随机过程(十四)-布朗运动课件

Brown运动Brown运动随机游动设一个粒子在直线上做随机游动，每隔Dt时间内等可能的向左或向右移动Dx的距离。若记X(t)记时刻t粒子的位置，则其中问：要令Dt和Dx趋于零，X(t)将会具有哪些性质？随机游动设一个粒子在直线上做随机游动，每隔Dt时间内等可能的首先来看因此，首先来看因此，容易证明：（1）X(t)服从均值为0，方差为s2t的正态分布；（2）{X(t),t≥0}有独立增量（3）{X(t),t≥0}有平稳增量容易证明：Brown运动的定义随机过程{B(t),t≥0}如果满足（1）B(0)＝0；（2）{B(t),t≥0}有平稳独立增量;（3）对每个t>0，B(t)服从正态分布N(0,s2t).则称{B(t),t≥0}为布朗运动，也称为wiener过程。如果s＝1，则称为标准布朗运动。注：第(1)条并不是必须的。如果B(0)＝x，则称{B(t),t≥0}为始于x的布朗运动，记为Bx(t)。Brown运动的定义随机过程{B(t),t≥0}如果满足注：Brown运动的另一种定义Brown运动是具有如下性质的随机过程{B(t),t≥0}：（1）正态增量性：（2）独立增量性：B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u),0≤u≤s。（3）路径的连续性:B(t)是t的连续函数。Brown运动的另一种定义Brown运动是具有如下性质的随机Brown的分布性质空间齐次性Brown的分布性质空间齐次性定义：连续Markov过程的转移概率定义为在时刻s处于状态x的条件下，过程在时刻t的分布函数Brown的马氏性定义：连续Markov过程的转移概率定义为在时刻s处于状态x随机过程(十四)-布朗运动课件在Brown运动的情况下，转移概率是正态的转移概率函数满足P(y,t,x,s)=P(y,t-s,x,0)，即这个性质称为Brown运动的时间时齐性,即分布不随时间而变化.在Brown运动的情况下，转移概率是正态的转移概率函数满足P随机过程(十四)-布朗运动课件随机过程(十四)-布朗运动课件有限维分布密度有限维分布密度注：由有限维分布，可以计算任何想求的条件概率。例如，求给定B(t)=y时，B(s)，s<t的条件概率密度。K1是与x无关的常数。注：由有限维分布，可以计算任何想求的条件概率。例如，求给定B给定B(t)=y时，B(s)的条件分布是正态分布，其均值和方差为习题：设B(t)是布朗运动，方差为s2，计算给定B(t)=y时，B(s)的条件分布是正态分布，其均值和方类似的，若t>s，则E(B(t)B(s))=s。再由正态分布的性质和数学归纳法得到B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。(5){B(t),t≥0}是均值函数为m(t)=0,协方差函数g(s,t)=min(s,t)高斯过程。?类似的，若t>s，则E(B(t)B(s))=s。再由正态分布下面证明B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。首先对任意t1<t2，B(t1)～N(0,t1),B(t2)~N(t2)，Cov(B(t1),B(t2))=t1，则利用正态分布的性质利用数学归纳法可以证明(B(t1),B(t2),…,B(tn))服从多元正态分布。下面证明B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。首先对任意例：设{B(t),t≥0}是标准布朗运动，1、求P(B(2)≤0)和P(B(t)≤0，t＝0,1,2)。2、求B(1)+B(2)+B(3)+B(4)的分布。3、例：设{B(t),t≥0}是标准布朗运动，解：1、由条件期望的性质由积分的变量替换公式解：1、由条件期望的性质由积分的变量替换公式2、考虑随机向量X=(B(1),B(2),B(3),B(4)),由定理7.2可知，X是多元正态分布，具有零均值和协方差矩阵令A=(1,1,1,1),则是均值为0，方差为ASA’＝30的正态分布。请同学们思考一下第3题的答案应该等于多少？2、考虑随机向量X=(B(1),B(2),B(3),B(4)Brown运动的鞅性定理{B(t)}是鞅；{B(t)2－t}是鞅；对任何实数u，是鞅。Brown运动的鞅性定理1）的证明可积性。由Brown运动的定义，B(t)~N(0,t),所以B(t)可积，且E[B(t)]=0.鞅性2）和3）的证明参见教材P1651）的证明2）和3）的证明参见教材P1652）的证明：由于E(B2(t))=t<∞，所以B(t)2可积，因此2）的证明：由于E(B2(t))=t<∞，所以B(t)2可积将上式两端同时减去t＋s,注：（2）是Brown运动的特征。若连续鞅{X(t)，t>=0}使得是连续鞅，则是brown运动。