zw-高一数学课件两角和与差正弦、余弦正切公式三

xxx大学XXX

老师高中数学·同步课堂智维私教

985/211重点高校大学生实时一对一第一两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学案·新知自解理解两角和与差的正、余弦公式的结构特征，体会诱导公式在推导S(α－β)中的作用．掌握并能运用两角和与差的正、余弦公式化简或求值．两角和的余弦公式cos(α＋β)＝

cos

αcos

β－sin

αsin

β

，简记为C(α＋β)，使用的条件为.α，β为任意角两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sin

αcos

β＋cos

αsin

βα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sin

αcos

β－cos

αsin

βα，β∈R1．两角和的(1)因为公式C(α－β)中的角＝cos[α－(－β)]＝cos

αcos(－β)＋sin

αsin中使用了两角差的余弦公式、诱导公式及换元思想．

(2)两角和与差的余弦公式不能按分配律展开，如：

cos(α＋β)≠cos

α＋cos

β.(3)对公式不但要会正用，还要学会逆用，如：cos

50°cos

20°＋sin50°sin20°＝cos30°＝23，cos

50°cos

20°－sin50°sin20°＝cos70°.2．应用两角和与差的正弦公式应注意以下几点

(1)和差角的正弦公式不能按分配律展开，即

sin(α＋β)≠sin

α＋sin

β，π

ππ

π如

sin3＋6≠sin

3＋sin

6.(2)牢记公式并能熟练地将左、右两边互化．例如化简sin

20°cos

50°－sin

70°cos

40°，能迅速观察出此式等于1sin(20°－50°)＝sin(－30°)＝－sin

30°＝－2.2π(3)α，β

中有一个角为的整数倍时，利用诱导公式较为简便.

π31．设α∈0，2，若sin

α＝5，则

π2cosα＋4＝(

)A.7

B.15

5C．－7

D．－15

54解析：

易得

cosα＝5，

πππ

1则

2cosα＋4＝

2cos

αcos

4－sin

αsin

4＝5.答案：

B2．sin

59°·cos

89°－cos

59°·sin

89°的值为()A．－1

B.12

2C．－

3

D．－

32解析：

原式＝sin(59°－89°)＝sin(－30°)＝－sin

30°＝－12.答案：

A解析：

sin

75°＝sin(45°＋30°)＝sin

45°cos30°＋cos45°sin30°＝

2

3

2

12

·2

＋

2

·2＝

6＋

24.3．sin

75°＝

．答案：

6＋

24教案·课堂探究正余弦的两角和与差的简单应用自主练透型化简求值：(1)cos

11°sin

49°＋sin

11°cos

49°；(2)sin

63°sin

123°＋cos

117°sin

33°；(3)sin(α－30°)＋sin(α＋30°)；(4)sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sin

α.解析：

(1)原式＝sin(11°＋49°)＝sin

60°＝

32

.原式＝sin63°sin(90°＋33°)＋cos(180°－63°)sin33°＝sin

63°cos

33°－cos

63°sin

33°＝sin(63°－33°)＝sin

30°＝12.原式＝sin

αcos

30°－cos

αsin

30°＋sin

αcos

30°＋cos

αsin

30°＝2sin

αcos30°＝

3sin

α.原式＝sin(α＋β－α)＝sin

β.[归纳升华]解决给角求值问题的策略(1)注意分析式子的结构特点，合理选择正余弦的和差公式．

(2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用．(3)注意非特殊角与特殊角间的联系及将特殊值转化为特殊角.1．求值：(1)sin(－15°)；sin

