初中数学几何模型半角模型探究公开课课件

几何模型---半角模型探究几何模型---半角模型探究11、名称的由来：主要因为图形中两个共顶点的，一大一小两个角，小角的度数等于大角的一半。这样的基本图形称之为半角模型。有普通角的半角模型，更多是研究特殊角的半角模型。比如“30°和60°”、“45°和90°”、“60°和120°”2、半角模型的解题策略：通过旋转，得到轴对称全等，进行等量替换。1、名称的由来：主要因为图形中两个共顶点的，一大一小两个角，2

在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，探究BE、DF、EF三条线段之间的数量关系.45°FCABDE213E′结论：EF=

BE+DF把∆ABE绕点A逆时针旋转90°到∆ADE'的位置。据题目条件得∆AEF≌∆AE'F。∴EF=E'F=E'D+DF=BE+DF∴EF=BE+DF探求∆EFC的周长与正方形边长之间的关系。结论：C∆EFC=

BC+CD

结论：S△ABE+S△ADF=S△AEF在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EA3F′45°FCABDE213结论：EF=

BE+DF结论：C∆EFC=

BC+CD

结论：S△ABE+S△ADF=S△AEFF′45°FCABDE213结论：EF=BE+DF结论：C4（2）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且，方才的结论是否仍然成立？FEDCBAE′123结论：EF=

BE+DF结论：C∆EFC=

BC+CD把∆ABE绕点A逆时针旋转到∆ADE'的位置。据题目条件得∆AEF≌∆AE'F。∴EF=E'F=E'D+DF=BE+DF∴EF=BE+DF

结论：S△ABE+S△ADF=S△AEF（2）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝185

(3)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是CB、DC延长线上的点，且，BE、DF、EF三条线段之间的数量关系是否仍然成立，若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.ABCEFDE′123结论：BE=

FE+DF延长DF至点E'的位置，使得DE'=BE∵AB=AD,∠B=∠ADE',BE=DE'∴∆AEB≌∆AFD∴∠BAE=∠DAE',∠BAD=∠EAE'∵∴∠EAF=∠E'AF∵AF=AF,AE=AE'∴∆AEF≌∆AE'F∴EF=E'F∵DE'=DF+FE',DE'=BE∴EB=FE+DF(3)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝6方法二、截长补短猜想：BE=

FE+DFF'在BC边上截得BF'=DFAB=AD∠B=∠ADFBF'=DF∴∆ABF'≌∆ADF(AAS)∴AF'=AF,∠BAF'=∠FAD∴∠F'AE=∠FAE又∵AF'=AF,AE=AE∴∆AF'E≌∆AFE(SAS)∴F'E=FE∴BE=FE+DF方法二、截长补短猜想：BE=FE+DFF'在BC边上截得B7如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE=45°，（1）探究DE、DA、EB三条线段之间的数量关系。CADEＢ１２D′３结论：把∆ACD绕点C逆时针旋转到∆CBD'的位置。据题目条件得∆CDE≌∆CD'E。∴DE=D'E∵(ED')2=BE2+(D'B)2,BD'=AD∴EB=FE+DF∴DE2=AD2+BE2如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D8（3）应用：在上面问题的条件下，如果AB=10，求BD·AE的值．CADEB（3）应用：CADEB9阶段小结2、在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足,∠EAF=45°，AE、AF分别与对角线交于点M、N。结论：（1）BE+DF=EF

（2）C△ECF=2AB

（3）BM2+DN2=MN2

（4）

S△ABE+S△ADF=S△AEF（5）AH=AB

（6）S△AMN=S四边形MNEF

（7）△AMN∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM1、半角模型的解题策略：阶段小结2、在正方形ABCD中，已知E、F分别是边10变式：已知：如图，等边△ABC中，点D、E在边AB上，∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；CABDE当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形且顶角∠DFE为120°.D′变式：已知：如图，等边△ABC中，点D、E在边AB上，∠DC11CABDE若此题中，AD=2,BE=3,你可以求出AC边的长度吗？证明：将∆ADC绕点C逆时针旋转60°至∆CBD'的位置。过点D'作D'F⊥EB于点F,在Rt∆BD'F中∠D'BF=60°,D'B=AD=2∴BF=1,D'F=∴ED'=,DE=∴AB=AD+DE+EB=5+即AC=5+CABDE若此题中，AD=2,BE=3,你可以求出AC边的12如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠A=90°，AB=BC=12，∠ECD=45°，若BE=4，求ED的长.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠A=9013初中数学几何模型半角模型探究公开课课件14已知在∆ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,若BD=6,CD=4,求∆ABC的面积E已知在∆ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,若BD15∵∆CDM≌∆ADE∴AE=CM,∠HCE=∠DAE∴∠CHE=∠ADE=90°∴AE⊥CM∵∆CDM≌∆ADE16初中数学几何模型半角模型探究公开课课件17初中数学几何模型半角模型探究公开课课件18初中数学几何模型半角模型探究公开课课件191、常见半角模型：90°、60°、120°课堂小结2、半角模型常通过旋转变换聚拢条件，或者通过构造半角模型转化条件。3、在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足,∠EAF=45°，AE、AF分别与对角线交于点M、N。结论：（1）BE+DF=EF

