金融数学课件第二章风险风险厌恶与随机占优

金融数学第二章风险、风险厌恶与随机占优金融数学第二章风险、风险厌恶与随机占优1资产定价理论的微观经济基础

经济理论通常假定：投资人是风险厌恶的风险有多种定义，不确定性从定量模型化解释风险投资人面临风险的决策（第一节）Rothschild和Stiglitz提出随机占优（第二节）资产定价理论的微观经济基础经济理论通常假定：投资人是风险厌2对风险的一般认识：经济系统中状态变量的事前不确定性对风险的厌恶引发投资人的投资组合的分散化问题以及对所需交换的资产的合理定价问题金融经济学框架的核心问题：如何分散风险如何确定风险的合理价格第一节风险与风险偏好对风险的一般认识：第一节风险与风险偏好3风险厌恶、风险中性与风险偏好的数学表述

伯努利（Bernoulli）效用函数（确定值）Von-Neumann-Morgenstern预期效用函数“预期”有“期望”之义，随机变量的数学期望例2.1。Page46风险厌恶、风险中性与风险偏好的数学表述伯努利（Bernou4风险厌恶的数学定义如果F(x)是二项分布，则，风险厌恶——伯努利效用函数为凹函数严格风险厌恶——严格不等式，u’>0，u’’<0定理2.1：对任意F，有风险厌恶——效用函数为严格凹函数证明需要使用Jensen不等式。同样：可以定义风险中性和风险偏好风险厌恶的数学定义如果F(x)是二项分布，则，5绝对风险厌恶与风险溢价

对风险厌恶程度有大有小，绝对风险厌恶，风险溢价ρ，对风险的补偿，数学定义如下Pratt(1964)定义绝对风险厌恶系数绝对风险厌恶系数越大，越厌恶风险，必需给予的溢价补偿也越大绝对风险厌恶与风险溢价对风险厌恶程度有大有小，绝对风险厌恶6相对风险厌恶与风险溢价Pratt(1964)定义相对风险厌恶系数相对风险厌恶系数越大，所要求的单位方差的相对风险溢价补偿也越高

相对风险厌恶与风险溢价Pratt(1964)定义相对风险厌恶7风险溢价和风险厌恶对投资人决策影响的实例说明

例2.2。当前财富为W=a+(W－a)今后财富X＝W－a+a(1+r)=W+ar，优化问题关于a是凹函数，一阶导数＝0，（2.17）a＊是解，是W的函数，（2.17）中对W求导数，（2.18）。风险溢价和风险厌恶对投资人决策影响的实例说明例2.2。当前8随W的变化，风险厌恶投资者的a的动态变化假设绝对风险厌恶系数不随W增加而增加对r＞0和r＜0，都可得到（2.20a）从（2.17）得（2.21）u是凹函数，得（2.21a）随W的变化，风险厌恶投资者的a的动态变化9最后风险厌恶的投资人投资于风险资产的财富随着总财富的上升而增加

关于绝对风险厌恶系数不随W增加而增加经过推导可知，要求三阶导数为正数度量风险厌恶在于比较不同投资人对同一风险决策的态度。在资产定价理论中，一般假定存在一个典型性投资人。需要处理典型投资人对不同资产的风险与收益的判断，即资产风险的度量问题。最后10第二节随机占优怎样才能认为资产A比资产B更具风险？简化的风险比较：均值-方差效用用方差作为唯一标准不可行（期望可能越大）即使一种资产X预期收益等于另一资产Y，而X方差小于Y，风险厌恶者也不一定偏好于X

如下面的例子第二节随机占优怎样才能认为资产A比资产B更具风险？11E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=7如果选择风险厌恶效用函数E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=712均值—方差效用不完整性说明只考虑均值和方差，没有考虑更高阶中心矩。只有当包括三阶矩以上为0时，均值方差效用才与真实的预期效用一致。两端取期望（w是期望值，数值），利用均值—方差效用不完整性说明只考虑均值和方差，没有考虑更高阶中13资产风险度量的一般方法Rothschild—Stiglitz更一般的比较不同资产风险的分析框架比较资产收益的分布，而不比较不同投资人所依赖的不同的效用函数。一阶随机占优、二阶随机占优以及均值不变下的分布扩展MPS假设有两种资产A和B。A收益服从分布F（·），B服从G（·），且F（1）=G（1）=1，（方便起见，令收益均属于区间[0，1]）。资产风险度量的一般方法Rothschild—Stiglitz14一阶随机占优FSDFirst-orderStochasticDominanceFSD定义：对任意非减的函数u：R→R，定理2.1是FSD的等价条件。注意不等号方向一阶随机占优FSDFirst-orderStochast15FSd的图形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0zFSd的图形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0z16二阶随机占优SSDSecond-orderStochasticDominanceSSD定义：F二阶占优于G，当且仅当且对某些X值的集合，不等号成立。符号可以证明，如果SSD成立，则，投资人更偏好A（或F），B（或G）更具风险SSD的三个等价条件二阶随机占优SSDSecond-orderStocha17SSD图形表示取正号取正号+z取负号FA(z)FB(z)z*1yF(z)0SSD图形表示取正号取正号+z取负号FA(z)FB(z)z*18SSD其他特性SSD的3个等价表述“d”表示“依分布相等”引入“展形spread”的概念SSD其他特性SSD的3个等价表述19均值不变下的分布展形MPSmeanpreservingspreads——MSP讨论限定于两种资产相同的预期收益图形表示命题2-2命题2-3G是F的MPS，等价于F，SSD，G均值不变下的分布展形MPSmeanpreservings20Jensen’sinequality证明

u是凹函数证明过程：在均值点泰勒展开Jensen’sinequality证明u是凹函数21金融数学第二章风险、风险厌恶与随机占优金融数学第二章风险、风险厌恶与随机占优22资产定价理论的微观经济基础

