北师大版初中数学：《直角三角形的边角关系》教案

第一章

直角三角形的边角关1.1

子程起（课学目:经历探索直角三形中边角关系的过.解正切的意义和与现生活的联.能够用tanA表直角三角形中两的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单计.学重:从现实情境中探直角三角形的边角关.理解正切、倾斜度、坡度的数学意义，密切数与生活的联.学难:理解正切的意义并用它来表示两边的.学方:引导—探索.学过:一、生活中的数问:你能比较两个梯哪个更陡吗？你有哪些办法？生活问题数学化⑴如图：梯子AB和EF个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，子AB和EF哪个更陡？你是样判断的？二、直角三角形边与角的关系（如图，回答下问题）⑴Rteq\o\ac(△,)1C和Rteq\o\ac(△,2)AB2有么关系⑵

BB122ACAC1

有什么关系？⑶如果改变B2

在梯子上的位(如BC3呢?⑷由此你得出什结?三、例题：例1、图是甲，乙两个自动扶梯，哪一自动扶梯比较?例2ABC中°AB=20cm，求tanA和tanB的值.四、随堂练习：1、如图，ABC是等腰角三角形，你能根据图中所给据求出tanC吗?2如图某人从山脚下的点A走200m后到山顶的点B已知B山脚的垂直距离55m，求山的坡度(结精确到0.001)3、若某人沿坡度i＝：的坡前进10米，他所在的位置比原来的位置升________.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.5、如图，eq\o\ac(△,Rt)是一洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防能力，现将背水坡改造成坡比：1.5的坡，DB的长(结果保留根号五、课后练习：在ABC中∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA=_______.在ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,tanA=_______.在ABC中,则tanC=______.在RtABC中∠C是直角∠A∠B、∠C对边分别是a、b、且a=24,c=25,求tanA、的值5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切.6图在菱形中,AE于的边长和四边形AECD的长

512

,求菱形

A

DBEC7知:,斜坡AB的斜角a,且tanα=B处移,则小球以多大速度向上升?

,现有一小球从坡底A处以20cm/s速度向坡顶BAC8、探究a克糖水中有克糖a>b>0),糖的质量与糖水质量的比_______;若再添c克糖(c>0),则糖的质与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们:添的糖完全溶解后,糖水会更请根据所列式子及这生活常识提炼出一个不等:____________.我们知道山坡的角越,则坡,联想到课中的结:tanA的值越大则越,我们会得到一个锐逐渐变大时,它正切值随着个角的变化而变化的规律,请写出这规律_____________.如,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA、BC,AE=CD=c,直CA、交于点请运用2)中得到的律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出不等.

B1.1梯斜起二课学目：经历探索直角三形中边角关系的过程，理解正和余弦的意.能够运用、cosA表直角三角形两边的.能根据直角三角中的边角关系，进行简单的计.理解锐角三角函的意义.学重：理解锐角三角函正弦、余弦的意义，并能举例.能用sinA、cosA表示直角三角两边的.能根据直角三角的边角关系，进行简单的计.学难：用函数的观点理正弦、余弦和正.学方：探索——交流.学过：一、正弦、余弦三角函数的定义想一想：如图(1)直三角形ABC和直三角形ABC有什么关系(2)

CAC有么系?BA

BC1呢1(3)如改变A梯子AB上的置?你由可得出什么结论(4)如改变梯子A1B的斜角的大小?你由又可得出什么结?请讨论后回答二、由图讨论梯的倾斜程度与和cosA关系：三、例题：例1、图，在RtABC中，∠°AC＝200.sinA＝，求BC的长.例2、一做：如图，在Rt△ABC中C=90°cosA＝

，＝10，等多少sinB呢?cosBsinA呢你能得出类似例的结吗请用一般式.四、随堂练习：1、在等腰三角形中，AB=AC＝，求sinB，，2、在△中，∠＝90°，sinA＝

，BC=20求△ABC的周和面积.3、在△中∠C=90°若tanA=

，则sinA=.4、已知：如图，是eq\o\ac(△,Rt)ABC的斜边上的高，求证BCAB·BD.(用正弦余弦函数的定义证明五、课后练习：1、在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=

,则sinB=_______,tanB=______.2、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=41,sinA=

