大学-数学专业-空间解析几何-第三章-轨迹与方程课件

高等院校本科数学课程——空间解析几何大学数学（一）第十讲平面曲线的方程

空间曲面的方程空间曲线的方程脚本编写：教案制作：高等院校本科数学课程——空间解析几何大学一、平面曲线与方程：（1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标；（2）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程；则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为方程的图形。曲线的方程常表示为：F(x,y)=0或y=f(x)yxoxy=2第一节平面曲线的方程定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：一、平面曲线与方程：（1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一例1、求平面上圆心在原点，半径为2的圆的方程。向量式方程|OM|=2解：x2+y2=4普通方程例1、求平面上圆心在原点，半径为2的圆的方程。向量式方程|1、向量函数

当动点按某种规律运动时,与它对应的向径也随着时间t的不同而改变（模长与方向的改变），这样的向径称为变向量，记为r。yxoxy=2如果变数t(atb)的每一个值对应于变矢r的一个完全的值（模长与方向），则称r是变数t的向量函数，记为r=r(t)(atb).1、向量函数当动点按某种规律运动时,与它对应的向径也2、向量函数的分量表示

设平面上取定的标架为{O;e1,e2},则向量函数可表示为r(t)=x(t)e1+y(t)e2

(atb).（1）其中x(t),y(t)是r(t)的分量,它们分别是变数t的函数。yxOr(t)P(x(t),y(t))2、向量函数的分量表示设平面上取定的标架为{O;e13、向量式参数方程若取(atb)的一切可能值，由的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这径矢可由t的某一值t0(at0b)通过（1）完全确定，则称表达式（1）为曲线的向量式参数方程，其中t为参数。表示的向径r(t)r(t)=x(t)e1+y(t)e2

(atb).（1）yxOr(t)ABP(x(t),y(t))3、向量式参数方程若取(atb)的一切可能值，由4、坐标式参数方程曲线的参数方程又常可以写成下列形式：称为曲线的坐标式参数方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t))4、坐标式参数方程曲线的参数方程又常可以写成下列形式：称为曲一、定义:若空间中的曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:(1)S上任一点的坐标满足方程F(x,y,z)=0;(2)不在S上点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.F(x,y,z)=0

Sxyzo第二节空间曲面的方程2x+3y4z19=0.◆在空间解析几何中,曲面被看成空间点的几何轨迹．一、定义:若空间中的曲面S与三元方程F(x,y,z)(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2

称此方程为球面的标准方程.特别:当球心在原点O(0,0,0)时,球面方程:x2+y2+z2

=R2

例3、求三维空间中球心为M0(x0,y0,z0),半径为R的球面的方程.

解：对于球面上任一点M(x,y,z),都有|M

M0|2=R2.即

M0

M

RF(x,y,z)=0上半球面(xx0)2+(yy0)2+(zz0解:原方程可改写为(x1)2+(y+2)2+z2=5故:原方程表示球心在M0(1,2,0),半径为的球面.例5:方程x2+y2+z2

2x+4y=0表示怎样的曲面?解:原方程可改写为(x1)2+(y+2)2面F(x,y,z)=0:面F(x,y,z)=0:例6方程的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底．解例6方程以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知曲面方程，研究曲面形状．（1）求曲面方程．以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知曲面方程，二、曲面的参数方程1、双参数向量函数在两个变数u,v的变动区域内定义的函数r=r(u,v)或r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3

(2)称为双参数向量函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变向量r(u,v)的分量，它们都是变数u，v的函数。当u,v取遍变动区域的一切值时，向径OM=r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3

的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v))所画的轨迹一般为一张曲面。Mozxy

S二、曲面的参数方程1、双参数向量函数在两个变数u,v的变动区2、曲面的向量式参数方程定义：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由(2)表示的径矢r(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的向径，而这径矢可由u,v的值(aub,cvd)通过(2)完全决定，则称(2)式为曲面的向量式参数方程，其中u,v为参数。3、曲面的坐标式参数方程因为径矢r(u,v)的分量为{x(u,v),y(u,v)z(u,v)},所以曲面的参数方程也常写成表达式(3)称为曲面的坐标式参数方程。

r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3

(2)2、曲面的向量式参数方程定义：若取u,v(au例5求空间中球心在原点，半径为r的球面的参数方程。

M

rxyzPQθ解：设M(x,y,z)是球面上任一点，M在xOy坐标面上的射影为P，而P在x轴上的射影为Q，又设在坐标面上的有向角(i,OP)=,与Oz轴的交角MOZ=θ，则r=OM=OQ+QP+PM且PM=(rcosθ)k所以r=(rsinθcos)i

