第一节定积分的概念与性质 powerpoint 演示文稿

第一节定积分的概念与性质二、定积分的概念一、定积分问题实例分析三、定积分的性质四、小结定积分是积分学的又一个重要概念，它在物理、力学、经济学等各学科中都有广泛的应用。下面我们通过几个典型事例引入定积分的概念

一、定积分问题实例分析1．曲边梯形的面积设在区间上非负且连续，由曲线及直线和所围成的平面图形（如图6-1）称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边，x轴上对应区间的线段称为底边。

abxyo图6-1

如果把区间划分为许多小区间，在每个小区间上用其中某一点处的高来近似代替同一个小区间上的窄曲边梯形的变动的高，那么，每个窄曲边梯形的面积就可近似的看作这样得到的窄矩形。基于这一事实，我们通过如下的步骤来计算曲边梯形的面积：近似作和逼近分割

第一步：分割.在区间内任意插入n-1个分点：,把区间分割成n个小区间。相应的把曲边梯形分割成n个窄曲边梯形。xyO图6-1第二步：近似.即“以直代曲”，在小区间上任取一点，以为高，以为底的小矩形面积作为窄曲边梯形面积的近似值，从而在上以直线代替曲线，有

第三步：作和.把所有小矩形面积相加，得整个曲边梯形面积A的近似值，即

第四步：逼近.显然，随着区间内的分点不断增加，第三步所的近似值的精确度将不断提高，并不断逼近面积的精确值。记最大的小区间长度为，即并令取上述和式极限，就得到了曲边梯形的面积

2．变力沿直线做功设质点m在一个与Ox轴平行，大小为F的力作用下，沿Ox轴从点x=a移动到点x=b,求该力所作的功。

问题的困难在于质点在不同位置上，所受到的力大小不同，类似于曲边梯形面积的分析，采取以下步骤：

近似作和逼近分割

第二步：近似.即“以不变代变”，在小区间上任取一点，以该点处的力代替小区间上的变力，则区间上所作的功有近似值第一步：分割.在区间内任意插入n-1个分点：

,把区间分割成n个小区间。小区间的长度分别记为第三步：作和.在区间上所作的功W的近似值是所有小区间上所做功的近似值之和，即

第四步：逼近.让区间内的分点不断增加，令最大的小区间长度为则上述和式极限，就是变力使质点m从点x=a移到点x=b所作的功。

二、定积分的概念

上面两个问题，一个是面积问题，一个是做功问题，具体内容虽然不同，但是描述这两个量的数学模型是完全一样的，都是“和式”的极限。可以用这一方法描述的量在各个科学技术领域中是很广泛的，抛开这些问题的具体意义，抓住他们在数量关系上共同的特性与本质加以概括，我们可以抽象出下述定积分的定义。

定义设为定义在区间上的有界函数，在中任意插入n-1个分点：，将区间分为n个小区间，小区间的长度分别记为，在小区间上任取一点，作和式若当时，上述和式极限存在，且与区间的分法无关，与的取法无关，则称此极限为函数在区间上的定积分，记为，即

其中，x称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分区间，a为积分下限，b为积分上限。利用定积分的定义，前面所讨论的两个实际问题分别表述如下：

定积分是一种和式的极限，其值是一个实数，其大小与被积函数和积分区间有关，而与积分变量的记号无关，如，，等都表示同一个定积分，这是因为和式中变量采用什么记号与其极限无关。

对于定积分的定义，还应注意以下几点：(2)定积分的几何意义若在上，则的值表示以为曲边，与直线x=a,x=b,y=0所围曲边梯形的面积（如图6-2）。

abOxy图6-2abOxy图6-3若在上，则为负值，如图6-3，其绝对值是以为曲边，与直线x=a,x=b,y=0所围曲边梯形的面积。

若在上有正有负，则的值表示由，x=a,x=b和y=0所围图形在x轴上方的面积减去x轴下方的面积所得之差（图6-4)。yabOx图6-4(3)定义中规定a<b这一限制，对定积分的应用带来不便，如变力把质点m从点a移动到点b是作正功，则从点b移动到点a是作负功。由此，我们补充规定：当b<a时，当b=a时，

(4)如果函数在区间上的定积分存在，即和式极限存在，就说在区间上是可积的。怎样的函数才可积呢？要求和式极限存在，且与的分法无关，与的取法无关，这样一个和式极限问题比一般极限要复杂得多。这里仅指出：(i)在区间上有界是在区间上可积的必要条件；(ii)在区间上连续是在区间上可积的充分条件；在区间上只有有限个间断点的有界函数是在区间上可积的充分条件；

证由定积分的定义，是常数，积分和式

所以

特别的，当A=1时，。例1试证明，其中A为常数。例2利用定积分的定义计算定积分解因为被积函数在积分区间上连续，而连续函数一定可积，所以定积分的值与区间的分法及点的取法无关，因此，为了便于计算，不妨把区间分为n等份，这样，每个小区间的长为，分点为，取，由此得到积分和式当，即时(现在)，上式两端取极限即得例3由定积分的几何意义，求解由于在区间上，(见图6-5)，因此按定积分的几何意义，该定积分表示由“曲边”y=x-2和直线x=0,y=0所围图形面积的负值，该图形是底为2，高为2的直角三角形形，其面积为，故图6-5-22三、定积分的性质按定积分的定义，即通过积分和的极限求定积分是十分困难的，必须寻求定积分的有效计算方法，下面介绍的定积分的基本性质有助于定积分的计算，也有助于对定积分的理解。假定函数在所讨论的区间上可积，则有性质1(k为常数)性质2性质3对任意实数c证由，得根据极限的性质，必有

故.

只需令，利用性质4及性质2即可得证.性质5设a<b且在区间上，则性质4若a<b且在区间上，则证

由，利用性质5得即.

性质7(定积分中值定理)设在闭区间上连续，则在区间上至少存在一点，使得性质6证

由闭区间上连续函数的最大之和最小值定理，存在数M和m,使根据性质5和例1，有

即或可见数介于m和M之间，根据闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间上至少存在一点，使，即

，

定积分的这些性质，由定积分的几何意义去理解，都是比较直观的，如定积分中值定理在几何上表示这样一个简单的事实：以连续曲线为曲边的曲边梯形面积，等于以为高、为底的矩形的面积，如图6-6。称为连续函数在区间上的平均值。

yabOx6-6或

例4图5-7中，阴影部分为以原点为圆心以R为半径的半圆，试用定积分表示，并计算。yx图6-7解阴影部分的面积是圆在x轴以上的部分，曲边由定积分的几何意义及性质2，图中阴影部分的面积A与半圆的面积相等故例5试比较与大小.解由幂函数性质可知，当时，