将上式两端同时减去t＋s,(3)由于B(t)~N(0,t),由正态分布的矩母函数知这说明可积，并且随机过程(十四)-布朗运动课件由于布朗运动具有独立增量性，对任何函数g(x)有，令则由于布朗运动具有独立增量性，对任何函数g(x)有，将上式两边同时乘以将上式两边同时乘以Brown运动的路径性质（1）{B(t),t≥0}是t的几乎处处连续函数；（2）在任何区间（无论区间有多小）都不是单调的；（3）几乎处处不可微；（4）在任何区间（无论区间有多小）都是无限变差的，例：在区间[0,t]上的变差（5）对任何t，在[0,t]上的二次变差等于t，即在几乎处处收敛的意义下Brown运动的路径性质（1）{B(t),t≥0}是t的几乎（3）的简要证明：由Brown运动的性质知取极限得假设B(t)是可微的，其导数为B’(t)存在，则从而与（1）式矛盾（1）（3）的简要证明：由Brown运动的性质知取极限得假设B(t（4）的证明：利用有界变差函数几乎处处可导的性质（证明参见《实变函数论》徐森林著，P319）即可得证。（4）的证明：利用有界变差函数几乎处处可导的性质（证明参见《证明(5)证明(5)取dn使得则,取dn使得则,例：求概率解：首先说明积分的存在性。由于B(t)具有连续的运动路径，即对每个w，B(t)(w)是t的几乎处处连续函数，因此Rieman积分存在。因此随机变量是有意义的。下面来求的分布。由Rieman积分的定义知，例：求概率其中每个求和项都是均值为0的正态分布，因此是均值为零的正态分布。下面计算的方差。其中每个求和项都是均值为0的正态分布，因此因此，，因此，Brown运动的击中时记Tx为标准Brown运动首次击中x的时刻，即下面计算P{Tx≤t}。1、对于x>0，若Tx≤t，则B(t)在[0,t]内的某个点击中x，由于对称性，显然有Brown运动的击中时记Tx为标准Brown运动首次击中x的因此，由全概率公式因为x>0，由Brown运动的连续性，B(t)不可能还未击中x，就大于x，因此上式的第二项为零。于是因此，由全概率公式因为x>0，由Brown运动的连续性，B(对于x<0，考虑概率P{B(t)≤x}，用同样的方法可以得到因此{T－x≤t}与{Tx≤t}的概率一样，因此对任意x，密度函数为对于x<0，考虑概率P{B(t)≤x}，用同样的方法可以得注：由击中时的分布可以得到（1）常返性，即Tx几乎必然有限。因为（2）零常返性。Tx的期望无穷大。因为Pa是起点为a的Browm运动的分布注：由击中时的分布可以得到（1）常返性，即Tx几乎必然有限。随机过程(十四)-布朗运动课件Brown运动的最大值变量B(t)在[0,t]内达到的最大值对x>0,根据Brown运动的连续性Brown运动的最大值变量B(t)在[0,t]内达到的最大值利用类似的方法，可以得到Brown运动的最小值的分布为证明做习题。利用类似的方法，可以得到Brown运动的最小值证明做习题。Brown运动的零点定义：如果时间t使得B(t)=0，则称t是Brown运动的零点。下面计算P{B(x)在区间(t1,t2)中至少有一个零点}的概率。对B(t1)取条件得Brown运动的零点定义：如果时间t使得B(t)=0，则称t如果x<0,根据Brown运动的的连续性和平稳独立增量性类似的，对于x>0,同样利用Brown运动的最小值可证如果x<0,根据Brown运动的的连续性和平稳独立增量性类似所以因此所以因此Brown运动的反正弦律定理：设{Bx,t≥0}是Brown运动，则证明：当x＝0时，由Brown运动零点的性质知当x≠0时，可类似证明，参见教材170页Brown运动的反正弦律定理：设{Bx,t≥0}是BrowBrown运动Brown运动随机游动设一个粒子在直线上做随机游动，每隔Dt时间内等可能的向左或向右移动Dx的距离。若记X(t)记时刻t粒子的位置，则其中问：要令Dt和Dx趋于零，X(t)将会具有哪些性质？随机游动设一个粒子在直线上做随机游动，每隔Dt时间内等可能的首先来看因此，首先来看因此，容易证明：（1）X(t)服从均值为0，方差为s2t的正态分布；（2）{X(t),t≥0}有独立增量（3）{X(t),t≥0}有平稳增量容易证明：Brown运动的定义随机过程{B(t),t≥0}如果满足（1）B(0)＝0；（2）{B(t),t≥0}有平稳独立增量;（3）对每个t>0，B(t)服从正态分布N(0,s2t).则称{B(t),t≥0}为布朗运动，也称为wiener过程。如果s＝1，则称为标准布朗运动。注：第(1)条并不是必须的。如果B(0)＝x，则称{B(t),t≥0}为始于x的布朗运动，记为Bx(t)。Brown运动的定义随机过程{B(t),t≥0}如果满足注：Brown运动的另一种定义Brown运动是具有如下性质的随机过程{B(t),t≥0}：（1）正态增量性：（2）独立增量性：B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u),0≤u≤s。（3）路径的连续性:B(t)是t的连续函数。Brown运动的另一种定义Brown运动是具有如下性质的随机Brown的分布性质空间齐次性Brown的分布性质空间齐次性定义：连续Markov过程的转移概率定义为在时刻s处于状态x的条件下，过程在时刻t的分布函数Brown的马氏性定义：连续Markov过程的转移概率定义为在时刻s处于状态x随机过程(十四)-布朗运动课件在Brown运动的情况下，转移概率是正态的转移概率函数满足P(y,t,x,s)=P(y,t-s,x,0)，即这个性质称为Brown运动的时间时齐性,即分布不随时间而变化.