任意角的三角函数课件

1.2.1任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)则:y叫α的正弦x叫α的余弦叫α的正切yOx一、任意角的三角函数的定义1:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)则:y2一、任意角的三角函数的定义2:O一、任意角的三角函数的定义2:O3三角函数的定义域:三角函数的定义域:4终边相同的角的同一三角函数值相等：公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求00到3600角的三角函数值。终边相同的角的同一三角函数值相等：公式一的作用：5三角函数的符号三角函数在各象限内的符号：oxy上正下负横为0三角函数的符号oxy上正下负横为06oxy三角函数在各象限内的符号：左负右正纵为0oxy左负右正纵为07oxy三角函数在各象限内的符号：交叉正负oxy交叉正负8yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M.|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|三角函数线——正弦线和余弦线

【思考】为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的9【定义】有向线段*带有方向的线段叫有向线段.*有向线段的大小称为它的数量.在坐标系中,规定:

有向线段的方向与坐标系的方向相同.即同向时,数量为正;反向时,数量为负.【定义】有向线段*带有方向的线段叫有向线段.*有向线段的大10yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)当角α的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定:

当线段MP与y轴同向

时,MP的方向为正向,且有正值y;

当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y.

MP=y=sinα有向线段MP叫角α的正弦线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的11yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定:

当线段OM与x轴同向

时,OM的方向为正向,且有正值x;

当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有负值x.

OM=x=cosα有向线段OM叫角α的余弦线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的12TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)T过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与α的终边或其反向延长线相交于点T.有向线段AT叫角α的正切线TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终13这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线yxTMOPα的终边A(1,0)当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余

弦线变成一个点,正切线不存

在,此时角α的正切值不存在.三角函数线的意义：方向表示三角函数值符号，长度表示三角函数值的绝对值.这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角α的14xyoxyoxyoxyoα的终边α的终边α的终边α的终边TPMPMPMPMTAATATA(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)同学们实践：

xyoxyoxyoxyoα的终边α的终边α的终边α的终边TP15例1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1）；（2）．例1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1）；（16例在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:xOy-1-111PM例题例在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:xOy-1-11117-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:18-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:19变式：写出满足条件≤cosα＜的角α的集合.xOy-1-111＜α≤≤α＜虚线变式：写出满足条件≤cosα＜20课堂练习1.已知是第三象限且，问是第几象限角？2.若θ在第四象限，试判sin(cosθ)cos(sinθ)的符号

课堂练习1.已知是第三象限且21课堂练习3.若lg(sintan)有意义，则是（）A第一象限角B第四象限角C第一象限角或第四象限角D第一或第四象限角或x轴的正半轴C4.已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos<0,sin>0,则a的取值范围是

。-2<a<3课堂练习3.若lg(sintan)有意225.利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：sinα<cosα;课堂练习5.利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：课堂231.内容总结：(1)三角函数的概念.(2)三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号(3)诱导公式一.(4)三角函数线运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想.归纳总结2.方法总结：3.体现的数学思想：1.内容总结：(1)三角函数的概念.运用了定义法、公式法241.2.1任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数25设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)则:y叫α的正弦x叫α的余弦叫α的正切yOx一、任意角的三角函数的定义1:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)则:y26一、任意角的三角函数的定义2:O一、任意角的三角函数的定义2:O27三角函数的定义域:三角函数的定义域:28终边相同的角的同一三角函数值相等：公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求00到3600角的三角函数值。终边相同的角的同一三角函数值相等：公式一的作用：29三角函数的符号三角函数在各象限内的符号：oxy上正下负横为0三角函数的符号oxy上正下负横为030oxy三角函数在各象限内的符号：左负右正纵为0oxy左负右正纵为031oxy三角函数在各象限内的符号：交叉正负oxy交叉正负32yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M.|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|三角函数线——正弦线和余弦线

【思考】为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的33【定义】有向线段*带有方向的线段叫有向线段.*有向线段的大小称为它的数量.在坐标系中,规定:

有向线段的方向与坐标系的方向相同.即同向时,数量为正;反向时,数量为负.【定义】有向线段*带有方向的线段叫有向线段.*有向线段的大34yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)当角α的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定:

当线段MP与y轴同向

时,MP的方向为正向,且有正值y;

当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y.

MP=y=sinα有向线段MP叫角α的正弦线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的35yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定:

当线段OM与x轴同向

时,OM的方向为正向,且有正值x;

当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有负值x.

OM=x=cosα有向线段OM叫角α的余弦线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的36TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)T过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与α的终边或其反向延长线相交于点T.有向线段AT叫角α的正切线TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终37这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线yxTMOPα的终边A(1,0)当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余

弦线变成一个点,正切线不存

在,此时角α的正切值不存在.三角函数线的意义：方向表示三角函数值符号，长度表示三角函数值的绝对值.这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角α的38xyoxyoxyoxyoα的终边α的终边α的终边α的终边TPMPMPMPMTAATATA(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)同学们实践：

xyoxyoxyoxyoα的终边α的终边α的终边α的终边TP39例1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1）；（2）．例1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1）；（40例在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:xOy-1-111PM例题例在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:xOy-1-11141-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:42-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:43变式：写出满足条件≤cosα＜的角α的集合.xOy-1-111＜α≤≤α＜虚线变式：写