941

,则AC=______,BC=_______.3、在△ABC中AB=AC=10,sinC=,则BC=_____.4、在△ABC中已知那下列结论正确的()A.sinA=

33B.cosA=C.tanA=D.cosB=45

B3BC5、如图在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则等于()533A.B.C.D.436、Rt中∠C=90°,知cosA=那么tanA等()544C.D.347、在△中，∠C=90°则sinA值是

A

CA．

512．．．58、已知甲、乙两坡的坡角分别、β若甲坡比乙坡徒,则下列结论正确的是)A.tanα<tanβα<sin;αβα>cosβ9、如图在Rt△ABC中CD斜边AB上的,则下列线段的比中不等于的是)

D

BA

CA.

CDDBCDB.C.D.AC10、人沿倾斜角的斜坡前进100m,他上升的最大高度是()mA.

sin

B.100sinβ

C.

cos

D.100cos11、图分别求∠的弦余和正切.12、△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边的高AD=4.求CD,sinC.13、Rt中,∠BCA=90°,CD是中,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.14、Rt中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系15、图已知四边形中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=

.求：

：eq\o\ac(△,s)ABD△

A1.230°、45°60°角学目：经历探索30°45°60°角的三角函数值的过程能够进行有关的推进一步体会三角函数的意义能够进行30°、°60°角的三角函数值的计算能够根据30°、°60°的三角函数值说明相应的锐的大.学重：探索30°、45°、60角的三角函数值能够进行含°45°60角的三角函数值的计.比较锐角三角函值的大.学难：进一步体会三角数的意.学方：自主探索法学过：一、问题引入[问题]为了测量棵大树的高度，准备了如下测工具：①含30和60两个锐角的三角尺；②皮尺请你设计一个测量案，能测出一棵大树的高.二、新课[问题]1、观察副三角尺，其中有几个锐?它们分别等于多少?[问题]2、sin30°等于多少?你是怎样得到?与同伴交流.[问题]3、cos30°等于多少tan30?[问题]、我们出了30°角三个三角函数值，还有两个特殊角—45°60°它们的三角函数值分是多?你是何得到?结论：三角函数角度sinα30°45°60°

coα

tan[例1]算：(1)sin30°+cos45°°+cos60°-tan45°[例2]个小孩荡秋千秋链子的度为2.5m当秋向两边摆动时摆恰好为60°，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与摆至最低位置时的高度之差.(结果确0.01m)三、随堂练习1.计：(1)sin60°-tan45°(2)cos60°+tan60°；(3)

22

sin45+sin60°-2cos45；⑷

sin3

；⑸+1)+2sin30-8；⑹(1+)-｜｜1+(

)；⑺sin60°+

11tan

；⑻2-(+)-cos60-

2

.2.某场有一自动梯，其倾斜角为30°高7m，扶梯的长是多?3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30m两楼问的距离AC=24m现需了解甲楼对乙楼的采光影响.当太阳光水平线的夹角为30°时求楼的影子在乙楼上有多高(精确到0.1，

