弹性力学-07(简化)第七章-平面问题的差分解课件

第七章平面问题的差分解要点:将微分方程转变成差分方程。基本思想:将基本方程和边界条件（一般为微分方程）近似地用改用差分方程（线性代数方程）表示，把解微分方程的问题变成求代数方程的问题。第七章平面问题的差分解要点:将微分方程转变成差分方程§7-1差分公式的推导主要内容

§7-2稳定温度场的差分解§7-3不稳定温度场的差分解§7-4应力函数的差分解§7-5应力函数的差分解的实例§7-6温度应力问题的应力函数差分解§7-7位移差分解§7-8位移差分解实例§7-9多连体问题的位移差分解§7-10温度应力问题的位移差分解§7-1差分公式的推导主要内容§7§7-0弹性力学的数值计算方法简介工程问题（力学、物理等）建立一组基本方程控制微分方程定值条件常微分方程偏微分方程位移边界条件力的边界条件初始条件求解精确解近似解（数值解）（均质、边界条件简单）（1）有限差分法（2）等效积分法（包括变分法）（3）有限单元法（4）边界单元法……（1）有限差分法（FDM）要点：差分微分；代替差分方程代替微分方程。（代数方程）yx013hh§7-0弹性力学的数值计算方法简介工程问题建立一组控制微优点：yx013hh收敛性好、程序设计简单、非线性适应好。代表性软件：FLAC缺点：当边界几何形状复杂时，解的精度受到限制。（2）等效积分法控制微分方程边值条件建立等效的积分方程假设未知函数整个区域内近似求解（a）加权余量法（加权残值法）（配点法、子域法、最小二乘法、力矩法、Galerkin法、等）（b）变分法当原问题存在某个泛函时，则原问题等价于求该泛函的驻值。如：Ritz法等。特点：

在整个区域内，假设未知函数。适用于边界几何形状简单的情形。xy优点：yx013hh收敛性好、程序设计简单、非线性适应好。代（3）有限单元法（FEM）——加权余量法、变分法的推广。

基本思想：整个区域分成若干个单元区域离散假设未知函数在单元上由变分原理等求出单元结点上值（近似解）主要有限元软件：SAP，ADINANASTRAN、ANSYS、ABAQUS、ASKA、SAFE、MARC等——早期的软件（3）有限单元法（FEM）——加权余量法、变分法的推广。1.中心差分公式§7-1差分公式的推导设函数：为弹性体内的某个函数（应力分量、位移分量、应力函数、温度等）。yx在弹性体上用相隔等间距h

且平行于坐标轴的两组平行线组成网格，称为差分网格。网格线的交点称为节点（结点）。013h则函数f=f(x，y)在平行于x轴的网格线上，如节点：3-0-1上，它只随x而变化。考察结点0处，函数f=f(x，y)的变化，可展开成Taylor级数：（a）h1.中心差分公式§7-1差分公式的推导设函数：为弹性体若略去三次幂以上各项，式（a）变为：（b）节点3及1的x坐标：将其代入式（b），有：（c）（d）联立求解，得：（7-1）（7-2）yx013hh若略去三次幂以上各项，式（a）变为：（b）节点3及1的x24yx013hh（7-1）（7-2）同理，在网格线4-0-2上取（e）类似于，x方向的讨论，有（7-3）（7-4）式（7-1）（7-4）称为基本差分公式。24yx013hh（7-1）（7-2）同理，在网格线4-0-5678混合二阶导数的差分公式：（7-5）进一步可导出四阶偏导数的差分公式：yx01324hh5678混合二阶导数的差分公式：（7-5）进一步可导出四阶偏进一步可导出四阶偏导数的差分公式：91011126yx01324578h（7-6）以两侧节点处的函数值表示中间节点处的一阶导数值，称为中点导数值，这种差分公式称为中心差分公式。说明：进一步可导出四阶偏导数的差分公式：91011126yx0132.端点差分公式向前差分公式yx0132456789101112h把导数：用函数值：f0f1f9表示；把导数：用函数值：f0f2f10表示。由：（b）得到：2.端点差分公式向前差分公式yx0132456789101yx0132456789101112h（7-7）（e）同理，对y方向，有：由此解得：（7-9）式（7-7）、（7-9）称为前差公式。yx0132456789101112h（7-7）（e）同理，向后差分公式yx0132456789101112h把导数：用函数值：f0f3f11表示；用函数值：f0f4f12表示。由：把导数：（b）得到：由此解得：（7-8）向后差分公式yx0132456789101112h把导数：用yx0132456789101112h同理，对y方向，有：（e）可解得：（7-10）（7-8）式(7-8)、(7-10)称为后差分公式yx0132456789101112h同理，对y方向，有与中心差分公式类似，由式（7-7）~（7-10）可推出高阶导数的差分公式。（1）中心差分（导数）公式与端点差分（导数）公式比较，前者的精度较高。所以尽可能应用中心差分公式。说明：（2）在前面差分公式的推导中，应用了近似式：（b）略去了三次幂以上的各项，其实质：在（x–x0）的区间上，将f（x，y）沿x方向用抛物线函数代替。所以，式（7-7）~（7-10）称为抛物线差分公式。（3）若在差分公式的推导中，应用线性近似关系：略去了二次幂以上的各项，则：与中心差分公式类似，由式（7-7）~（7-（3）若在差分公式的推导中，应用线性近似关系：略去了二次幂以上的各项，则：yx0132456789101112h或——线性差分公式——前差公式——后差公式线性差分公式的精度较低，很少采用。（4）若在差分公式的推导中，应用高阶近似关系，如：由此得到的差分公式精度较高。但由于其涉及节点较多，实际应用不方便，所以也很少采用。（3）若在差分公式的推导中，应用线性近似关系：略去了二次幂以§7-2稳定温度场的差分解1.热传导方程一般情形下，热传导方程：对无热源、平面、稳定的温度场，有其热传导方程变成二维的调和方程：（a）2.热传导方程的差分方程24yx013hh将温度场的域内划分网格，取任一节点，如：节点0，应有：（b）§7-2稳定温度场的差分解1.热传导方程一般情形下，热24yx013hh由差分公式（7-2）、（7-4），得：2.热传导方程的差分方程将温度场的域内划分网格,取任一节点，如：节点0，应有：(b)（c）（d）将式（c）、（d），代入式（b）得：（7-11）每一个节点均可建立上述方程。3.边界条件的引入（1）第一类边界条件由于边界点的T值已知，因此，只需建立每一个内节点的差分方程即可求解。24yx013hh由差分公式（7-2）、（7-4），得：2.3.边界条件的引入（1）第一类边界条件由于边界点的T值已知，因此，只需建立每一个内节点的差分方程即可求解。（2）第二类边界条件02431边界外边界内xy——绝热条件对于与x轴垂直的边界，有故对于边界点0，有:在边界点0右侧设虚节点1，由一阶差分公式（7-1），有:3.边界条件的引入（1）第一类边界条件由于边界点的T02431边界外边界内xy在边界点0右侧设虚节点1，由一阶差分公式（7-1），有:将其代入差分方程（7-11）：即该边界为绝热边界，有：（7-12）边界外边界内xy01423对于与y轴垂直的边界节点0，（7-12`）若：整理得：（7-13）（7-11）有：02431边界外边界内xy在边界点0右侧设虚节点1，由一（3）第三类边界条件式中，Te