+(rsinθsin)j+(rcosθ)k(4)此即为中心在原点，半径为r的球面的向量式参数方程。QP=(|OP|sin)j=(rsinθsin)jOQ=(|OP|cos)i=(rsinθcos)i例5求空间中球心在原点，半径为r的球面的参数方程。Mr球心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为(4),(5)中的θ,为参数，其取值范围分别是0θ与-＜。r=(rsinθcos)i

+(rsinθsin)j+(rcosθ)k(4)

M

rxyzPQθ球心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为(

M

ρxyzPQθ

M

rxyzPQθ0θ与-＜。MρxyzPQθMrxyzPQθ0θ与-xyzxyzORxyzOOxyzxyzORxyzOO例7求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。解：如图,有PxyzooMQrr=OM=OQ+QP+PM而OQ=(Rcos)i,QP(Rsin)j,PM=uk所以r=(Rcos)i+(Rsin)j

+uk（6）此即为圆柱面的向量式参数方程。其坐标式参数方程为(6),(7)式中的，u为参数，其取值范围是-＜，-＜u＜+例7求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。解：如xyzxyzxyz柱面坐标系的三组坐标面OOOxyzxyzxyz柱面坐标系的三组坐标面OOO空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.设空间曲线C为空间两曲面的交线，则空间曲线C特点：2.1空间曲线的一般方程第二章轨迹与方程（空间曲线）的一般方程为空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方

例1方程

表示什么样的曲线？

例1方程表示什么样的曲例1方程表示什么样的曲线？解交线如图:例1方程表示什么样的曲线消去变量z后得：称为曲线C关于xOy的投影柱面.设空间曲线C的一般方程：三、空间曲线在坐标面上的投影称为曲线C在xOy面上的投影曲线.投影柱面与xOy面的交线：消去变量z后得：称为曲线C关于xOy的投影柱面.设空间曲线C25如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面26类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影.面上的投影曲线:面上的投影曲线:空间曲线在面上的投影曲线类似地：面上的投影曲线:面上的投影曲线:空间曲线在面27例4

求曲线在坐标面上的投影.解（1）消去变量z后得在xOy面上的投影为例4求曲线在坐标面上的投28所以在xOz面上的投影为线段.（3）同理在yOz面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面上，所以在xOz面上的投影为线段.（3）同理在yOz面上的投影（29空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程yxz0空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程yxz0动点从A点出发，经过t时间，运动到M点螺旋线的参数方程取时间t为参数，解动点从螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度螺距螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过作业P1391.2.5.(2)(3)作业P1391.2.5.(2)(3)高等院校本科数学课程——空间解析几何大学数学（一）第十讲平面曲线的方程

空间曲面的方程空间曲线的方程脚本编写：教案制作：高等院校本科数学课程——空间解析几何大学一、平面曲线与方程：（1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标；（2）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程；则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为方程的图形。曲线的方程常表示为：F(x,y)=0或y=f(x)yxoxy=2第一节平面曲线的方程定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：一、平面曲线与方程：（1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一例1、求平面上圆心在原点，半径为2的圆的方程。向量式方程|OM|=2解：x2+y2=4普通方程例1、求平面上圆心在原点，半径为2的圆的方程。向量式方程|1、向量函数

当动点按某种规律运动时,与它对应的向径也随着时间t的不同而改变（模长与方向的改变），这样的向径称为变向量，记为r。yxoxy=2如果变数t(atb)的每一个值对应于变矢r的一个完全的值（模长与方向），则称r是变数t的向量函数，记为r=r(t)(atb).1、向量函数当动点按某种规律运动时,与它对应的向径也2、向量函数的分量表示

设平面上取定的标架为{O;e1,e2},则向量函数可表示为r(t)=x(t)e1+y(t)e2

(atb).（1）其中x(t),y(t)是r(t)的分量,它们分别是变数t的函数。yxOr(t)P(x(t),y(t))2、向量函数的分量表示设平面上取定的标架为{O;e13、向量式参数方程若取(atb)的一切可能值，由的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这径矢可由t的某一值t0(at0b)通过（1）完全确定，则称表达式（1）为曲线的向量式参数方程，其中t为参数。表示的向径r(t)r(t)=x(t)e1+y(t)e2

