2023届北京市西城区第五十六中学高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知函数，则，（）A.4 B.3C. D.2．三条直线l1：ax+by-1=0，l2：2x+（a+2）y+1=0，l3：bx-2y+1=0，若l1，l2都和l3垂直，则a+b等于（）A. B.6C.或6 D.0或43．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（）A.0 B.C. D.14．已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值为A. B.C. D.5．已知扇形OAB的周长为12，圆心角大小为，则该扇形的面积是（）cm.A.2 B.3C.6 D.96．若过两点的直线的斜率为1，则等于（）A. B.C. D.7．若函数则下列说法错误的是（）A.是奇函数B.若在定义域上单调递减，则或C.当时，若，则D.若函数有2个零点，则8．已知函数，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.9．主视图为矩形的几何体是（）A. B.C. D.10．若，则的值为A. B.C.2 D.311．等于()A.2 B.12C. D.312．的零点所在区间为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是______14．已知一个扇形的弧长为，其圆心角为，则这扇形的面积为______15．已知集合，，则__________16．命题“”的否定是__________三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数.（1）若且的最小值为，求不等式的解集；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.18．已知方程（1）若此方程表示圆,求的取值范围；(2)若此方程表示圆,且点在圆上,求过点的圆的切线方程19．已知.（1）求，的值；（2）求的值.20．已知函数，它的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的值域.21．2022年是苏颂诞辰1001周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动．以枢轮中心为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系，令P点纵坐标为，水面纵坐标为，P点转动经过的时间为x分钟．（参考数据：，，）（1）求，关于x的函数关系式；（2）求P点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟，结果取整数）22．已知圆，直线（1）直线l一定经过哪一点；（2）若直线l平分圆C，求k的值；（3）若直线l与圆C相交于A，B，求弦长的最小值及此时直线的方程

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、D【解析】根据分段函数解析式代入计算可得；【详解】解：因为，，所以，所以故选：D2、C【解析】根据相互垂直的两直线斜率之间的关系对b分类讨论即可得出【详解】l1，l2都和l3垂直，①若b＝0，则a+2＝0，解得a＝﹣2，∴a+b＝﹣2②若b≠0，则1，1，联立解得a＝2，b＝4，∴a+b＝6综上可得：a+b的值为﹣2或6故选C【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3、B【解析】令，可以求得，即可求出解析式，进而求出函数值.【详解】根据题意，令，为常数，可得，且，所以时有，将代入，等式成立，所以是的一个解，因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数，所以可知函数有唯一解，又因为，所以，即，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查函数单调性和函数的表示方法，属于中档题.4、A【解析】方法一：当且时，由，得，令，则是周期为的函数，所以，当时，由得，，又是偶函数，所以，所以，所以，所以．选A方法二：当时，由得，，即，同理，所以又当时，由,得，因为是偶函数，所以，所以．选A点睛：解决抽象函数问题的两个注意点：（1）对于抽象函数的求函数值的问题，可选择定义域内的恰当的值求解，即要善于用取特殊值的方法求解函数值（2）由于抽象函数的解析式未知，故在解题时要合理运用条件中所给出的性质解题，有时在解题需要作出相应的变形5、D【解析】设扇形的半径和弧长，根据周长和圆心角解方程得到，再利用扇形面积公式计算即得结果.【详解】设扇形OAB的半径r，弧长l，则周长，圆心角为，解得，故扇形面积为.故选：D6、C【解析】根据斜率的计算公式列出关于的方程，由此求解出.【详解】因为，所以，故选：C.7、D【解析】A利用奇偶性定义判断；B根据函数的单调性，列出分段函数在分段区间的界点上函数值的不等关系求参数范围即可；C利用函数单调性求解集；D将问题转化为与直线的交点个数求参数a的范围.