为周围介质的温度，02431边界外边界内xy对于与x轴垂直的边界节点0，有：由一阶差分公式（7-1），有:将上式代入差分方程（7-11），并整理得边界节点0点的差分方程：（7-14）β为放热系数。(7-11)（3）第三类边界条件式中，Te为周围介质的温度，024（4）第四类边界条件已知物体和与之接触的另一物体以热传导方式进行热交换的情况。对于两物体完全接触情形，物体表面的温度

Ts

和接触物体表面温度

Te相同，即此时与第一类边界条件

相同。边界外边界内xy01423对于与y轴垂直的边界节点，有：（7-14`）将上式代入差分方程（7-11），并整理得边界节点0点的差分方程：(7-11)（4）第四类边界条件已知物体和与之接触的另一物体以热传导方例：图示矩形薄板，右边界为绝热边界，其余三边界上的已知节点温度值标于图中各节点上（单位：℃）。求：板内的节点温度。6m8mabcdefgi101214161840322435302520解：划分网格：4×3,编排节点号：a~i列节点差分方程：节点a：01234节点b：节点c：节点d：节点e：节点f：内节点边界节点：节点g：绝热边界：内节点：0234节点i：例：图示矩形薄板，右边界为绝热边界，其余三边界上的已知节点温6m8mabcdefgi101214161840322435302520012340234例：图示矩形薄板，右边界为绝热边界，其余三边界上的已知节点温度值标于图中各节点上（单位：℃）。求：板内的节点温度Ta、Ti。解：划分网格：4×3,编排节点号：a~i列节点差分方程：节点a：节点b：节点c：节点d：节点e：节点f：内节点边界节点：节点g：节点i：联立求解方程组，得：6m8mabcdefgi1012141618403224354.不规则边界条件的处理02431边界外边界内xyhhhA（1）第一类边界：将温度T在节点0邻近处沿x方向展开为Taylor级数，略去(x-x0)的三次方以上项，有由此可解得：4.不规则边界条件的处理02431边界外边界内xyhhhA02431边界外边界内xyhhhA由此可解得:由：得：（7-15）（7-11）02431边界外边界内xyhhhA由此可解得:由：得：（7-0431边界外边界内xyhhhB202431边界外边界内xyhhhA（7-15）（7-11）类似地，对于y方向网格线上的不规则边界点B，有：（7-15`）0431边界外边界内xyhhhB202431边界外边界内xy02431边界外边界内xyhhAB对于图中不规则边界节点A、B，有：（7-16）（2）第二类边界：02431边界外边界内xyhhhA将第一类边界情形中的TA用表示。在A点邻域内沿x方向展Taylor级数，并略去二阶以上各项：02431边界外边界内xyhhAB对于图中不规则边界节点A、（2）第二类边界：02431边界外边界内xyhhhA将第一类边界情形中的TA用表示。在A点邻域内沿x方向展Taylor级数，并略去二阶以上各项：从式中消去：并求出TA（2）第二类边界：02431边界外边界内xyhhhA将第一类02431边界外边界内xyhhhA从式中消去:并求出TA，有（d）由：得：代入上式，有：02431边界外边界内xyhhhA从式中消去:并求出TA，（7-15）02431边界外边界内xyhhhA代入式（7-15）右端的TA：并整理、简化得：（7-17）（7-15）02431边界外边界内xyhhhA代入式（7-1A02431边界外边界内xyhhB对于图示不规则节点0的差分方程，由类似的推导，有：（7-18）（3）第三类边界：02431边界外边界内xyhhhA将其代入式（d）：（d）A02431边界外边界内xyhhB对于图示不02431边界外边界内xyhhhA（3）第三类边界:将其代入式（d）：(d)得到：（e）由式（e）求出TA

