量子力学第13讲表象变换

量子力学光电子科学与王可嘉第十三讲表象变换1零、三维各向同性谐振子的回顾一、表象及其变换二、算符的矩阵表示三、量子力学的矩阵形式四、例题2零、三维各向同性谐振子的回顾(1)三维各向同性谐振子在球坐标下的解：与

E

EN

(N相对应的本征函数为：

n

lm(r,

,)

Rn

l

(r)Ylm

(

,)r

rnrl3

r

n

![(2l

1)!!]2R

(r)

3/

2

r

2l

2nr

(2l

2n

1)!!2

(r)l

e

2r

2

/

2F(n

,

l

3

/

2,

2r

2

)ra0nr

nr

ll

mmnr

lmnr

lmsin

dd0*(r,

,)

(r,

,)r

2

dr

20N

2nr

l,m

l,

l1,,l

1,l零、三维各向同性谐振子的回顾(2)三维各向同性谐振子在直角坐标下的解：V

(r)

2r2

/

2

2

(x2

y2

z2

)

/

2zx

yˆ

ˆ

ˆ2

H

H

ˆH

V

(x,

y,

z)

H22H41ˆ2

22

,

x,

y,

z2

22

2E

(n

1/

2)

(

)

E

(

),

n

nˆH(a)n ()

A

ea2

2

/

2

Hn

n

x,

y,

z5零、三维各向同性谐振子的回顾(3)选取

(Hˆ

x

,

Hˆ

y

,

Hˆ

z

)

组成力学量完全集。其共同本征函数为各自本征函数的乘积，即：n

n

n

(x,

y,

z)

n

(x)n

(

y)n

(z)x

y

z

x

y

znx

,

ny

,

nz

0,1,2

Hˆn

n

n

(x,

y,

z)

(Hˆ

x

Hˆ

y

Hˆ

z

)n

n

n

(x,

y,

z)x

y

z

x

y

z

(Hˆ

x

Hˆ

y

Hˆ

z

)n

(x,

y,

z)n

(x,

y,

z)n

(x,

y,

z)x

y

z

(Ex

Ey

Ez

)n

n

n

(x,

y,

z)x

y

z

(Ex

Ey

Ez

)n

n

n

(x,

y,

z)x

y

z即：

Hˆn

n

n (x,

y,

z)

En

n

n (x,

y,

z)x

y

z

x

y

z6零、三维各向同性谐振子的回顾(4)Hˆn

n

n (x,

y,

z)

En

n

n (x,

y,

z)x

y

z

x

y

z总能量本征态为

n

n

n

(x,

y,

z)

n

(x)n

(

y)n

(z)x

y

z

x

y

z ()

A

ea2

2

/

2

H

(a)

x,

y,

zn

n

n总能量本征值为线性谐振子解

ny

nz

0,1,2

1/

2)

En

Enx

yE

En

n

nx

y

z

Enz1/

2)

(nz

(nx

1/

2)

(ny

(N

3

/

2),

N

nx7零、三维各向同性谐振子的回顾(5)直角坐标系下解和球坐标系下解的关系：

(r,

,)n

lmr球坐标下为的共同本征态。ˆ

ˆ

ˆ2z(H

,l

,l

)直角坐标下n

n

n

(x,

y,

z)

为

(Hˆ

x

,

Hˆ

y

,

Hˆ

z

)

的共同本征态。x

y

z因为是同一问题在不同坐标系下的解，应该有相互联系以N

1为例，能级是三重简并，即有三个态：

n

lm

011

,

011,

010

,

n

n

nr

x

y

z

100,

010,

001

00110010

0100

010

01/

2

i

/

22

i

/

20

011

＝

1/

011

可证明：称(1)和(2)式分别为态

在

F

和

F

表象中的展开式。8一、表象及其变换(1)

k

是F的共同本征函数，k一般代表一组量子数。1

2

n设

F

代表一组力学量完全集，即

F

(

Aˆ

,

Aˆ

,Aˆ

)1

2

n设F

代表一组力学量完全集，即

F

(Aˆ,Aˆ

,Aˆ

)

ak

k

(1)k(2)

是

F

的共同本征函数，

一般代表一组量子数。设

是体系的一个量子态，根据态叠加原理，有：同时

a

必定有一定的关系，这种变9一、表象及其变换(2)k

kkkk

k

k

ka

d

d**

a

a

(

,

)

k

a

dd

**k

a

a

(

,

)

所谓表象，就是量子态的具体表示方式。称在

和

表象中的表示

2

a1

a

a

为态和

2

a1

a

aFF所以和换关系即为表象变换。因为

ak

k

a

kka

a

a

a

10一、表象及其变换(3)矢量在不同坐标系下的变换：矢量A

在(x,

y)中，有A

2

21

1a

ea

e矢量

在中，有A(x

,

y

)