2

≈1.41，

3

≈1.73)四、课后练习：1、eq\o\ac(△,Rt)ABC中

，则

a_____,b

；2、在△中，若cb2,，则

，面积＝；3、在△中AC：BC1：3

，＝，B，AC＝＝4、等腰三角形底边与底边上的高的比是23，则角为（）（）60（）90C）120（）1505、有一个角是

30

的直角三角形，边为cm

，则斜边上的高（）（）

1（）2

（）

3cm（D）4

cm6、在中，B

，则tanA于（（）

3

（）

33

（）

32

（）

7、如果∠是等边三角的一个内角，那么cos的等于（（）

（）

22

（）

32

（）8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草以美化环境，已知这种草皮每方米

20

30元，则购买这种皮至少要（（）a元（）225a元（）150a元（）元9、计算：⑴、

60

⑵、

sin6030⑶、

sin3045

⑷、

cos

⑸、

3

⑹、

3cos605sin300⑺、

2sin230⑻23010、设计一种方计算tan15°的值1.4

触险学目：经历探索船是否触礁危险的过程，进一步体会角函数在解决问题过程中的应.能够把实际问题化为数学问题够助于计算器进行有关三角函数的算能结果的意义进行说.学重：经历探索船是否触礁危险的过程，进一步体会角函数在解决问题过程中的作.发展学生数学应意识和解决问题的能.学难：根据题意，了解关术语，准确地画出示意.学方：探索——发现法学过：一、问题引入：海中有一个小岛A，岛四周10海里内有暗礁今有货轮由西向东航，开始在A岛南偏西55°处，往行驶海后到达该岛的南偏西25°处，之，货轮继续往东航行，你认为货轮继续东航行途中会有触礁的危险?你是如何想?与同伴进行交.二、解决问题：1图小明想量塔CD的高度.他在处仰望塔得仰角为30°往塔方向前进50m至B处测仰角为60°那么该塔有多高(小明的身忽略不计，结果精确到m)2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°至35°，已知原楼梯为m，调整后的楼梯会加长少？楼梯多占多长一段地?结精确到0.0lm)三、随堂练习如，一灯柱AB被钢缆CD固定，与地面成40°角，且＝，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多?2.如库坝的截面是梯形ABCD顶AD＝6m长CD8m.坡底BC＝30mADC=135°(1)ABC的大小：(2)果坝长100m.么建筑这个大坝需多少土石?(结果精确到0.01m3．如图，某货船以20里／时的速度将一批重物资由A运往正西方向的B处，16小时的航行到达，到后必须立即卸货.时.接到象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向偏西°向移动，距台风中心200海的形区(包括边界均到影.(1)B处否会受到台的影?请说明理.(2)避免受到台风的影响，该应在多少小时内卸完货?(供选用数据：

2

≈，3

≈1.7)四、课后练习：1.有拦水坝是等腰楼,的上底是6米下底是10,高为3米,求此拦水斜坡的坡度和坡角2.如,太阳光线与地面成60°角一棵大树倾斜后与地成36°角,这测得大树在地面上的影长约为10米求大树的长(精确0.1米)太阳光线

36

60B3.如,公路和公路在点P处交,且QPN=30°,点有一所学校AP=160米,假设拖拉机行驶周围100米以内受到噪声的影响那么拖拉机在公路上PN的向行驶时学校是否会受到噪声?请说明理.NM

P

A

Q4.如,某地为响应市政府“形重于生命”的号在甲建筑物上从点A到点E挂一长为米的宣传条幅在乙建筑物的顶部点得条幅顶端A点仰角为40°,得条幅底端E的角为26°,求甲乙两建筑物的水平距离BC的长精到0.1米.

5.如,小山上有一座铁塔AB,在D处得点A的仰为∠ADC=60°,点B的角∠BDC=45°;在E处测得A的角为∠E=30°,测得DE=90米求小山高BC和铁塔高AB(确到米).6.某航飞机在大海域失,调查失事原,决定海军潜水员打捞飞机上的匣,如图所示一潜水员在以每小时8海里的速度向正方向划,在A处测得黑子B北偏东60°的方,行半小时后到达C处,测得黑匣子B在偏30°的向在潜水员继续向东

划行多少小时距离黑匣子最,并求最近距.

60

307.以办年冬奥会需改变哈尔滨市的交通状,在大直街拓工程,要伐掉一棵树AB,在面上事先划定以B为,半径AB等的形危险区现在某工人站在离B点3米的测得树的顶点A的角为60°,的底部B点的俯角为30°,如所示问距B点8米远的保护物否在危

6030

险区内B8.如,某学校为了改变办学条,计划在甲教楼的正北方21米处的一块空地(BD=21米,再建幢与甲教学等高的乙教

甲教学

30

乙教学楼

楼楼甲教学楼的高米,设计要求冬至正午太阳光线必须照射到教学楼距地面5米高的二楼窗口处已该地区冬至正午时太阳偏,太阳光线与水平夹角为30°,试判断:计划所建的乙教学楼是符合设计要?并说明理.9.如,两条带子带的度为2cm,子b的度为1cm,它们相交成α角如果重叠部分的面积为4cm求的度数

ab1.5

物度1.下是小明同学写活动报告的部分内:课题在岸近似平行的河段上测量河宽C

E测量目标图示D测得数据∠CAD=60°,AB=30m,∠CBD=45°,∠BDC=90°请你根据以上的,计算出河结果保留根).2.下是活动报告一部分,请填写“测得数据和“计算”两栏中未完成的部.课题

