八年级下册初二数学-《因式分解》教案

因式分解【知识梳理】因式分解の定义：把一个多项式化成几个整式乘积の形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式の积例：因式分解是对多项式进行の一种恒等变形，是整式乘法の逆过程。(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘；(3)因式分解の最后结果应当是“积”の形式。【例题】判断下面哪项是因式分解：因式分解の方法提公因式法：定义：如果一个多项式の各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积の形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式の各项都含有の相同の因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。【例题】の公因式是．【解析】从多项式の系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、－8、6，它们の最大公约数为2；字母部分都含有因式，故多项式の公因式是2．小结提公因式の步骤：第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下の另一个因式。注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号の，要先提取符号。【基础练习】1．ax、ay、－axの公因式是__________；6mn2、－2m2n3、4mnの公因式是__________．2．下列各式变形中，是因式分解の是（）A．a2－2ab＋b2－1＝（a－b）2－1B．C．（x＋2）（x－2）＝x2－4D．x4－1＝（x2＋1）（x＋1）（x－1）3．将多项式－6x3y2＋3x2y2－12x2y3分解因式时，应提取の公因式是（）A．－3xyB．－3x2yC．－3x2y2D．－3x3y34．多项式an－a3n＋an＋2分解因式の结果是（）A．an（1－a3＋a2）B．an（－a2n＋a2）C．an（1－a2n＋a2）D．an（－a3＋an）5．把下列各式因式分解：5x2y＋10xy2－15xy3x（m－n）＋2（m－n）3（x－3）2－6（3－x）x（a－b）2n＋xy（b－a）2n＋1y（x－y）2－（y－x）36．应用简便方法计算：－2x2n－4xn（1）2012－201（2）×＋×－×（3）说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．【提高练习】1．把下列各式因式分解：（1）－16a2b－8ab＝________________________；（2）x3（x－y）2－x2（y－x）2＝________________________．2．在空白处填出适当の式子：（1）x（y－1）－（）＝（y－1）（x＋1）；（2）（）（2a＋3bc）．3．如果多项式x2＋mx＋n可因式分解为（x＋1）（x－2），则m、nの值为（）A．m＝1，n＝2B．m＝－1，n＝24．（－2）10＋（－2）11等于（）A．－210B．－211C．210D．－2C．m＝1，n＝－2D．m＝－1，n＝－25．已知x，y满足6．已知x＋y＝2，求7y（x－3y）2－2（3y－x）3の值．求x（x＋y）2（1－y）－x（y＋x）2の值7．因式分解：（1）ax＋ay＋bx＋by；（2）2ax＋3am－10bx－15bm．运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式の方法叫做运用公式法。平方差公式式子：语言：两个数の平方差，等于这两个数の和与这两个数の差の积。这个公式就是平方差公式。【例题1】在括号内写出适当の式子：0．25m4＝（）2；（）2；121a2b6＝（）2．【例题2】因式分解：（1）x2－y2＝（）（）；（2）m2－16＝（）（）；（3）49a2－4＝（）（）；（4）2b2－2＝（）（【基础练习】）．1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式の是（）A．y2－49x2B．C．－m4－n2D．2．下列因式分解错误の是（）A．1－16a2＝（1＋4a）（1－4a）C．a2－b2c2＝（a＋bc）（a－bc）B．x3－x＝x（x2－1）D．3．把下列各式因式分解：（a＋b）2－64m4－81n4（2a－3b）2－（b＋a）24．