：02431边界外边界内xyhhhA（3）第三类边界:将其代入将上式代入式（7-15）右端TA

，(e)由式（e）求出TA

:（7-15）整理即得节点0的差分方程。式中

：将上式代入式（7-15）右端TA，(e)由式（e）求弹性力学-07(简化)第七章-平面问题的差分解课件§7-4应力函数的差分解yx0132456789101112h1.应力函数的差分方程应力分量的差分表示平面问题（不计体力时），应力分量可表示为：任一点0处应力分量的差分格式：（7-24）对常体力情况，将体力转换为面力分析。§7-4应力函数的差分解yx01324567891011应力函数的差分方程yx0132456789101112h平面问题（不计体力时），应力相容方程为：在弹性体内每一点均可建立上述方程，即：由四阶导数差分公式，得：将其代入相容方程，有应力函数的差分方程yx0132456789101112h平面（7-25）yx0132456789101112h对于弹性体边界内的每一节点，都可建立上述方程。1314但对紧靠边界内一行节点，建立其差分方程时，还包括边界上各点处的值和边界外一行的结点处的值。弹性体边界外一行的节点，称为虚结点。如：节点13、14等。——应力函数差分方程2.边界节点值的确定BA边界节点的值由边界条件确定。由边界条件方程：（b）（7-25）yx0132456789101112h（b）AxyO–dxdydsNBxByByx如图可见：代入式（b），有：上式进一步可写成：（c）对上式从

A

到B积分：或写成（b）AxyO–dxdydsNBxByByx如图可见：代入弹性力学-07(简化)第七章-平面问题的差分解课件弹性力学-07(简化)第七章-平面问题的差分解课件本章前面内容回顾1.有限差分法（FDM）基本思想要点：差分微分：代替差分方程代替微分方程。（代数方程）2.中心差分公式yx01324hh（7-1）（7-2）（7-3）（7-4）——基本差分公式本章前面内容回顾1.有限差分法（FDM）基本思想要点：5678yx01324hh混合二阶导数的差分公式：（7-5）四阶导数的差分公式：（7-6）91011125678yx01324hh混合二阶导数的差分公式：（7-5）3.端点差分公式向前差分公式yx0132456789101112h（7-7）向后差分公式（7-8）3.端点差分公式向前差分公式yx013245678914.稳定温度场的差分公式（a）24yx013hh热传导方程热传导的差分方程（7-11）各类边界条件的引入（1）第一类边界条件由于边界点的T值已知，因此，只需建立每一个内节点的差分方程即可求解。4.稳定温度场的差分公式（a）24yx013hh热传导（2）第二类边界条件02431边界外边界内xy（7-12）（3）第三类边界条件02431边界外边界内xy（7-14）（4）第四类边界条件同第一类边界条件（2）第二类边界条件02431边界外边界内xy（7-12）（5.应力函数的差分方程yx0132456789101112h1314BAhh（7-24）——应力分量差分公式（7-25）——应力函数差分方程5.应力函数的差分方程yx013245678910112.边界节点值的确定yx0132456789101112h1314BA边界节点的值由边界条件确定。由边界条件方程：（b）AxyO–dxdydsNBxByByx2.边界节点值的确定yx013245678910111（b）AxyO–dxdydsNBxByByx如图可见：代入式（b），有：上式进一步可写成：（c）对上式从

A

到B积分：或写成（b）AxyO–dxdydsNBxByByx如图可见：代入AxyO–dxdydsNBxByByx（d）计算应力函数

的全微分，有：两边积分，有：分步积分：同理，有：AxyO–dxdydsNBxByByx（d）计算应力函数AxyO–dxdydsNBxByByx由式（c），有：（c）代回前式，有：AxyO–dxdydsNBxByByx由式（c），有：（c再利用：（d）（e）再利用：（d）（e）（d）（e）AxyO–dxdydsNBxByByx由式（d）、（e）可见：当已知时，即可由面力分量X、Y求得：（d）（e）AxyO–dxdydsNBxByByx由式（dAxyO–dxdydsNBxByByx由第三章理论可知，在应力函数上加上线性函数，不影响应力的值。因而，可在应力函数上加上线性函数：适当选取a、b、c的数值，总可使得：于是式（d）、（e）可变为：（7-26）（7-27）（7-28）——确定边界结点

及其导数值的基本公式。AxyO–dxdydsNBxByByx由AxyO–dxdydsNBxByByx说明：（1）式（7-26）~（7-28）适用于单连体的情况。对于多连体，则只能选取某一个连续边界S上一点A为基准点，并取：而应力函数在其它边界上不再有任意性。如：在另一连续边界S1上任选取一点A1

，一般有：而需有位移单值条件确定。（2）（7-26）（7-27）物理意义：边界上A、B

两点间x

方向面力之和。物理意义：边界上A、B

两点间y方向面力之和。因而，差分解应用于多连体问题不方便。AxyO–dxdydsNBxByByx说明：（1）式（7-AxyO–dxdydsNBxByByx（7-28）物理意义：边界上A、B

两点间面力对B点的矩。力矩的正负号由坐标系确定，图中以顺时针为正。3.虚节点值的确定yx0132456789101112h1314BAhh可用应力函数在边界上的导数和边界内一行各结点的值表示。如：由此可求得：AxyO–dxdydsNBxByByx（7-28）物理意义yx0132456789101112h1314BAhh由此可求得：（7-29）4.不规则边界内节点、虚节点的值hhh10956Bh边界外基本思路：将紧靠边界的节点1不作为独立的内节点，即并不将其1