测量旗杆高A测量示意图

CEBD测量项目第次

第二次

平均值测得数据BD长24.19m23.97m测倾器的高CD=1.23mCD=1.19m倾斜角a=31°15′a=30°45′计算

旗杆高AB(确到0.1m)3.学完本节内容,某校年级数学老师布置道利用测倾器测量学校旗杆高的活动课,下表是小明同学写的活动报告请你根据有关测量数,求旗高AB(算过程填在下表计算栏内用算器计算.活报课题测量示意图

利用测倾器测量校旗杆的高AEB

测量数据计算

BD的BD=20.00m测倾器的高CD=1.21m倾斜角α=28°旗杆高AB计算过程精到0.1m)4.某为促进本地济发,计划建跨河大桥需测出河的宽度AB,在河一座高度为300米的山顶观测点D处得点A,点B的俯角别=30°,=60°,求的宽精确到米DAB5.为测量校园内棵不可攀的树的高,学校数学应用实践小组做了如下的:实践一根据自然科学》中光反射定律,利一面镜子和一根皮,设如图(1)的测量方案把子放在离(AB)8.7()的点E处然后沿着直线BE后退点D,时恰好在镜子里看到树梢顶点再用皮尺量得DE=2.7,察者目高CD=1.6米,请你算树AB的高(精确到0.1米实践二提供用的测量工具有①尺一根②学用三角板一副③为2.5米标一根;④高度为1.5米测角仪,请根据你设计的测量方,回答下列问:在你设计的方案,选用的测量工是__________.在(2)画出你的测量方案示;你需要测得示意中哪些数,并分别用a,b,c,,等示测得的数____.写出求树高的算:AB=___________.ACDE

B

B(1)

6.在地图,查得A点的等线,点400m的等高线上在地图上得AB的长为2.5cm,若在B之间建一条,那么缆索少要多?它的倾斜角是多少?(说明:地图上量的AB的,就是两点间的水平距离′,B向A且行于地面的平面作垂线垂足为B′,连接AB′,∠A即缆索的倾斜.A

B400350300cm×50000B'7为了量校园内一棵不攀的树的高度校数学应用实践小组做如下的探索：实践一：根据《然科学》中的反射定律，利用

一面镜子和一根尺，设计如右示意图的测量方：把镜子放在离树）8.7米的点E，然后沿着直线后到点D是恰在镜子里看到树梢顶点，

太

阳

光

线再用皮尺量得DE，观察者目高=1.6米，你计算树（）高度确0.1米

D

实践二：提供选的测量工具有：①皮尺一根；教学用三角板一副；③长米标杆一根④高度米的测角（能测仰角俯一架。请根据你设计的测量方案，回答下列问：（）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工具的序号填写）在右图中画出你测量方案示意图；你需要测得示意中的哪些数据，并分别用、等表示测得的数：写出求树高的算=

的仪器）α章思1、等腰三角形的一腰长为，底边长为6，则其底角为（）A

BC0D2、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度

i

，坝外斜坡的坡

i

，则两个坡角的和为（）

B0C0D1053图在矩形中⊥AC于E设∠ADE=

且

35

,

A

DAB=4,则AD的为（（）（）

162016（）（）335

B

E

C4、课外活动上，老师让同学们一个对角线互相垂直的等腰梯形状的风筝，其面积为450

cm2

，则对角线所用竹条至少需（（）

（）30cm（C）60cm（D）

5、如果是锐角，且cos235

，那么

º．6、如图，在坡度为2的坡上种树，求株距（相邻两树间的水平距离）是6米斜上相邻两树间的坡面距离是

米．7、如图,P是∠的边OA上一点,且P点坐标为(3,4),则

sin

=,cos=______.

4

Po3

8、支离旗杆20米的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为米（用含三角比示杆的有为

，如果测角仪高．那么旗9、在Rt∠A＜，是斜边AB上中线，将ACM沿线CM折叠，点A落点D处，如果CD恰好与AB直，那么∠等

度．10如公路路基横断面为腰梯.按工设计要求路面宽度为

10m10米坡角为

55

，路基高度为5.8米求路基下底宽（精确到0.1米）.11、“曙光中学有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到30=米BC25米请求出这块花圃的面积.

5512、图，在小山东侧A处有一热气球，以每