(atb).（1）yxOr(t)ABP(x(t),y(t))3、向量式参数方程若取(atb)的一切可能值，由4、坐标式参数方程曲线的参数方程又常可以写成下列形式：称为曲线的坐标式参数方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t))4、坐标式参数方程曲线的参数方程又常可以写成下列形式：称为曲一、定义:若空间中的曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:(1)S上任一点的坐标满足方程F(x,y,z)=0;(2)不在S上点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.F(x,y,z)=0

Sxyzo第二节空间曲面的方程2x+3y4z19=0.◆在空间解析几何中,曲面被看成空间点的几何轨迹．一、定义:若空间中的曲面S与三元方程F(x,y,z)(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2

称此方程为球面的标准方程.特别:当球心在原点O(0,0,0)时,球面方程:x2+y2+z2

=R2

例3、求三维空间中球心为M0(x0,y0,z0),半径为R的球面的方程.

解：对于球面上任一点M(x,y,z),都有|M

M0|2=R2.即

M0

M

RF(x,y,z)=0上半球面(xx0)2+(yy0)2+(zz0解:原方程可改写为(x1)2+(y+2)2+z2=5故:原方程表示球心在M0(1,2,0),半径为的球面.例5:方程x2+y2+z2

2x+4y=0表示怎样的曲面?解:原方程可改写为(x1)2+(y+2)2面F(x,y,z)=0:面F(x,y,z)=0:例6方程的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底．解例6方程以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知曲面方程，研究曲面形状．（1）求曲面方程．以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知曲面方程，二、曲面的参数方程1、双参数向量函数在两个变数u,v的变动区域内定义的函数r=r(u,v)或r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3

(2)称为双参数向量函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变向量r(u,v)的分量，它们都是变数u，v的函数。当u,v取遍变动区域的一切值时，向径OM=r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3

的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v))所画的轨迹一般为一张曲面。Mozxy

S二、曲面的参数方程1、双参数向量函数在两个变数u,v的变动区2、曲面的向量式参数方程定义：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由(2)表示的径矢r(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的向径，而这径矢可由u,v的值(aub,cvd)通过(2)完全决定，则称(2)式为曲面的向量式参数方程，其中u,v为参数。3、曲面的坐标式参数方程因为径矢r(u,v)的分量为{x(u,v),y(u,v)z(u,v)},所以曲面的参数方程也常写成表达式(3)称为曲面的坐标式参数方程。

r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3

(2)2、曲面的向量式参数方程定义：若取u,v(au例5求空间中球心在原点，半径为r的球面的参数方程。

M

rxyzPQθ解：设M(x,y,z)是球面上任一点，M在xOy坐标面上的射影为P，而P在x轴上的射影为Q，又设在坐标面上的有向角(i,OP)=,与Oz轴的交角MOZ=θ，则r=OM=OQ+QP+PM且PM=(rcosθ)k所以r=(rsinθcos)i

+(rsinθsin)j+(rcosθ)k(4)此即为中心在原点，半径为r的球面的向量式参数方程。QP=(|OP|sin)j=(rsinθsin)jOQ=(|OP|cos)i=(rsinθcos)i例5求空间中球心在原点，半径为r的球面的参数方程。Mr球心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为(4),(5)中的θ,为参数，其取值范围分别是0θ与-＜。r=(rsinθcos)i

+(rsinθsin)j+(rcosθ)k(4)

M

rxyzPQθ球心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为(

M

ρxyzPQθ

M

rxyzPQθ0θ与-＜。MρxyzPQθMrxyzPQθ0θ与-xyzxyzORxyzOOxyzxyzORxyzOO例7求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。解：如图,有PxyzooMQrr=OM=OQ+QP+PM而OQ=(Rcos)i,QP(Rsin)j,PM=uk所以r=(Rcos)i+(Rsin)j

+uk（6）此即为圆柱面的向量式参数方程。其坐标式参数方程为(6),(7)式中的，u为参数，其取值范围是-＜，-＜u＜+例7求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。解：如xyzxyzxyz柱面坐标系的三组坐标面OOOxyzxyzxyz柱面坐标系的三组坐标面OOO空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时