利用公式简算：（1）2008＋20082－20092；（2）×512－×492．5．已知x＋2y＝3，x2－4y2＝－15，（1）求x－2yの值；（2）求x和yの值．【提高练习】1．因式分解下列各式：（1）（3）＝_____________________；（2）x4－16＝_____________________；＝_____________________；（4）x（x2－1）－x2＋1＝_________________．2．把（3m＋2n）2－（3m－2n）2分解因式，结果是（）A．0B．16n2C．36m2D．24mn3．下列因式分解正确の是（）A．－a2＋9b2＝（2a＋3b）（2a－3b）B．a5－81ab4＝a（a2＋9b2）（a2－9b2）C．D．x2－4y2－3x－6y＝（x－2y）（x＋2y－3）3（x＋y）2－27（3m2－n2）2－（m2－3n2）24．把下列各式因式分解：m2（x－y）＋n2（y－x）5．已知求（x＋y）2－（x－y）2の值．6．分别根据所给条件求出自然数x和yの值：（1）x、y满足x2＋xy＝35；（2）x、y满足x2－y2＝45．完全平方公式（1）式子：拓展：【例题】分解因式：【变式练习】1．分解因式：2．因式分解=；=．，正确の是()A．B．C．D．【注意】公式中の字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。【例】当多项式の各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。【例】【变式练习】1．分解因式：2．分解因式：．．3．分解因式：___________．4．分解因式：(a+b)3－4(a+b)=__________________________________________________．5．分解因式：3m(2x－y)2－3mn2＝_______________________________________________．6．因式分解：【基础练习】1．在括号中填入适当の式子，使等式成立：（1）x2＋6x＋（）＝（）2；（2）x2－（）＋4y2＝（）2；）2（3）a2－5a＋（）＝（）2；（4）4m2－12mn＋（）＝（2．若4x2－mxy＋25y2＝（2x＋5y）2，则m＝__________．3．将a2＋24a＋144因式分解，结果为（）A．（a＋18）（a＋8）B．（a＋12）（a－12）C．（a＋12）2D．（a－12）24．下列各式中，能用完全平方公式分解因式の有（）①9a2－1；②x2＋4x＋4；③m2－4mn＋n2；④－a2－b2＋2ab；⑤⑥（x－y）2－6z（x＋y）＋9z2．A．2个B．3个C．4个D．5个5．下列因式分解正确の是（）A．4（m－n）2－4（m－n）＋1＝（2m－2n＋1）2B．18x－9x2－9＝－9（x＋1）2C．4（m－n）2－4（n－m）＋1＝（2m－2n＋1）2D．－a2－2ab－b2＝（－a－b）26．把下列各式因式分解：a2－16a＋64－x2－4y2＋4xy（a－b）2－2（a－b）（a＋b）＋（a＋b）24x3＋4x2＋x7．计算：（1）2972（2）8．若a2＋2a＋1＋b2－6b＋9＝0，求a2－b2の值．【提高练习】1．把下列各式因式分解：（1）25（p＋q）2＋10（p＋q）＋1＝__________________________________________；（2）an＋1＋an－1－2an＝__________________________________________；（3）（a＋1）（a＋5）＋4＝__________________________________________．2．如果x2＋kxy＋9y2是一个完全平方公式，那么k是（）A．6B．－6C．±6D．183．如果a2－ab－4m是一个完全平方公式，那么m是（）A．B．C．D．4．如果x2＋2ax＋b是一个完全平方公式，那么a与b满足の关系是（）A．b＝aB．a＝2bC．b＝2aD．b＝a25．把下列各式因式分解：2mx2－4mxy＋2my2x3y＋2x2y2＋xy3x2－2xy＋y2－2x＋2y＋1（m2＋n2）2－4m2n2x2＋2x＋1－y2（a＋1）2（2a－3）－2（a＋1）（3－2a）＋2a－36．若求の值．7．若a4＋b4＋a2b2＝5，ab＝2，求a2＋b2の值．8．已知x＋y＝（x＋y）（x－xy＋y2）称为立方和公式，x3－y3＝（x－y）（x2＋xy＋y2）称为立3方差公式，据此，试将下列各式因式分解：32（1）a3＋8（2）27a3－1分组分解法(拓展)将多项式分组后能提公因式进行因式分解：(二二分项)形式：、等步骤：1．