值作为独立的未知量，而把它用0

来表示。具体方法：在B点附近，将应力函数

沿x方向展为Taylor级数，并略去（x–xB）的三次以上幂，有yx0132456789101112h1314BAhh由此可hhh10956Bh边界外有：代入上式，有：（f）（g）（h）从中可求得：hhh10956Bh边界外有：代入上式，有：（f）（g）hhh10956Bh边界外（i）（j）显然，当=0时，有：其中，第二式与前面虚节点值的计算公式相同。hhh10956Bh边界外（i）（j）显然，当=05.差分法的求解步骤（1）在边界上任意选定一个结点作用基点A，取：然后，由公式：（7-26）（7-27）（7-28）计算边界上各结点处的应力函数值及其导数值；（2）应用公式（7-29），将边界外一行各虚节点的值用边界内相应节点的值表示；yx0132456789101112h1314BAhh5.差分法的求解步骤（1）在边界上任意选定一个结点作用基点（2）应用公式（7-29），将边界外一行各虚节点的值用边界内相应节点的值表示；yx0132456789101112h1314BAhh（7-29）C16D17注意：对虚节点16：15对虚节点17：（2）应用公式（7-29），将边界外一行各虚节点的值用（7-24）（4）由应力分量的差分表达式（7-24），求出各节点的应力等。（3）对边界内的每一个结点建立差分方程（7-25）：（7-25）并联立解出各结点的值；（7-24）（4）由应力分量的差分表达式（7-24），求出各弹性力学-07(简化)第七章-平面问题的差分解课件应力函数差分法小结：（7-25）（1）

应力函数差分方程——每一个内结点均可建立一方程。yx0132456789101112h1314BAhh（7-26）（7-27）（7-28）（2）确定边界结点及其导数值的基本公式（3）确定虚结点值的基本公式应力函数差分法小结：（7-25）（1）应力函数差分方程—（3）确定虚结点值的基本公式（7-29）（4）结点应力分量的差分公式（7-24）yx0132456789101112h1314BAhhC16D1715（3）确定虚结点值的基本公式（7-29）（4）结点应力分（5）结点应力函数及其导数值的物理意义（7-26）（7-27）物理意义：边界上A、B

两点间x

方向面力之和。物理意义：边界上A、B

两点间y方向面力之和。（7-28）物理意义：边界上A、B

两点间面力对B点的矩。AxyO–dxdydsNBxByByx（5）结点应力函数及其导数值的物理意义（7-26）（7-（6）不规则边界内节点、虚节点

值hhh10956Bh边界外（6）不规则边界内节点、虚节点值hhh10956Bhyxq3qh3qh1921201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM§7-5应力函数的差分解的实例1.问题设一正方形的混凝土深梁（边长6h），上边界受有均布压力q

，并下角点处的两反力维持平衡。试由应力函数的差分解法，求各节点的应力分量。2.求解由于对称性，如图建立坐标系，并取其一半分析。求解过程：（1）

适当划分差分网格、编节点号；（2）选取基点A，并计算边界节点的及其导数值；计算公式：yxq3qh3qh192120161718222324252yxq3qh3qh1921201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM4.5qh24.0qh22.5qh200000000–––00––––3qh––0MLKJE、F、G、H、IDB、CA结点（3）计算边界外一行虚节点的值；yxq3qh3qh192120161718222324252yxq3qh3qh1921201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM同理，得：（4）对边界内节点建立差分方程；公式：（7-25）对节点1：0132456789101112式中：为已知；代入上式，整理得：对节点15：（d）yxq3qh3qh192120161718222324252yxq3qh3qh1921201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM0132456789101112（e）类似于式（d）、（e）可得到15个方程，其中含15个未知量，可求解得到（以

qh2单位）：（5）计算边界外一行虚节点的值（以

qh2单位）；上下虚节点：左侧虚节点：yxq3qh3qh192120161718222324252（6）计算应力值（中截面）；yxq3qh3qh1921201617182223242526123471013581114691215ADCBIHGFEJKLM0132456789101112同理，可求得：应力分布如图。与材料力学结果比较：两者相差较大。（6）计算应力值（中截面）；yxq3qh3qh1921201求解步骤:（1）在边界上任意选定一个结点作用基点A，取：然后，由公式：（7-26）（7-27）（7-28）yx0132456789101112h1314BAhh计算边界上各结点处的应力函数值及其导数值；求解步骤:（1）在边界上任意选定一个结点作用基点A，取：然后（2）应用公式（7-29），将边界外一行各虚节点的值用边界内相应节点的值表示；yx0132456789101112h1314BAhh（7-29）（3）对边界内的每一个结点建立差分方程（7-25）：（7-25）并联立解出各结点的值；（2）应用公式（7-29），将边界外一行各虚节点的值用（7-24）（4）由应力分量的差分表达式（7-24），求出各节点的应力等。yx0132456789101112h1314BAhh（7-24）（4）由应力分量的差分表达式（7-24），求出各课堂练习题：用差分法计算图示基础梁的最大拉应力，并与材料力学公式给出的结果比较。xyq4qhhhhhh解：（1）

