刚体的平面运动课件

第十四章刚体的平面运动14.1刚体的平面运动方程14.2平面运动的分解14.3平面图形内各点速度分析第十四章刚体的平面运动14.1刚体的平面运动方程14.1刚体的平面运动方程设有平行于固定平面I(图14—1)作平面运动的刚体，以平行于平面I的另一平面Ⅱ截割这刚体，则所得的截面S将始终保持在平面Ⅱ内运动。取定系Oxyz，令坐标平面0xy重合于平面Ⅱ(图14—1)。刚体内与截面S(平面图形)相垂直的任一直线A1A2在运动中保持平行于轴z且其上任一点的z坐标不变，即直线A1A2作平面平动。因此，这直线的运动可用它与平面图形S的交点A的运动来代表，而整个刚体的运动则可用平面图形S的运动来代表。由此可见，刚体的平面运动，可以简化为平面图形在其本身平面内的运动来研究(图14-2)。下一页返回14.1刚体的平面运动方程设有14.1刚体的平面运动方程上式称为刚体平面运动方程，它描述了平面运动刚体作为整体的运动规律。从式(14—1)出发可以进一步写出图形上任一点的运动方程。因为图形S内各点一般有不同的运动，所以方程(14—1)的前两式，以及这两式求导所得到的基点的速度、加速度都与基点的选择有关。返回上一页14.1刚体的平面运动方程返回上一页14．2平面运动的分解用前一节所建立的运动方程(解析法)原则上已解决了图形S及其上点的绝对运动问题。但在工程实际中，用合成(分解)法研究平面运动更加方便、直观。以基点O’为原点，设定(默认)一个平动动参考系Ox´y´。为简明，令轴z’、y’始终与定轴z、y分别平行(图14—4)。显然，动系Ox´y´的运动为平面平动，其运动规律由原点O’(基点)的运动方程(式(14—1)中的前二式)所代表。这样，图形S对定系的平面运动可分解为两个分运动：(1)随同基点(或动系)的平动，这是牵连运动；(2)相对于动系Ox´y´绕基点的转动，这是相对运动。下一页返回14．2平面运动的分解用前一节14．2平面运动的分解如上所述，图形的平动部分可用基点的运动代表，其运动方程是式(14—1)的前两式。因而平动的轨迹、速度、加速度都与基点的选择有关。由图14—4，图形(相对)转动部分的运动方程应写为φ’=φ’(t)。但因动系作平动，恒有φ’=