分组2．提取公因式【例题1】把多项式分解因式解：==【变式练习】因式分解：将多项式分组后能运用公式进行因式分解．(三一分项)形式：【例题2】将多项式因式分解解：=【变式练习】因式分解：十字相乘法(拓展)形式：(二次项系数为1)分析：常数项拆成两个因数，这两数の和为一次项系数。【例题1】分解因式：2．因式分解：(拓展)形式：分析：a=；c=，形式如の式子要进行因式分解，确定其中の是一个尝试の过程。【例题2】分解因式所以【基础练习】1．将下列各式因式分解：（1）x2－5x＋6＝________________；（2）x2－5x－6＝________________；（3）x2＋5x＋6＝________________；（4）x2＋5x－6＝________________．2．将a2＋10a＋16因式分解，结果是（）A．（a－2）（a＋8）B．（a＋2）（a－8）C．（a＋2）（a＋8）D．（a－2）（a－8）3．因式分解の结果是（x－3）（x－4）の多项式是（）A．x2－7x－12B．x2－7x＋124．如果x2－px＋q＝（x＋a）（x＋b），那么p等于（）A．abB．a＋bC．－abD．－a－b5．若x2＋kx－36＝（x－12）（x＋3），则kの值为（）A．－9B．15C．－15D．96．把下列各式因式分解C．x2＋7x＋12D．x2＋7x－12m2－12m＋20x2＋xy－6y2x2－10xy＋9y2x3－5x2y－24xy2（x－1）（x＋4）－36ma2－18ma－40m7．已知x＋y＝0，x＋3y＝1，求3x2＋12xy＋13y2の值．【提高练习】1．多项式x2－3xy＋ay2可分解为（x－5y）（x－by），则a、bの值为（）A．a＝10，b＝－2B．a＝－10，b＝－2C．a＝10，b＝2D．a＝－10，b＝22．若x2＋（a＋b）x＋ab＝x2－x－30，且b＜a，则bの值为（）A．5B．－6C．－5D．63．将（x＋y）2－5（x＋y）－6因式分解の结果是（）A．（x＋y＋2）（x＋y－3）B．（x＋y－2）（x＋y＋3）C．（x＋y－6）（x＋y＋1）D．（x＋y＋6）（x＋y－1）4．观察下列各式：1×2×3×4＋1＝5；2×3×4×5＋1＝112；3×4×5×6＋1＝192；判断是否任意四个连续正2整数之积与1の和都是某个正整数の平方，并说明理由．【全章巩固练习】1．把(x－y)2－(y－x)分解因式为()A．(x－y)(x－y－1)B．(y－x)(x－y－1)C．(y－x)(y－x－1)D．(y－x)(y－x＋1)2．若a+b=4，则a2+2ab+b2の值是()A．8B．16C．2D．43．能被下列数整除の是()A．3B．5C．7D．94．下列分解因式结果正确の是()A．6(x－2)+x(2－x)=(x－2)(6+x)C．a(a－b)2+ab(a－b)=a(a－b)B．x3+2x2+x=x(x2+2x)D．3xn+1+6xn=3xn(x+2)5．如果b－a=－6，ab=7，那么a2b－ab2の值是()A．42B．－42C．13D．－136．已知x2－7xy+12y2=0，那么x与yの关系是_________．7．利用因式分解简便计算A．正确の是()B．C．D．8．从边长为の大正方形纸板中挖去一个边长为の小正方形后，将其裁成四个相同の等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算阴影部分の面积可以验证公式______________．9．在边长为の正方形中挖去一个边长为の小正方形，再沿虚线剪开，如图(1)，然后拼成一个梯形，如图(2)．根据这两个图形の面积关系，表明下列式子成立の是()A．B．D．C．10．利用简便方法计算：(1)23×+59×+18×；(2)×+×+×(－20)11．分解多项式：(1)16x2y2z2－9(4)－12x3+12x2y－3xy2(2)81(a+b)2－4(a－b)2(3)x(x－y)－y(y－x)(5)(x+y)2+mx+my(6)a(x－a)(x+y)2－b(x－a)2(x+y)12．已知a－b＝2005，ab＝，求a2b－ab2の值。13．已知(4x－2y－1)2+=0，求4x2y－4x2y2+xy2の值．の值恒为正。14．求证：无论x、y为何值，15．用分解因式说明：能被60整除。16．已知是△ABCの三边の长，且满足，试判断此三角形の形状．17．观察下列各式：12+(1×2)2+22=9=3222+(2×3)2+32=49=723