划分差分网格、编节点号；12ADCBGFE56437（2）选取基点A，并计算边界节点的及其导数值；0–2qh2–2qh2–2qh2000–––00–––2qh––0GFEDCBA结点课堂练习题：用差分法计算图示基础梁的最大拉应（3）计算边界外一行虚节点的值；xyq4qhhhhhh12ADCBGFE34567（4）对边界内结点建立差分方程；结点1：（7-25）其中：（3）计算边界外一行虚节点的值；xyq4qhhhhhxyq4qhhhhhh12ADCBGFE34567（a）结点2：（7-25）其中：代入得：（b）联立求解式（a）、（b）：xyq4qhhhhhh12ADCBGFE34567（a）结点（5）计算边界外一行虚节点的值；xyq4qhhhhhh12ADCBGFE34567（6）计算各点的应力值；（5）计算边界外一行虚节点的值；xyq4qhhhhhhxyq4qhhhhhh12ADCBGFE34567xyq4qAG材料力学结果：xyq4qhhhhhh12ADCBGFE34567xyq4q弹性力学-07(简化)第七章-平面问题的差分解课件本章前面内容回顾1.有限差分法（FDM）基本思想要点：差分微分：代替差分方程代替微分方程。（1）中心差分公式（7-1）（7-2）（7-3）（7-4）2.基本差分公式5678yx01324hh9101112一、差分法的基本理论本章前面内容回顾1.有限差分法（FDM）基本思想要点：混合二阶导数的差分公式：（7-5）四阶导数的差分公式：（7-6）5678yx01324hh9101112混合二阶导数的差分公式：（7-5）四阶导数的差分公式：（7-（2）端点差分公式——向前差分公式yx0132456789101112h（7-7）——向后差分公式（7-8）注：用于边界条件情形。（2）端点差分公式——向前差分公式yx0132456二、无源、稳定温度场的差分法（a）24yx013hh1.稳定温度场的热传导方程2.稳定温度场的差分方程（7-11）（1）第一类边界条件由于边界点的T值已知，因此，只需建立每一个内节点的差分方程即可求解。3.温度场边界条件的引入二、无源、稳定温度场的差分法（a）24yx013hh1（2）第二类边界条件02431边界外边界内xy（7-17）（3）第三类边界条件02431边界外边界内xy（7-14）（7-12）（4）不规则边界节点的处理02431边界外边界内xyhhhA（2）第二类边界条件02431边界外边界内xy（7-17）（三、应力函数的差分法（7-25）（1）应力函数差分方程yx0132456789101112h1314BAhh（7-26）（7-27）（7-28）（2）确定边界结点及其导数值的基本公式（3）确定虚结点值的基本公式三、应力函数的差分法（7-25）（1）应力函数差分（3）确定虚结点值的基本公式（7-29）yx0132456789101112h1314BAhhC16D1715（4）不规则边界内节点、虚节点

值hhh10956Bh边界外（3）确定虚结点值的基本公式（7-29）yx013245（5）结点应力分量的差分公式（7-24）四、温度应力问题的应力函数的差分法（1）温度应力问题应力函数法的基本方程：（e）（f）（d）——温度应力问题的边界条件（5）结点应力分量的差分公式（7-24）四、温度应力问弹性力学-07(简化)第七章-平面问题的差分解课件§7-7位移的差分解引言yx0132456789101112h1314BAhhC16D1715应力差分方程：边界节点及其导数值计算公式：（7-26）（7-27）虚节点的

值计算公式：（7-29）一、应力差分法及其局限性§7-7位移的差分解引言yx01324567891011yx0132456789101112h1314BAhhC16D1715（7-24）应力分量的差分公式：应力差分法的局限性：（1）不适用于具有位移边界条件的问题；（2）不适用于多连体的问题；（3）不适用于体力不为常量的问题。这些局限性可由位移差分法解决。yx0132456789101112h1314BAhhC162.平面问题按位移求解的基本方程（2-20）（2-21）位移平衡微分方程：应力边界条件：位移边界条件：2.平面问题按位移求解的基本方程（2-20）（2-21）位移位移差分法的优点：（1）适用于具有应力边界条件的问题，（2）适用于多连体的问题（3）适用于体力不为常量的问题；（∵可用位移表示应力边界条件）；（∵位移单值条件可直接由位移量给出）；（4）可无需设置虚节点（∵微分方程中最高价导数仅为2阶）。xy137265480hhhh函数f——位移u、v。对节点

0

:（7-2）（7-4）（7-5）3.内节点的位移差分方程位移差分法的优点：（1）适用于具有应力边界条件的问题，（2）xy137265480hhhh对节点

0

:将式（7-2）,（7-4）,（7-5）代入第一式，整理有两边同乘以h2

，并令(Px)0=X0h2

，有（7-40）（位移形式的平衡微分方程）xy137265480hhhh对节点0:将式（7-2）,xy137265480hhhh（7-40）（7-41）将式（7-2）,（7-4）,（7-5）代入第二式，整理有其中：(Px)0=X0h2，(Py)0=Y0h2

