入为ｗ元．试用含x的代数式表示ｗ；试问当售价定为每米多少元时，该销售公司一天销售该型号电缆的收入最高？最高是多少元？例（南宁随着绿南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提某林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图（）示；种植花卉的润y与资量成二函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：元）⑴分求出利润与关于投资量x的数关系式；2⑵如这位专业户以8万资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能取的最大利润是多少？【中考1.如角

演】图所示，在直梯形ABCD中，∠A＝∠＝90°截取AE＝BF＝＝x.已知AB＝6CD＝3AD＝4求四边形的面积S关于函数表达式和x取值范围G

x2.(06沈阳)某业信息进行市场调研发现：信息一：如果单独投资种产品则所获利润y(万)与资金额x(万之间存在正比例函数关系：kx，且当投资5万元时，可获利润2万；信息二：如果单独投资B种品则所获利润y(万)与资金额x(万之间存在二次函数关系：2，并且投资2元时，可获利润2.4万元；B当投资4万元，可获利润3.2万.请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；如果企业同时对A两种品投资10万元你计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多3.如，已知矩形OABC的OA3，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻得APC.（）空：∠PCB＝，点标为；（）、A两在物线y－线上；

43

xbx上，c值，并说明点在此物（）（）的抛物线CP段不包括，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP面积最大？若存,求出这个最大值及此时M点的标；若不存在，请说明理由.第六章函数及其图知点一、平面直角坐标系平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。不同位置点的坐标的特征：（1）各象限内点的坐标有如下特征：点P（x,y）在第一象限x＞，y＞；点P（x,y）在第二象限x＜，＞；点P（x,y）在第三象限x＜，＜；点P（x,y）在第四象限

x＞0，＜。（2）坐标轴上的点有如下特征：点P（x,y）在x轴

y为，x为任意实数。点P（x，y）在y轴

x为0y为任意实数。．点P（x,y）坐标的几意义：（1）点P（x,y）到x轴距离是y；（2）点P（x,y）到y袖距离是x；（3）点P（x,y）到原点的距是

2

2．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：（1）点（b关于x轴的对称点是

(

；（2）点P（b关于x轴的对称点是

(b

；（3）点（b关于原点的对称点是

(

；二、函数的概念常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量和，如果对于x每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x自变量y是x的函数（1）自变量取值范围的是：解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为的实数。③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数量取值范围是使被开方数非负的实数。注意在确定函数中自变量的取范围时果遇到实际问题还必须使实际问题有意义。函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点；③连线三、几种特殊的函数、一次函数直线位置与k，关系：（1）k＞0直向上的方向与轴正方向所形成的夹角为锐角；（2）k＜0直向上的方向与轴正方向所形成的夹角为钝角；（3b＞直线与