高一数学人教新课标必修2第二章点 线 面的关系微课程

4/44/44/4高一数学人教新课标必修2第二章点、线、面之间的关系课程目标：一、考点突破1.了解平面的根本性质与推论,并能运用这些公理及推论去解决有关问题；2.能认识和理解空间平行线的传递性,能归纳出直线和平面平行及平面和平面平行的判定定理。3.掌握直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理和性质定理,并能利用这些定理解决空间中的平行关系问题。4.掌握直线与直线、直线与平面垂直的定义及直线与平面垂直的判定定理,平面与平面垂直的判定定理与性质。5.培养学生的空间想象能力,转化及类比的数学思想。二、重难点提示重点：平面的根本性质、公理及直线与平面的位置关系。难点：异面直线的判定与垂直证明。知识梳理：微课程1：平面的根本性质及其推论【考点精讲】1.平面的根本性质〔1〕公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。〔2〕公理2：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。〔3〕公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。推论1：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面。2.直线与直线的位置关系〔1〕位置关系的分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内))〔2〕异面直线所成的角①定义：设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角〔或夹角〕。②范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))。【典例精析】例题1正方体ABCD－A1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点,那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是〔〕A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形思路导航：过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的每个面有交线。如下图,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB的延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE、RE为截面的局部外形。同理,连PQ并延长交CD的延长线于N,连接NG交DD1于F,连接QF,FG。∴截面为六边形PQFGRE。答案：D例题2以下如下图是正方体和正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,那么四个点共面的图形是________。思路导航：在④图中,可证Q点所在棱与面PRS平行,因此,P、Q、R、S四点不共面。可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如以下图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形,且PMQNRS为正六边形。答案：①②③例题3如果两条异面直线称为“一对〞,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线〔〕A.12对 B.24对C.36对 D.48对思路导航：如下图,与AB异面的直线有B1C1；CC1,A1D1,DD1四条,因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱,排除两棱的重复计算,共有异面直线eq\f(12×4,2)＝24〔对〕。答案：B随堂练习：以下说法正确的选项是〔〕A.空间不同的3点确定一个平面B.有3个公共点的两个平面比重合C.空间两两相交的三条直线确定一个平面D.三角形是平面图形思路导航：由根本性质可知,不共线的三点才能确定一个平面,所以A、B均错,B中可能出现两平面只有一条公共线〔当这3个公共点共线时〕。空间两两相交的3条直线有3个交点或一个交点,假设为3个交点,那么这3线共面,假设只有一个交点,那么可能确定一个平面或三个平面,所以C错。应选择D答案。答案：D【总结提升】三个公理的作用：〔1〕公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内。〔2〕公理2的作用：①确定平面；②证明点、线共面问题。〔3〕公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线。微课程2：空间中平行关系及简单应用【考点精讲】1.直线和平面平行的判定〔1〕定义：直线和平面没有公共点,那么称直线平行于平面；〔2〕判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行〔即线线平行,那么线面平行〕。符号表示：∥,那么∥；〔3〕其他判定方法：α∥β；a∥α,那么a∥β。2.直线和平面平行的性质定理：a∥α,aβ,α∩β＝l,那么a∥l。3.两个平面平行的判定〔1〕定义：两个平面没有公共点,那么称这两个平面平行；〔2〕判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。符号表示：aα,bα,a∩b＝M,且a∥β,b∥β,那么α∥β；〔3〕推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行。符号表示：a∩b＝M,a,bα,a′∩b′＝M′,a′,b′β,a∥a′,b∥b′,那么α∥β。4.两个平面平行的性质定理〔1〕如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任一直线均平行于另一个平面。符号表示：α∥β,aα,那么a∥β；〔2〕如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。