。用差分图式表示：xy——式（7-40）的差分图式156248370xy137265480hhhh（7-40）（7-41）将式（xy——式（7-40）的差分图式156248370xy137265480hhhh——式（7-41）的差分图式xy156248370其中：注：对于只有位移边界条件的问题已可求解。xy——式（7-40）的差分图式156248370xyxy例：四边固定的矩形薄板，其长度与宽度之比为1：2，密度为，为简单起见取泊松比=0。试用4×2的网格计算自重引起的位移与应力。解：hhhhhh由于对称性，有只需求：156248370xy对a点abcidefghj00000000（x方向差分方程）：xy例：四边固定的矩形薄板，其长度与宽度之比为1：2，密度xyabcidefghhhhhhhj对a点（y方向的差分方程）：xy1562483700000000对b点（y方向的差分方程）：000000（a）（b）解方程（a）、（b）得：xyabcidefghhhhhhhj对a点（y方向的差分方计算应力：xyabcidefghhhhhhhj由几何方程和物理方程，得到0对边界结点：（需用端点差分公式）00计算应力：xyabcidefghhhhhhhj由几何方程和物对边界结点：（需用端点差分公式）00xyabcidefghhhhhhhj对边界结点：（需用端点差分公式）00xyabcidefghh4.边界未知位移节点的差分方程（1）某节点“邻域”的概念：bca指环绕该节点的那两段、三段、四段网格的垂直平分线所围的区域，如：h/2h/2h/2h/2h/2h/2h/2h/2角隅点1的邻域：5xyhhhh32141abc所围区域；边界点2的邻域：deabde所围区域；内点4的邻域：fgbdfg所围区域；（2）差分计算的三点约定：函数f——位移u、v。xy137265480hhhha（a）函数

f沿网格线方向的导数，它在该网格线上各点（不包括节点）处的值取为常量，如：（7-32）4.边界未知位移节点的差分方程（1）某节点“邻域”的概念（2）差分计算的三点约定：函数f——位移u、v。xy137265480hhhha（a）函数

f沿网格线方向的导数，它在该网格线上各点（不包括节点）处的值取为常量，如：（7-32）（b）函数

f在垂直于网格线方向的导数，它在该网格线上各点（不包括节点）处的值取为按线性变化，如：（7-33）0–1线上a

点y方向导数：函数f在节点处的导数，仍由第1节中的差分公式给出，即；（2）差分计算的三点约定：函数f——位移u、v对于0–2线上b

点，有

：bcxy137265480hhhha（7-34）（7-35）（c）对不在网格线上的任一点c，沿x、y方向的导数值为：de（7-36）将：代入对于0–2线上b点，有：bcxy13726548（7-37）将f在c点的导数值，用f在网格线上4个点的导数值表示，和f在4节点处的函数值表示。bcxy137265480hhhhade（3）边界节点的差分方程（7-37）将f在c点的导数值，用f（3）边界节点的差分方程xy8hhh37240边界h/2abckfjideh/4其中：为0点邻域上所有外力的合力，即由0点邻域微元体的平衡，有：x方向：将物理方程和几何方程代入，有：当边界的法线沿x正方向时：（3）边界节点的差分方程xy8hhh37240边界h/2abxy8hhh37240边界h/2abckfjideh/4（7-42）应用前面的差分公式，有：xy8hhh37240边界h/2abckfjideh/4（7xy8hhh37240边界h/2abckfjideh/4g将式（7-43）代入式（7-42），并整理得相应于u0的差分方程：（7-43）xy8hhh37240边界h/2abckfjideh/4g将xy8hh37240边界h8——相应于u0的差分方程其差分计算图式：xy248370u0的差分计算图式xy8hh37240边界h8——相应于u0的差分方程y方向：xy8hhh37240边界h/2abckfjideh/4g将物理方程和几何方程代入，有：（7-44）其中：y方向：xy8hhh37240边界h/2abckfjidehxy8hhh37240边界h/2abckfjideh/4g将上式代入式（7-44），并整理得相应于v0的差分方程：xy8hhh37240边界h/2abckfjideh/4g将xy248370差分计算图式：v0的差分方程的计算图式xy8hh37240边界h8——相应于v0的差分方程xy248370差分计算图式：v0的差分方程的计算图式x边界1xy4hhh2650h/2abckfjidegh/4当边界的法线沿x负方向时：xy654021u0的差分方程的计算图式：边界1xy4hhh2650h/2abckfjidegh/4当xy4hhh12650边界h/2abckfjidegh/4xy654021v0的差分方程的计算图式：xy4hhh12650边界h/2abckfjidegh/4xxyhhh413850边界当边界的法线沿y正方向时：u0的差分方程的计算图式：xy548021v0的差分方程的计算图式：xy548021xyhhh413850边界当边界的法线沿y正方向时：u0xy边界当边界的法线沿y负方向时：u0的差分方程的计算图式：xy103276v0的差分方程的计算图式：xy103276hhh0673120xy边界当边界的法线沿y负方向时：u0的差分方程的计两边界的交点：hh0843xy边界边界bcadefkgij结点0的邻域：h/2×h/2h/2h/4h/2由结点0的邻域微元的平衡x方向：利用物理方程及几何方程，有将式中导数用差分表示，两边界的交点：hh0843xy边界边界bcadefkgij结hh0843xy边界边界cadefbkgijh/2h/4h/2将以上各式代入平衡方程：hh0843xy边界边界cadefbkgijh/2h/4h/hh0843xy边界边界cadefbkgijh/2h/4h/2得到结点0的u0的差分方程：xy0843用的u0的差分图式表示：类似地，可得结点0的v0的差分图式：hh0843xy边界边界cadefbkgijh/2h/4h/hh0843xy边界边界cadefbkgijh/2h/4h/2类似地，可得结点0的v0的差分图式：xy0843xy0843用的u0的差分图式表示：hh0843xy边界边界cadefbkgijh/2h/4h/弹性力学-07(简化)第七章-平面问题的差分解课件§7-8位移差分解的实例一、内结点的差分图式：u0的差分图式(Px)0=X0h2，(Py)0=Y0h2v0的差分图式156248370xyxy137265480hhhh04xy156248370§7-8位移差分解的实例一、内结点的差分图式：u0的二、边界非零未知位移结点的差分图式：xy8hh37240边界h8248370u0v0248370二、边界非零未知位移结点的差分图式：xy8hh37240边界xy654021u0的差分方程的计算图式：xy8hh02651边界h4v0的差分方程的计算图式：xy654021xy654021u0的差分方程的计算图式：xy8hh02xyhhh413850边界u0的差分方程的计算图式：xy548021v0的差分方程的计算图式：xy548021xyhhh413850边界u0的差分方程的计算图式：xyxy边界hhh067312u0的差分方程的计算图式：xy103276v0的差分方程的计算图式：xy103276xy边界hhh067312u0的差分方程的计算图式：xyxy0843u0的差分图式：v0的差分图式：xy0843hh0843xy边界边界cadefbkgijh/2h/4h/2xy0843u0的差分图式：v0的差分图式：xy08hhxy边界边界1450xy1450u0的差分图式：v0的差分图式：xy1450hhxy边界边界1450xy1450u0的差分图式：v0hhxy边界边界2307xy2307u0的差分图式：v0的差分图式：xy2307hhxy边界边界2307xy2307u0的差分图式：v0hhxy边界边界6012xy6012u0的差分图式：v0的差分图式：xy6012hhxy边界边界6012xy6012u0的差分图式：v0xy例:四边固定的矩形薄板，其长度与宽度之比为1：2，密度为，为简单起见取泊松比=0。试用4×2的网格计算自重引起的位移与应力。解:hhabcidefgkjhhhh划分网格，编写结点号；由对称性，独立的位移分量仅为：ua、va、vb、uf（ub=vf=vg=ug=0）内结点a0000000——ua