在Brown运动的情况下，转移概率是正态的转移概率函数满足P随机过程(十四)-布朗运动课件随机过程(十四)-布朗运动课件有限维分布密度有限维分布密度注：由有限维分布，可以计算任何想求的条件概率。例如，求给定B(t)=y时，B(s)，s<t的条件概率密度。K1是与x无关的常数。注：由有限维分布，可以计算任何想求的条件概率。例如，求给定B给定B(t)=y时，B(s)的条件分布是正态分布，其均值和方差为习题：设B(t)是布朗运动，方差为s2，计算给定B(t)=y时，B(s)的条件分布是正态分布，其均值和方类似的，若t>s，则E(B(t)B(s))=s。再由正态分布的性质和数学归纳法得到B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。(5){B(t),t≥0}是均值函数为m(t)=0,协方差函数g(s,t)=min(s,t)高斯过程。?类似的，若t>s，则E(B(t)B(s))=s。再由正态分布下面证明B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。首先对任意t1<t2，B(t1)～N(0,t1),B(t2)~N(t2)，Cov(B(t1),B(t2))=t1，则利用正态分布的性质利用数学归纳法可以证明(B(t1),B(t2),…,B(tn))服从多元正态分布。下面证明B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。首先对任意例：设{B(t),t≥0}是标准布朗运动，1、求P(B(2)≤0)和P(B(t)≤0，t＝0,1,2)。2、求B(1)+B(2)+B(3)+B(4)的分布。3、例：设{B(t),t≥0}是标准布朗运动，解：1、由条件期望的性质由积分的变量替换公式解：1、由条件期望的性质由积分的变量替换公式2、考虑随机向量X=(B(1),B(2),B(3),B(4)),由定理7.2可知，X是多元正态分布，具有零均值和协方差矩阵令A=(1,1,1,1),则是均值为0，方差为ASA’＝30的正态分布。请同学们思考一下第3题的答案应该等于多少？2、考虑随机向量X=(B(1),B(2),B(3),B(4)Brown运动的鞅性定理{B(t)}是鞅；{B(t)2－t}是鞅；对任何实数u，是鞅。Brown运动的鞅性定理1）的证明可积性。由Brown运动的定义，B(t)~N(0,t),所以B(t)可积，且E[B(t)]=0.鞅性2）和3）的证明参见教材P1651）的证明2）和3）的证明参见教材P1652）的证明：由于E(B2(t))=t<∞，所以B(t)2可积，因此2）的证明：由于E(B2(t))=t<∞，所以B(t)2可积将上式两端同时减去t＋s,注：（2）是Brown运动的特征。若连续鞅{X(t)，t>=0}使得是连续鞅，则是brown运动。将上式两端同时减去t＋s,(3)由于B(t)~N(0,t),由正态分布的矩母函数知这说明可积，并且随机过程(十四)-布朗运动课件由于布朗运动具有独立增量性，对任何函数g(x)有，令则由于布朗运动具有独立增量性，对任何函数g(x)有，将上式两边同时乘以将上式两边同时乘以Brown运动的路径性质（1）{B(t),t≥0}是t的几乎处处连续函数；（2）在任何区间（无论区间有多小）都不是单调的；（3）几乎处处不可微；（4）在任何区间（无论区间有多小）都是无限变差的，例：在区间[0,t]上的变差（5）对任何t，在[0,t]上的二次变差等于t，即在几乎处处收敛的意义下Brown运动的路径性质（1）{B(t),t≥0}是t的几乎（3）的简要证明：由Brown运动的性质知取极限得假设B(t)是可微的，其导数为B’(t)存在，则从而与（1）式矛盾（1）（3）的简要证明：由Brown运动的性质知取极限得假设B(t（4）的证明：利用有界变差函数几乎处处可导的性质（证明参见《实变函数论》徐森林著，P319）即可得证。（4）的证明：利用有界变差函数几乎处处可导的性质（证明参见《证明(5)证明(5)取dn使得则,取dn使得则,例：求概率解：首先说明积分的存在性。由于B(t)具有连续的运动路径，即对每个w，B(t)(w)是t的几乎处处连续函数，因此Rieman积分存在。因此随机变量是有意义的。下面来求的分布。由Rieman积分的定义知，例：求概率其中每个求和项都是均值为0的正态分布，因此是均值为零的正态分布。下面计算的方差。其中每个求和项都是均值为0的正态分布，因此因此，，因此，Brown运动的击中时记Tx为标准Brown运动首次击中x的时刻，即下面计算P{Tx≤t}。1、对于x>0，若Tx≤t，则B(t)在[0,t]内的某个点击中x，由于对称性，显然有Brown运动的击中时记Tx为标准Brown运动首次击中x的因此，由全概率公式因为x>0，由Br