A

a1e1

a2e2x(e1

)y(e2

)Ax(e1)y

(e2

)

1a2aa12

a

a

,

aa设a

a1

a1

，可证明存在一个R(

)有：a

R(

)a

1sin

cossin

cos

2

2

coscos

det

R(

)

sin

R(

)

sin

~*

~*~

cosR(

)

sin

R

R

1cos

RR

R

R

1

RRsin

称R(

)

为幺正矩阵11一、表象及其变换(4)

ak

k

a

以*ka

k左乘上式，即

k

k

a

**

全空间积分有：kaa

d

k

k

d**

(

,

k

)**Skk写为矩阵形式

a

Sakd

ak

(

,

k

)

Sk

ak

,k

k

a

a

a

a

d

2221

2

.

..

a2

S11

S12

a1

.

a1

a

Sa

a

S

S.kk将

a

Sk

ak即12一、表象及其变换(5)在

表象中的表示变换成

表象中的表示所以任一量子态可以通过矩阵

SFFT1 2)a

(a

,

a

,T1 2)

a

(a

,

a

,其中：.

...21

22

S11

S12S

SS

.

，即

a

Sa可证明：SS

S

S

I即变换矩阵

S是幺正矩阵。称上述变换为幺正变换一、表象及其变换(6)所以任一量子态

能够用任一力学量完全集F

(

Aˆ

,

Aˆ

)1

n的共同本征函数

k（它们构成一组正交归一完备基矢）来展开系数13，称为k

k展开

a

Tka

(a

)kka

(

,

)k在F

表象中的表示。

同样可以在

F

表象中展开为：

a

展开系数为

a

(a

)T，a

(

,

)

为

在

F

表象中的表示，这两种表示可以通过一种幺正变换相联系。即其中：S

(Sk

),

Sk

(

,

k

)a

Sa14二、算符的矩阵表示(1)设

Lˆ

为某一力学量的算符，量子态

经过

Lˆ

运算后变成另一量子态

，即

Lˆ

，设在

F

表象的基矢为，其中分别为l表象中的表示。k

k

，将

和

用

k

展开，有bk

k

Lˆal

l和

在k列向量

(b

)T

和Tl(a

)bk

k

Lˆal

l

k

lll

ljkk

kFb

jad

Ld*

ˆ*

jl

ll

lj

l

l)a

L

all

l)a

jj

b

(

dˆ(

,

L*

ˆ

L其中：Ljl(

j

,Lˆ

l

)为Lˆ在F

表象中的表示。15二、算符的矩阵表示(2)(

j

,Lˆ

l

)为Lˆ在

F

表象中的表示。Ljll

.

.

.

.

.

a2

b

La.

a1

L11

L12L22.bj

Ljlal

b2

L21

b1

矩阵

L

(Ljl

)就是Lˆ在F

表象中的矩阵表示。在F

表象中，同样有：

b1

L

a

b

Lb

.

.

.

.

a

b

La

.

.

2

.

a1

2221

L11

L12L

2

矩阵L

(L

)

就是

Lˆ

在

F

表象中的矩阵表示。16二、算符的矩阵表示(3)对量子态

和算符

Lˆ

，在F

表象(基矢

k

)中，有k

k

kkj

kj

k

j

(

,

Lˆ

)a

(a

)T

,

a

(

,),

L

(L

),

L对量子态

和算符

Lˆ

，在

F表象(基矢

k

)中，有a

(a

)T

,

a

(

,),

L

(L

),

L

(

,

Lˆ

)已知

a

和

a

可以通过幺正变换相联系，即

a

Sa.21

22

kk..

.

S11

S12)

S

S

.,

S

(

,

)k幺正矩阵

S

(S可证明，矩阵

L

(Lkj

)和L

(L

)可以通过幺正矩阵S

相似变换相联系：L

SLS

1二、算符的矩阵表示(4)例题：求坐标

xˆ

、动量

pˆx

和谐振子能量表象中的矩阵表示。算符

Hˆ

在一维，有如下性质：【解】：一维谐振子能量表象的基矢为其能量本征函数2

2H

(ax)kk

a

x

/

2

A

ekx

k

(

k

/

2

k

1

(k

1)

/

2

k

1

)

/

ak

k

1

k

1

a

k

k

1/)(dxd

坐标

xˆ

在此表象中矩阵表示的矩阵元为：(k

1)

/

2

j

,k

1

)

/

ak

/

2

j

,k

1

(

j

,

k

/

2

k

1

(k

1)