：xy156248370xy例:四边固定的矩形薄板，其长度与宽度之比为1：2，密度0000000内结点a：xyhhabcidefgkjhhhh156248370xy内结点a：——ua

：——va

：0000000内结点a：xyhhabcidefgkjhhhhxyhhabcidefgkjhhhh内结点b：0000156248370xy内结点a：——ua

：——va

：——va

：xyhhabcidefgkjhhhh内结点b：0000156xyhhabcidefgkjhhhh边界结点fu0的差分方程的计算图式：xy5480210000000——va

：xyhhabcidefgkjhhhh边界结点fu0的差xyhhabcidefgkjhhhh联立求解，得：求结点应力：xyhhabcidefgkjhhhh联立求解，得：求结点应力xyhhabcidefgkjhhhh求结点应力：类似地，可求结点y方向的应力。xyhhabcidefgkjhhhh求结点应力：类似地，可求例:图示矩形深梁，左右两边固定，上边受均布载荷q作用，试求其位移和应力。取泊松比=0.2;弹性模量为E。解:qabcdefjgi划分网格，编写结点号；由对称性，独立的位移分量仅为：ua、va、ud=－ua，（ug=vg=ui=vi=uj=vj=0）ub、vb、uc、vc、ue=－ub，uf=－uc，vd=va，ve=vb，vf=vc结点a：——ua5480210000xy例:图示矩形深梁，左右两边固定，上边受均布载荷q作用，结点a：vaqxyabcdefjgiv0的差分方程的计算图式：xy5480210000结点a：vaqxyabcdefjgiv0的差分方程的计算结点b：ubqxyabcdefjgi000xy156248370结点b：ubqxyabcdefjgi000xy1562483结点b：vbqxyabcdefjgi156248370xy000结点b：vbqxyabcdefjgi156248370xy0结点c：ucqxyabcdefjgiu0的差分方程的计算图式：xy1032760000结点c：ucqxyabcdefjgiu0的差分方程的计算v0的差分方程的计算图式：xy103276结点c：vcqxyabcdefjgi0000v0的差分方程的计算图式：xy103276结点c：vcq整理得：qxyabcdefjgi联立求解，得：整理得：qxyabcdefjgi联立求解，得：qxyabcdefjgi联立求解，得：求解应力：00000000qxyabcdefjgi联立求解，得：求解应力：000000qxyabcdefjgi00000000qxyabcdefjgi00000000qxyabcdefjgi0qxyabcdefjgi0弹性力学-07(简化)第七章-平面问题的差分解课件本章小结1.有限差分法（FDM）基本思想要点：差分微分：代替差分方程代替微分方程。（1）中心差分公式（7-1）（7-2）（7-3）（7-4）2.基本差分公式5678yx01324hh9101112一、差分法的基本思想及基本差分公式本章小结1.有限差分法（FDM）基本思想要点：差混合二阶导数的差分公式：（7-5）四阶导数的差分公式：（7-6）5678yx01324hh9101112混合二阶导数的差分公式：（7-5）四阶导数的差分公式：（7-（2）端点差分公式——向前差分公式yx0132456789101112h（7-7）——向后差分公式（7-8）注：用于边界条件情形。（2）端点差分公式——向前差分公式yx0132456二、无源、稳定温度场的差分法（a）24yx013hh1.稳定温度场的热传导方程2.稳定温度场的差分方程（7-11）（1）第一类边界条件由于边界点的T值已知，因此，只需建立每一个内节点的差分方程即可求解。3.温度场边界条件的引入二、无源、稳定温度场的差分法（a）24yx013hh1（2）第二类边界条件02431边界外边界内xy（7-17）（3）第三类边界条件02431边界外边界内xy（7-14）（7-12）（4）不规则边界节点的处理02431边界外边界内xyhhhA（2）第二类边界条件02431边界外边界内xy（7-17）（三、应力函数的差分法（7-25）（1）应力函数差分方程yx0132456789101112h1314BAhh（7-26）（7-27）（7-28）（2）确定边界结点及其导数值的基本公式（3）确定虚结点值的基本公式三、应力函数的差分法（7-25）（1）应力函数差分（3）确定虚结点值的基本公式（7-29）yx0132456789101112h1314BAhhC16D1715（4）不规则边界内节点、虚节点