7°＋cos

15°sin8°(2)化简cos

7°－sin

15°sin8°.解析：

(1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)＝sin

30°cos

45°－cos

30°sin45°＝1

2

3

22×

2

－

2

×

2

＝

2－

64.(2)sin

7°＋cos15°sin8°cos

7°－sin

15°sin

8°sin（15°－8°）＋cos

15°sin

8°＝cos（15°－8°）－sin

15°sin8°cos15°sin15°cos8°－cos

15°sin

8°＋cos

15°sin8°＝cos

15°cos

8°＋sin

15°sin

8°－sin

15°sin

8°＝sin

15°＝sin（45°－30°）cos（45°－30°）＝sin

45°cos30°－cos

45°sin30°＝cos

45°cos

30°＋sin

45°sin30°

6－

24

6＋

24＝2－

3.给值（式）求值问题探究型π

π

3π

π

3

3π

5已知4＜α＜4

，0＜β＜4，cos4＋α＝－5，sin

4

＋β＝13.求sin(α＋β)的值；求cos(α－β)的值．[边听边记](1)∵4＜π

α＜3π

π

π4

，2＜4＋α＜π，π

∴sin4＋α＝

2π

41－cos

4＋α＝5.π

3π

3π∵0＜β＜4，

4

＜

4

＋β＜π，∴cos

4

＋β＝－3π

23π121－sin

4

＋β＝－13，∴π

＝－sin4＋α＋

4

＋

π

3ππ

＝－

sin4＋αcos

4

＋β＋cos4＋αsin

4

＋6365.(2)由(1)可知，π

4

3π

12sin4＋α＝5，cos

4

＋β＝－13，π

3π∴sin4＋α－

4

＋βπ

3ππ

3π＝sin4＋αcos

4

＋β－cos4＋αsin

4

＋β

34

12

5

33＝5×－13－－5×13＝－65.π

π3π

33又sin4＋α－

4

＋β＝sin（α－β）－2＝－cos(α－β)，从而cos(α－β)＝65.[归纳升华]给值求值的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．

(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．2．已知π

3π

12

32＜β＜α＜4

，cos(α－β)＝13，sin(α＋β)＝－5，求cos

2α

与cos

2β的值．解析：

∵π

β＜α＜3π2＜

4

，∴0＜α－β＜π

π＜α＋β＜3π4，

2

.∴sin(α－β)＝

1－cos2（α－β）＝

1－122

＝513

13，cos(α＋β)＝－

1－sin2（α＋β）

324＝－

1－－5

＝－5.

∴cos

2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)

34

12

5

33＝－5×13－－5×13＝－65，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)

34

12

5

63＝－5×13＋－5×13＝－65.设α，β为钝角，且A.3π4B.5π4C.7π4D.5π

7π4

或4解析：

因为

α，β

为钝角，sin

α＝

55

，所以

cosα＝－

1－sin2α

522

5＝－

1－

5

＝－

5

.3

10由

cos

β＝－

10

，得sin

β＝

1－cos2β＝

1－－

103

102＝1010，所以cos(α＋β)＝cos

αcos

β－sinαsin

β＝－5

×－

102

5

3

10

5

10－

5

×

10＝22.4又因为π＜α＋β＜2π，所以α＋β＝7π

故选C..答案：

C[归纳升华]知值求角的步骤(1)首先考虑界定角的范围，根据条件确定角的范围，有时需要根据已知条件把角度的范围缩小．(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三

ππ角函数，如角的范围是[0，π]时取余弦更方便些；而角的范围是－2，2时，取正弦更方便．(3)求角，结合三角函数值及角的范围求角同类练]☆1．已知

α，β

均为锐角，且

sin

α＝

5，cosβ＝

10

α－β

的值．5 10

，求解析：

∵α，β

均为锐角，且

sin

α＝

5

105

，cos

β＝10

，∴cos

α＝2

53

105

，sinβ＝10

.∴sin(α－β)＝sin

αcos

β－cos

αsinβ＝5×

10

2

5

3

10

25 10

－

5

×

10

＝－

2

.又∵α，β

均为锐角，∴－π

π2＜α－β＜2，π故α－β＝－4.[变式练]☆141

13

π2．已知

cos

α＝7，cos(α－β)＝ ，且

0＜β＜α＜2，求角β

的值．解析：

由

cos

α＝1

0＜α＜π7，

2，得2sin

α＝

1－cos

α＝7121－

＝4

37.π

π由0＜β＜α＜2，得0＜α－β＜2.又∵cos(α－β)＝1314，2∴sin(α－β)＝

1－cos

（α－β）＝

1－14132

＝3

314.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cos

αcos

(α－β)＋sin

αsin(α－β)＝1

13

4

3

3

3

17×14＋

7