经济理论通常假定：投资人是风险厌恶的风险有多种定义，不确定性从定量模型化解释风险投资人面临风险的决策（第一节）Rothschild和Stiglitz提出随机占优（第二节）资产定价理论的微观经济基础经济理论通常假定：投资人是风险厌23对风险的一般认识：经济系统中状态变量的事前不确定性对风险的厌恶引发投资人的投资组合的分散化问题以及对所需交换的资产的合理定价问题金融经济学框架的核心问题：如何分散风险如何确定风险的合理价格第一节风险与风险偏好对风险的一般认识：第一节风险与风险偏好24风险厌恶、风险中性与风险偏好的数学表述

伯努利（Bernoulli）效用函数（确定值）Von-Neumann-Morgenstern预期效用函数“预期”有“期望”之义，随机变量的数学期望例2.1。Page46风险厌恶、风险中性与风险偏好的数学表述伯努利（Bernou25风险厌恶的数学定义如果F(x)是二项分布，则，风险厌恶——伯努利效用函数为凹函数严格风险厌恶——严格不等式，u’>0，u’’<0定理2.1：对任意F，有风险厌恶——效用函数为严格凹函数证明需要使用Jensen不等式。同样：可以定义风险中性和风险偏好风险厌恶的数学定义如果F(x)是二项分布，则，26绝对风险厌恶与风险溢价

对风险厌恶程度有大有小，绝对风险厌恶，风险溢价ρ，对风险的补偿，数学定义如下Pratt(1964)定义绝对风险厌恶系数绝对风险厌恶系数越大，越厌恶风险，必需给予的溢价补偿也越大绝对风险厌恶与风险溢价对风险厌恶程度有大有小，绝对风险厌恶27相对风险厌恶与风险溢价Pratt(1964)定义相对风险厌恶系数相对风险厌恶系数越大，所要求的单位方差的相对风险溢价补偿也越高

相对风险厌恶与风险溢价Pratt(1964)定义相对风险厌恶28风险溢价和风险厌恶对投资人决策影响的实例说明

例2.2。当前财富为W=a+(W－a)今后财富X＝W－a+a(1+r)=W+ar，优化问题关于a是凹函数，一阶导数＝0，（2.17）a＊是解，是W的函数，（2.17）中对W求导数，（2.18）。风险溢价和风险厌恶对投资人决策影响的实例说明例2.2。当前29随W的变化，风险厌恶投资者的a的动态变化假设绝对风险厌恶系数不随W增加而增加对r＞0和r＜0，都可得到（2.20a）从（2.17）得（2.21）u是凹函数，得（2.21a）随W的变化，风险厌恶投资者的a的动态变化30最后风险厌恶的投资人投资于风险资产的财富随着总财富的上升而增加

关于绝对风险厌恶系数不随W增加而增加经过推导可知，要求三阶导数为正数度量风险厌恶在于比较不同投资人对同一风险决策的态度。在资产定价理论中，一般假定存在一个典型性投资人。需要处理典型投资人对不同资产的风险与收益的判断，即资产风险的度量问题。最后31第二节随机占优怎样才能认为资产A比资产B更具风险？简化的风险比较：均值-方差效用用方差作为唯一标准不可行（期望可能越大）即使一种资产X预期收益等于另一资产Y，而X方差小于Y，风险厌恶者也不一定偏好于X

如下面的例子第二节随机占优怎样才能认为资产A比资产B更具风险？32E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=7如果选择风险厌恶效用函数E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=733均值—方差效用不完整性说明只考虑均值和方差，没有考虑更高阶中心矩。只有当包括三阶矩以上为0时，均值方差效用才与真实的预期效用一致。两端取期望（w是期望值，数值），利用均值—方差效用不完整性说明只考虑均值和方差，没有考虑更高阶中34资产风险度量的一般方法Rothschild—Stiglitz更一般的比较不同资产风险的分析框架比较资产收益的分布，而不比较不同投资人所依赖的不同的效用函数。一阶随机占优、二阶随机占优以及均值不变下的分布扩展MPS假设有两种资产A和B。A收益服从分布F（·），B服从G（·），且F（1）=G（1）=1，（方便起见，令收益均属于区间[0，1]）。资产风险度量的一般方法Rothschild—Stiglitz35一阶随机占优FSDFirst-orderStochasticDominanceFSD定义：对任意非减的函数u：R→R，定理2.1是FSD的等价条件。注意不等号方向一阶随机占优FSDFirst-orderStochast36FSd的图形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0zFSd的图形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0z37二阶随机占优SSDSecond-orderStochasticDominanceSSD定义：F二阶占优于G，当且仅当且对某些X值的集合，不等号成立。符号可以证明，如果SSD成立，则，投资人更偏好A（或F），B（或G）更具风险SSD的三个等价条件二阶随机占优SSDSecond-orderStocha38SSD图形表示取正号取正号+z取负号FA(z)FB(z)z*1yF(z)0SSD图形表示取正号取正号+z取负号FA(z)FB(z)z*39SSD其他特性SSD的3个