值hhh10956Bh边界外（3）确定虚结点值的基本公式（7-29）yx013245（5）结点应力分量的差分公式（7-24）四、温度应力问题的应力函数的差分法（1）温度应力问题应力函数法的基本方程：（e）（f）（d）——温度应力问题的边界条件（5）结点应力分量的差分公式（7-24）四、温度应力问（2）温度应力问题差分方程（7-30）——温度应力问题的差分方程（7-31）——温度应力边界的差分形式yx0132456789101112h1314BAhh（2）温度应力问题差分方程（7-30）——温度应力问题的差一、内结点的差分图式：u0的差分图式(Px)0=X0h2，(Py)0=Y0h2v0的差分图式156248370xyxy137265480hhhh04xy156248370五、位移差分法一、内结点的差分图式：u0的差分图式(Px)0=X0二、边界非零未知位移结点的差分图式：xy8hh37240边界h8248370u0v0248370二、边界非零未知位移结点的差分图式：xy8hh37240边界xy654021u0的差分方程的计算图式：xy8hh02651边界h4v0的差分方程的计算图式：xy654021xy654021u0的差分方程的计算图式：xy8hh02xyhhh413850边界u0的差分方程的计算图式：xy548021v0的差分方程的计算图式：xy548021xyhhh413850边界u0的差分方程的计算图式：xyxy边界hhh067312u0的差分方程的计算图式：xy103276v0的差分方程的计算图式：xy103276xy边界hhh067312u0的差分方程的计算图式：xyxy0843u0的差分图式：v0的差分图式：xy0843hh0843xy边界边界cadefbkgijh/2h/4h/2xy0843u0的差分图式：v0的差分图式：xy08hhxy边界边界1450xy1450u0的差分图式：v0的差分图式：xy1450hhxy边界边界1450xy1450u0的差分图式：v0hhxy边界边界2307xy2307u0的差分图式：v0的差分图式：xy2307hhxy边界边界2307xy2307u0的差分图式：v0hhxy边界边界6012xy6012u0的差分图式：v0的差分图式：xy6012hhxy边界边界6012xy6012u0的差分图式：v0弹性力学-07(简化)第七章-平面问题的差分解课件弹性力学-07(简化)第七章-平面问题的差分解课件作业02431边界外边界内xyhhAB（7-16）试推导具有图示不规则边界节点A、B时，节点0的差分方程（7-16）。补充题：7-27-3选做题：作业02431边界外边界内xyhhAB（7-16）试作业：10-5作业：10-5作业：7-5作业：7-5第七章平面问题的差分解要点:将微分方程转变成差分方程。基本思想:将基本方程和边界条件（一般为微分方程）近似地用改用差分方程（线性代数方程）表示，把解微分方程的问题变成求代数方程的问题。第七章平面问题的差分解要点:将微分方程转变成差分方程§7-1差分公式的推导主要内容

§7-2稳定温度场的差分解§7-3不稳定温度场的差分解§7-4应力函数的差分解§7-5应力函数的差分解的实例§7-6温度应力问题的应力函数差分解§7-7位移差分解§7-8位移差分解实例§7-9多连体问题的位移差分解§7-10温度应力问题的位移差分解§7-1差分公式的推导主要内容§7§7-0弹性力学的数值计算方法简介工程问题（力学、物理等）建立一组基本方程控制微分方程定值条件常微分方程偏微分方程位移边界条件力的边界条件初始条件求解精确解近似解（数值解）（均质、边界条件简单）（1）有限差分法（2）等效积分法（包括变分法）（3）有限单元法（4）边界单元法……（1）有限差分法（FDM）要点：差分微分；代替差分方程代替微分方程。（代数方程）yx013hh§7-0弹性力学的数值计算方法简介工程问题建立一组控制微优点：yx013hh收敛性好、程序设计简单、非线性适应好。代表性软件：FLAC缺点：当边界几何形状复杂时，解的精度受到限制。（2）等效积分法控制微分方程边值条件建立等效的积分方程假设未知函数整个区域内近似求解（a）加权余量法（加权残值法）（配点法、子域法、最小二乘法、力矩法、Galerkin法、等）（b）变分法当原问题存在某个泛函时，则原问题等价于求该泛函的驻值。如：Ritz法等。特点：

在整个区域内，假设未知函数。适用于边界几何形状简单的情形。xy优点：yx013hh收敛性好、程序设计简单、非线性适应好。代（3）有限单元法（FEM）——加权余量法、变分法的推广。

基本思想：整个区域分成若干个单元区域离散假设未知函数在单元上由变分原理等求出单元结点上值（近似解）主要有限元软件：SAP，ADINANASTRAN、ANSYS、ABAQUS、ASKA、SAFE、MARC等——早期的软件（3）有限单元法（FEM）——加权余量法、变分法的推广。1.中心差分公式§7-1差分公式的推导设函数：为弹性体内的某个函数（应力分量、位移分量、应力函数、温度等）。yx在弹性体上用相隔等间距h

且平行于坐标轴的两组平行线组