高一数学上同步辅导讲与练-数列

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数列

等差数列一、学习目标：

1、理解数列的概念；

2、了解数列通项公式的意义；

3、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

4、理解等差数列的概念；

5、掌握等差数列的通项公式，并能运用公式及等差数列的性质解决简单的问题。二、例题分析：

第一阶段[例1]根据下面数列{an}的通项公式，写出它的第7项与第10项:

(2)an=n(n+2);

(4)an=-2n+3

思路分析：根据数列定义的进行思考。

解：(1)

(2)a7=7×(7+2)=63，

a10=10×(10+2)=120；

(3)

(4)a7=－27+3=－125，

a10=－210

说明：数列的通项公式其实就是项数n的函数。[例2]己知数列{an}的通项公式an=n(14－n)，考察这个数列的单调性，并求它的最值。

思路分析：要考察{an}的单调性，只需判断an－an-1的符号，这与判断函数单调性相似：

解：an－an-1=－2n+15，因为nN*所以当1≤n≤7时递增，当n>7时递减。

又an=－n2+14n=-(n-7)2+49，故最大值为a7=49。

说明：在解题过程中，渗透了函数思想。[例3]在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列。

思路分析：此题可从不同角度加以考虑。

解法一：设这个数组成的等差数列为{an}，由己知a1=－1，a5=7，

∴7=－1+(5－1)d。

解得d=2，所求数列为－1，1，3，5，7。

解法二：可利用等差数列的性质求解。

∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1，7的等差中项，a是－1，b的等差中项，c是b，

7的等差中项。

∴所求数列为－1，1，3，5，7。

说明：数列解题方法灵活，应多加思考，开扩视野，培养自己发散思维能力。

第二阶段[例4]设{an}是等差数列，

思路分析：运用等差数列的定义进行解题。

解：设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+(n－1)d，

∴a1=-1，d=2或a1=3，d=-2

所以当a1=-1，d=2时，an=a1+(n-1)d=2n-3；

当a1=3，d=-2时，an=a1+(n-1)d=5-2n。

说明：学习中应注重培养运用方程（组）解决问题的能力。[例5](1)若Sn=2n2-3n，求an；

(2)若Sn=5n-3，求an。

思路分析：己知Sn求an,则利用关系式

解：(1)当n=1时，a1=S1=2·12-3·1=-1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5，

由此得a1=-1，∴a1适合an，∴an=4n-5。

(2)当n=1时，a1=S1=5-3=2，

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)=4·5n-1，

由此式得a1=4，∴a1不适合an，

思路分析：观察法得到数列的通项公式，判断前一项an与an+1之间的关系，用作差法。

解：

第三阶段[例7]成等差数列的四个数之和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。

思路分析：

此题常规方法是利用己知条件，先求出首项和公差，进而求出这四个数。其实因这里成等差数列的

四个数之和己知，故可设此四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，这样求解更为便利，但必须注意这时

的公差应为2d.

解：设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则由题设得：

∴所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.[例8]己知a，b，c成等差数列，那么a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)是否成等差数列

思路分析：在a+c=2b条件下，是否有以下结果：a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(a+c)

解：∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，

又∵a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)

=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)

=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,

∴a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),

∴a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)成等差数列。[例9]己知两个等差数列5，8，11…和3，7，11…都有100项，问它们有多少共同项。

思路分析：

两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.

解：设两数列的共同项组成的新数列为{an}，则{an}是首项为11的等差数列。

∵数列5，8，11，…和3，7，11，…公差分别为3与4,

∴{an}的公差d=3×4=12，

∴an=11+(n-1)·12=12n-1。

∵数列5，8，11,…与3，7，11，…的第100项分别为302与399，

∴an=12n-1≤302，∴n≤，，

∴所给两数列有25个共同项。三、练习题：

1、a+c=2b是a，b，c成等差数列的（）

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

2、在△ABC中，三内角成等差数列，则角B等于

（

）

A、30°

B、60°

C、90°

D、不能确定

3、若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与此同时a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则

4、夏季高山上气温从山脚起每升高100米，降低℃，己知山顶气温是℃，山脚气温是26℃，那

么此山相对于山脚的高度是（

）

A、1500米

B、1600米

C、1700米

D、1800米

5、设数列通项公式an=f(n)是一个函数，它的定义域是（）

A、非负整数

B、一定是正整数集N*

C、正整数集N*的一个有限子集

D、正整数集N*或{1，2，3，…，n}

6、数列{an}的前n项和Sn=2n2+1，则a1，a5的值分别为（）

A、2，14

B、2，18

C、3，4

D、3，18

提示：a1=S1

a5=S5-S4

7、己知{an}是等差数列，则由下列式子确定的数列{bn}也是等差数列的是（）

A、bn=|an|

B、bn=an2

C、

D、bn=1-an

8、设命题甲为“a，b，c成等差数列”，命题乙为“”那么（

）

A、甲是乙的充分不必要条件

B、甲是乙的必要不充分条件

C、甲是乙的充要条件

D、甲是乙的既不必要也不充分条件

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10、在200到600之间能被5除余2的数有