φ，即相对运动的转角及其各阶导数分别与图形绝对运动的转角、各阶导数完全相同。又考虑到式(14—1)第三式的导数与基点、基线的选择无关，由此得到重要结论：在动系是随同基点平动的情况下，平面图形绕基点相对转动的角速度、角加速度的大小和转向都与基点、基直线的选择无关，都分别与图形的(绝对)角速度、(绝对)角加速度的的大小转向相同。今后在把图形的运动分解为平动和转动(基点法，见后)的讨论中，所涉及的角速度与角加速度的大小与转向，既不必区别是相对的还是绝对的，也不须指定是绕哪个基点的。返回上一页14．2平面运动的分解如上所14.3平面图形内各点速度分析一、平面图形内各点速度分析的基点法应用复合运动的方法，把平面图形的运动分解成随同基点的平动和绕基点的转动后，就可以应用点的复合运动的概念和理论来分析平面图形上各点的速度和加速度。设在平面图形上取点O作为基点（图14-5），已知基点的速度是v0，图形的角速度大小是ω（为了方便，本章中角速度和角加速度都只取绝对值）。求图形上任一点M的速度。点M作复合运动，牵连运动是以基点O的速度v0进行的平动。因此点M的牵连速度等于下一页返回14.3平面图形内各点速度分析一、平面图形内各点速度分析的基14.3平面图形内各点速度分析相对运动是点M绕基点O的圆周运动。点M的这一相对速度改记为vMO，即写成它简称为点M绕基点0转动的速度，vMO的大小等于方向垂直于转动半径MO，指向与的转向ω一致。于是，由点的速度合成定理就可以求得点M的绝对速度下一页返回上一页14.3平面图形内各点速度分析相14.3平面图形内各点速度分析即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点绕基点转动的速度的矢量和。这种求平面图形上任一点速度的方法称为基点法，又称为合成法。这结果表示了速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上投影彼此相等。其实这个定理也可以从刚体不变形的特性直接推出，因而它适用于刚体的任何运动。下一页返回上一页14.3平面图形内各点速度分析14.3平面图形内各点速度分析二、平面图形内各点速度分析的瞬心法应用基点法求平面图形上任一点的速度时，如果选图形上瞬时速度等于零的一点作为基点，那么计算将能简化，因为这时图形上任一点的速度就等于绕基点转动的速度这一项了。问题是每瞬时图形上是否的确存在速度等于零的一点?设已知图形上某点O的速度是，图形的角速度是(图14—8)。选点O作为基点，把v0顺着图形转动的方向转过一直角而作出半直线OA，在这半直线上所有各点的牵连速度和相对速度都方向相反。但各点的牵连速度都等于基点的速度，而相对速度的大小则正比于该点到基点的距离。因此，其中必有一点P，它的相对速度和牵连速度大小相等而方向相反，因而绝对速度等于零。点P的位置应满足下列关系式：下一页返回上一页14.3平面图形内各点速度分析二、平面图形内各点速度分析的瞬14.3平面图形内各点速度分析或即：如平面图形的角速度不等于零，则在该瞬时图形上总有速度为零的一点。这个点称为图形的瞬时速度中心，简称瞬心。如取瞬心P作为基点，则平面图形上任一点M的速度大小且vM垂直于转动半径MP并指向图形绕P转动的前方(图14—9)。下一页返回上一页14.3平面图形内各点速度分析或下一页返回上一页14.3平面图形内各点速度分析这就是说，平面图形上各点的速度分布就像定轴转动时一样。因此，可以认为：在图形角速度不为零的每一瞬时，图形绕固定平面上重合于速度瞬心的一点在转动。这是平面图形(绝对)运动的又一种描述，而这个转动的角速度就是图形的(绝对)角速度。应用瞬心法，须先求找该瞬时瞬心在图形中的位置。以下介绍各种情况下确定瞬心位置的一般方法。(1)已知图形上某一点O的速度v0和图形的角速度的大小和转向。这时求速度瞬心的方法已在讨论速度瞬心存在时给出(如图14—8)。(2)已知某瞬时平面图形上A，B两点速度的方位且两者不平行。由于图形上各点速度应垂直于该点和瞬心的连线，故过A、B分别作出vAvB的垂线，其交点P是图形的瞬心(图14—10)。这时如已知vA或vB的大小和指向，即可求出图形的瞬时角速度大小：下一页返回上一页14.3平面图形内各点速度分析这14.3平面图形内各点速度分析(3)已知图形上A，B两点速度vA和vB的方位互相平行，且与连线AB的交角θ≠90。(图14一11)。这时速度瞬心P落到无穷远处，PA→∞。，因而在该瞬时的角速度w=vA/PA=0

。利用速度投影定理，可以立即证明vA=vB

。事实上在该瞬时，图形上所有各点的速度都相互平行且大小相等，其速度分布和平动时一样。这种情况下图形的运动称为瞬时平动(这种现象只能瞬时存在，因为图形上备点的加速度未必相等)。(4)已知vA和vB大小不等但互相平行，且垂直于连线AB(图14—12(a)和(b))。根据图14—9表示的速度分布规律，瞬心P是通过AB的直线和通过vA、vB端点A’、B’的直线的交点。(5)若平面图形沿某一固定曲线轨道作纯滚动(图14—13)，则因图形上与轨道接触点P的瞬时速度为零，此点即为图形在该瞬时的瞬心。返回上一页14.3平面图形内各点速度分析(3)已知图形上A，B两点速图14-1返回图14-1返回图14-2返回图14-2返回图14—4返回图14—4返回图1