【详解】由题设，当时有，则；当时有，则，故是奇函数，A正确因为在定义域上单调递减，所以，得a≤－4或a≥－1，B正确当a≥－1时，在定义域上单调递减，由，得：x＞－1且x≠0，C正确的零点个数即为与直线的交点个数，由题意得，解得－3＜a＜-5+172，D错误故选：D8、C【解析】令，则，从而，即可得到，然后构造函数，利用导数判断其单调性，进而可得，解不等式可得答案【详解】令，则，，所以，所以，令，则，所以，所以，所以在单调递增，所以由，得，所以，解得，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得，再构造函数，利用函数的单调性解不等式.9、A【解析】根据几何体的特征，由主视图的定义，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，圆柱的主视图为矩形，故A正确；B选项，圆锥的主视图为等腰三角形，故B错；C选项，棱锥的主视图为三角形，故C错；D选项，球的主视图为圆，故D错.故选：A.【点睛】本题主要考查简单几何体的正视图，属于基础题型.10、A【解析】利用同角三角函数的基本关系，把要求值的式子化为，即可得到答案.【详解】由题意，因为，所以，故选A【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.11、C【解析】利用对数的运算法则即可得出【详解】原式=故选C.【点睛】本题考查了对数的运算法则，属于基础题12、C【解析】根据零点存在性定理进行判断即可【详解】，，，，根据零点存在性定理可得，则的零点所在区间为故选C【点睛】本题考查零点存性定理，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】根据角的终边与角的终边相同,得到,再得到,然后由列式,根据,可得整数的值,从而可得.【详解】∵（），∴（）依题意，得（），解得（），∴，∴在内与角的终边相同的角为故答案为【点睛】本题考查了终边相同的角的表示,属于基础题.14、2【解析】根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长，可得=4，这条弧所在的扇形面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.15、【解析】因为集合，，所以，故答案为.16、【解析】特称命题的否定.【详解】命题“”的否定是【点睛】本题考查特称命题的否定,属于基础题;对于含有量词的命题的否定要注意两点:一是要改换量词,即把全称(特称)量词改为特称(全称)量词,二是注意要把命题进行否定.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）；（2）.【解析】（1）利用二次函数的最值可求得正数的值，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解；（2）令，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，所以，，因为，解得，由得，即，得，因此，不等式的解集为.【小问2详解】解：由得，设函数，因为函数的图象是开口向上的抛物线，要使当时，不等式恒成立，即在上恒成立，则，可得，解得.18、(1)或;(2)或【解析】（1）若此方程表示圆,则，即可得解；（2）代入点得，从而得圆心半径，由已知得所求圆的切线斜率存在,设为，切线方程为:，由圆心到直线距离等于半径列方程求解即可.试题解析：(1)若此方程表示圆,则或(2)由点在圆,代入圆的方程得,此时圆心,半径,由已知得所求圆的切线斜率存在,设为，切线方程为:或,∴切线方程为:或.19、（1），（2）【解析】（1）根据同角三角函数关系得到余弦值，正切值，利用二倍角公式求得；（2）在第一问的基础上，利用余弦的差角公式进行求解.【小问1详解】∵,且,∴,∴,.【小问2详解】20、(1);(2).【解析】（1）依题意，则，将点的坐标代入函数的解析式可得，故，函数解析式为.（2）由题意可得，结合三角函数的性质可得函数的值域为.试题解析：（1）依题意，，故.将点的坐标代入函数的解析式可得，则，，故，故函数解析式为.（2）当时，，则，，所以函数的值域为.点睛：求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式第二步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范围第三步：求出所求函数的值域(或最值)21、（1），（2）13分钟【解析】（1）按照题目所给定的坐标系分别写出和的方程即可；（2）根据零点存在定理判断即可.【小问1详解】可设，∵转动的周期为30分钟，∴，∵枢轮的直径为3.4米，∴，∵点P的初始位置为最高点，∴，∴，∵退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，∴水面的初始纵坐标为，∵水位以每分钟0.017米速度下降，∴；【小问2详解】P点进入水中，则，即∴作出和的大致图像，显然在内存在一个交点令，∵，，∴P点进入水中所用时间的最小值为13分钟；综上，，，P点进入水中所用时间的最小值为13分钟.22、（1）（2）（3）弦长的最小值为,