/

2

k

1

)

/

ax

jk

(17二、算符的矩阵表示(5)(

k

/2

j

,k

1

(k

1)/2

j

,k

1

)/a

写为矩阵形式为：x

jk18a

(x

)

1

0

1/

2

0

01/

2

0 2

/

2

00 2

/

2

0 3

/

20

0 3

/

2

0

jkj,

k

0,1,2

19二、算符的矩阵表示(6)dxxj

x

k

j

kjk

pˆ

i

d

pdx(k

1)

/

2

k

1

))k

/

2

j,k

1

))

(

j

,ia(

k

/

2

k

1

ia( (k

1)

/

2

j,k

1

(

,

pˆ

)

(

,i

d

)即：(p

jk

)

ia00 3

/

200 2

/

203

/

20

1/

21/

2

00 2

/

20

0

j,

k

0,1,2

20二、算符的矩阵表示(7)对于

Hˆ

，有

Hˆ

k

Ek

k

H

jk

(

j

,

Hˆ

k

)

Ek

(

j

,

k

)

(k

1/

2)

jk

0

0

0

0 3

/

2

0

0

0 5

/

2

0

0

0

0 7

/

2

1/

2)

0即：(Hjk结论：力学量在其自身表象中，其矩阵表示为一个对角阵。三、量子力学的矩阵形式(1)在

F

表象(基矢

k

)中,量子态

用列向量表示，即，算符

Lˆ

用矩阵表示，即a

(a

,

a

,

a

)T.

..21L

.1

2

3

L11

L1222.L

L(1)含时其中：ak

(

k

,))ˆjkkjL

(

,

L方程的矩阵表示

i

Hˆ

.

.

.

a1

.

a2

其中：

.

.

H11

H12H22.

a1

(t)

i

a2

(t)

H21ak

(t)

(

k

,(t))ˆkjkj

)H

(

,

Hkk

k

a

21三、量子力学的矩阵形式(2)例如，在一维谐振子能量表象中，含时示为：

.30a020(/t)2

.01a010(/t)2

.....

.

a2

(t)

a1

(t)

.370/.0a240(t)

5.00a/0(2t)

1a(k(/t)2，若

ak

(t

0)

ck3

a4

(t)

i

a

(t)

方程表即：iak

t

k

i

(k

1/

2)t则有：ak

(t)

cke

定态解2223三、量子力学的矩阵形式(3)(2)平均值计算公式的矩阵表示在

F

表象(基矢

k

)中,量子态

用列向量表示，即，算符

Lˆ

用矩阵表示，即a

(a

,

a

,

a

)T

.

...1

2

3

L11

L12L22.L

L21ak

(

k

,)其中：)ˆkj

k jL

(

,

L

k

k

ka

j

k

kj

jkk

kj

jk

ka

L

a*)a

kj

*ˆa

(

,

L在态

下，力学量

Lˆ

的平均值为

L

(,

Lˆ)

.

..

a2

.

a1

L

(a

k,

Lˆa

j)

kj

L11L12

L

(a*,

a*

L

L1

2

)

21

22.kj

k

j24三、量子力学的矩阵形式(4)(3)力学量本征方程的矩阵表示力学量

Lˆ

的本征方程为：Lˆ

l在

F

表象(基矢

k

)中：

ak

k，算符Lˆ

用矩阵表示，本征方程可写为：k22.

0.

.21

.

.

.

a2

.

a1

L

l

L12

a1

.

a2

l

a2

.

a1

L

L11

L11

L12

L21

L22.

l三、量子力学的矩阵形式(5)22..

.21

.

a1

L

l

.

a2

0L12

L11

lL有非零解的条件为：..

0

久期方程，可解出本征值l.25L12L22

l.L11

lL21.例题(1)

b

cos，26221

*,2ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ和l

的表示。在(l

,

l

)表象中，求l

,

l

,

la

3

(8

),

b

3

(4

).ˆ

ˆ是(l

,

l

)的共同本征函数。当

Y

Y2

10

3

11z

x

yzlm

zY

(

,)l

1时，m

1,0,1,得到一组正交完备基矢(

),

k

1,2,3.

Y

a

sin

ei

,k

1

11sin

ei27Z13

(1,

z

3

)212Z

(

,

l

)1

z

2

a2

(sin

ei

,

sˆ例题(2)ˆ

ˆ2在(l

,

l

)表象中，zz3

3的矩阵来表28lˆ

i

,在32312221

Z11

Z12

Z

Z

ZZ例题(3)ˆ

ˆ2在(l

,

l

)表象中，z设为X

(

X

jk

),

j,

k

1,229在坐00

1

1