符号表示：α∥β,γ∩α＝a,γ∩β＝b,那么a∥b。【典例精析】例题1下面命题中正确的选项是〔〕①假设一个平面内有两条直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行；②假设一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行；③假设一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行；④假设一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行。A.①③B.②④C.②③④D.③④思路导航：①②中两个平面可以相交,③是两个平面平行的定义,④是两个平面平行的判定定理。答案：D例题2如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为平行四边形,O为AC的中点,M为PD的中点。求证：PB∥平面ACM。思路导航：连接MO,证明PB∥MO即可。答案：证明：连接BD,MO。在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点。又M为PD的中点,所以PB∥MO。因为PB平面ACM,MO平面ACM,所以PB∥平面ACM。例题3如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M、N、P分别为所在边的中点。求证：平面MNP∥平面A1C1B。思路导航：证明MN∥A1B,MP∥C1B即可。答案：证明：连接D1C,那么MN为△DD1C的中位线,∴MN∥D1C。又∵D1C∥A1B,∴MN∥A1B。同理,MP∥C1B。而MN与MP相交,MN,MP在平面MNP内,A1B,C1B在平面A1C1B内。∴平面MNP∥平面A1C1B。【总结提升】1.判定直线与平面平行的方法：〔1〕利用定义,证明直线与平面没有公共点,这一点直接证明是很困难的,往往借助于反证法；〔2〕利用直线和平面平行的判定定理,一定要说明“平面外一条直线和平面内的一条直线平行〞；〔3〕利用面面平行的性质来证明。2.转化思想：把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过直线的平面与平面相交,那么直线与交线平行。3.证明线线平行的方法：〔1〕利用线线平行的定义,证明线线共面且无公共点；〔2〕利用三线平行公理：证明两线同时平行于第三条直线；〔3〕利用线面平行的性质定理。4.两个平面平行的判定方法：〔1〕根据定义,证明两个平面没有公共点,这一点直接证明是很困难的,往往借助于反证法；〔2〕根据判定定理；〔3〕平行于同一个平面的两个平面平行。微课程3：空间中垂直关系及简单应用【考点精讲】1.直线与平面垂直〔1〕定义：如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意直线都垂直,那么称这条直线和这个平面互相垂直。〔2〕判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线就垂直于这个平面〔简言之：线线垂直,那么线面垂直〕。〔3〕性质：一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于该平面内的所有直线；推论1：如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面；推论2：①如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行；②垂直于同一直线的两个平面平行。2.平面与平面垂直〔1〕定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又知两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,那么称这两个平面垂直。〔2〕判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直〔即线面垂直,那么面面垂直〕。〔3〕两个平面垂直的性质：①如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；②如果两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两相交平面的交线垂直于第三个平面。【典例精析】例题1如图,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,那么图中直角三角形的个数为________。思路导航：由线面垂直可知,图中直角三角形的个数为4个。Rt△PAB,Rt△PAC,Rt△ACB,Rt△PCB。答案：4例题2如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC＝45°,AD＝AC＝1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD。证明：AD⊥平面PAC。思路导航：需证明AD⊥AC,再利用线面垂直的判定定理证明即可。答案：证明：∵∠ADC＝45°,且AD＝AC＝1。∴∠DAC＝90°,即AD⊥AC,又PO⊥平面ABCD,AD平面ABCD,∴PO⊥AD,而AC∩PO＝O,∴AD⊥平面PAC。例题3如下图,在四棱锥P－ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,BD＝2AD＝8,AB＝2DC＝4eq\r(5)。M是PC上的一点。证明：平面MBD⊥平面PAD。思路导航：证明BD⊥平面PAD,根据平面PAD⊥平面ABCD,只要证明BD⊥AD即可。答案：证明：在△ABD中,由于AD＝4,BD＝8,AB＝4eq\r(5),所以AD2＋BD2＝AB2。故AD⊥BD。又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,BD平面ABCD,所以BD⊥平面PAD。又BD平面MBD,故平面MBD⊥平面PAD。【总结提升】〔1〕证明线面垂直的方法①线面垂直的定义：与α内任何直线都垂直⇒⊥α；②判定定理1：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\