（2）C△ECF=2AB

（3）BM2+DN2=MN2

（4）

S△ABE+S△ADF=S△AEF（5）AH=AB

（6）S△AMN=S四边形MNEF

（7）△AMN∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM1、常见半角模型：90°、60°、120°课堂小结220初中数学几何模型半角模型探究公开课课件21几何模型---半角模型探究几何模型---半角模型探究221、名称的由来：主要因为图形中两个共顶点的，一大一小两个角，小角的度数等于大角的一半。这样的基本图形称之为半角模型。有普通角的半角模型，更多是研究特殊角的半角模型。比如“30°和60°”、“45°和90°”、“60°和120°”2、半角模型的解题策略：通过旋转，得到轴对称全等，进行等量替换。1、名称的由来：主要因为图形中两个共顶点的，一大一小两个角，23

在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，探究BE、DF、EF三条线段之间的数量关系.45°FCABDE213E′结论：EF=

BE+DF把∆ABE绕点A逆时针旋转90°到∆ADE'的位置。据题目条件得∆AEF≌∆AE'F。∴EF=E'F=E'D+DF=BE+DF∴EF=BE+DF探求∆EFC的周长与正方形边长之间的关系。结论：C∆EFC=

BC+CD

结论：S△ABE+S△ADF=S△AEF在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EA24F′45°FCABDE213结论：EF=

BE+DF结论：C∆EFC=

BC+CD

结论：S△ABE+S△ADF=S△AEFF′45°FCABDE213结论：EF=BE+DF结论：C25（2）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且，方才的结论是否仍然成立？FEDCBAE′123结论：EF=

BE+DF结论：C∆EFC=

BC+CD把∆ABE绕点A逆时针旋转到∆ADE'的位置。据题目条件得∆AEF≌∆AE'F。∴EF=E'F=E'D+DF=BE+DF∴EF=BE+DF

结论：S△ABE+S△ADF=S△AEF（2）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝1826

(3)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是CB、DC延长线上的点，且，BE、DF、EF三条线段之间的数量关系是否仍然成立，若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.ABCEFDE′123结论：BE=

FE+DF延长DF至点E'的位置，使得DE'=BE∵AB=AD,∠B=∠ADE',BE=DE'∴∆AEB≌∆AFD∴∠BAE=∠DAE',∠BAD=∠EAE'∵∴∠EAF=∠E'AF∵AF=AF,AE=AE'∴∆AEF≌∆AE'F∴EF=E'F∵DE'=DF+FE',DE'=BE∴EB=FE+DF(3)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝27方法二、截长补短猜想：BE=

FE+DFF'在BC边上截得BF'=DFAB=AD∠B=∠ADFBF'=DF∴∆ABF'≌∆ADF(AAS)∴AF'=AF,∠BAF'=∠FAD∴∠F'AE=∠FAE又∵AF'=AF,AE=AE∴∆AF'E≌∆AFE(SAS)∴F'E=FE∴BE=FE+DF方法二、截长补短猜想：BE=FE+DFF'在BC边上截得B28如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE=45°，（1）探究DE、DA、EB三条线段之间的数量关系。CADEＢ１２D′３结论：把∆ACD绕点C逆时针旋转到∆CBD'的位置。据题目条件得∆CDE≌∆CD'E。∴DE=D'E∵(ED')2=BE2+(D'B)2,BD'=AD∴EB=FE+DF∴DE2=AD2+BE2如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D29（3）应用：在上面问题的条件下，如果AB=10，求BD·AE的值．CADEB（3）应用：CADEB30阶段小结2、在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足,∠EAF=45°，AE、AF分别与对角线交于点M、N。结论：（1）BE+DF=EF

（2）C△ECF=2AB

（3）BM2+DN2=MN2

（4）

S△ABE+S△ADF=S△AEF（5）AH=AB

（6）S△AMN=S四边形MNEF

（7）△AMN∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM1、半角模型的解题策略：阶段小结2、在正方形ABCD中，已知E、F分别是边31变式：已知：如图，等边△ABC中，点D、E在边AB上，∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；CABDE当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形且顶角∠DFE为120°.D′变式：已知：如图，等边△ABC中，点D、E在边AB上，∠DC32CABDE若此题中，AD=2,BE=3,你可以求出AC边的长度吗？证明：将∆ADC绕点C逆时针旋转60°至∆CBD'的位置。过点D'作D'F⊥EB于点F,在Rt∆BD'F中∠D'BF=60°,D'B=AD=2∴BF=1,D'F=∴ED'=,DE=∴AB=AD+DE+EB=5+即AC=5+CABDE若此题中，AD=2,BE=3,你可以求出AC边的33如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠A=90°，AB=BC=12，∠ECD=45°，若BE=4，求ED的长.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（B