大物课件-01力和运动

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《大物课件-01力和运动》

简介:

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研究机械运动的规律运动学: 如何描述机械运动动力学:机械运动的内在规律静力学:研究作用在物体上力的平衡条件(工程力学)思路:质点质点系刚体(特殊质点系)突出矢量性、瞬时性、叠加性和相对性广泛采用矢量代数和微积分平动滚动转动车身:车轮:方向盘:……§1-1

质点运动的描述模型化理想模型一、质点质点:只具有质量,大小和形状可以忽略的几何点----理想模型(1)物体自身线度与其活动范围相比小得多时可视为质点非质点质点地球上的人看地球地球绕太阳公转地球r

~

107

m~

1011

m地球轨道r人l

~

100

m(2)物体作平动运动时可视为质点物体上任一点都可以代表物体的运动二、参考系车厢的人:垂直下落地面上的人:抛物运动孰是孰非?----运动的描述是相对的参考系:为描述物体运动而选用的标准物体或物体系(认为其

)(1)直角坐标系:(x,y,z)0xP(x,

y,

z)j

ikz坐标系:y(2)平面极坐标系0xP(r,

)沿逆时针方向的为正r(t)Ox:极轴r:极径

:辐角(

r,

)s(3)自然坐标系:0s(t)et:切向单位矢量en:法向单位矢量etendtde

 0tet

0enPdi dt三、位矢r

OP

xi

yj

zkcos

x

,

cos

y

,

cos

z r

r

r2x2

y2

zr

rxyP(x,

y,

z)0

iz

kj

rr

OP位矢: 矢量形式: r

(t)

x(t)i

y(t)

j 

z(t)k

y

y(t)

z

z(t)分量形式:

x

x(t)轨迹:质点在空间所经过的路径----消去 t

可得轨迹方程四、 运动学方程运动方程:表示运动过程的函数五、位移位移:质点一段时间内位置的改变BrBrxyAzrA0

r

AB

rB

rA

(xBi

yB

j

zBk

)

(xAi

yA

j

zAk

)

(xB

xA

)i

(

yB

yA

)

j

(zB

zA

)k

xi

yj

zk区分Δ

rrΔorB位置矢量的径向增量,反映的长度和 的长度相差多少rBrA位移的大小Δ

rrArABrBrA0路程:路径长度

s(1) 一般情况

sr(3)极限情况dr

ds(2)单方向直线运动时有

srs:----标量六、速度rv

t平均:t

i

t

j

t

kx

y

z

x

y

z

v

i

v

j

v

k方向:r

的方向BrrB

(t

t)xyAzrA

(t)0r

xi

yj 

zk瞬时:rtt0dzdt

dt

dtdx

dyi

j

kv

dtdrv

lim



vxi

vy

j

vz

krrB

(t

t)ArA

(t)01

BB2B3B4B5B6B大小:方向: dr的方向 ----轨道切线方向v

2

v

2

v

2x

y

zv

v

用自然坐标表示: v

vetr

xi

yj

zkdtd

(r

)(1)速率:速度的大小:dtv

v

drds dtrB

(t

t)0rA

(t)r

Brdtdtdrv

dr

(2)一般地dr

dsd

t

Ad

rd

r

dt?径向速度七、加速度rB

(t

t)xzrA

(t)0y

v

(t)A

B

v(t

t)v

(t)vv(t

t)ta



v(t

t)

v(t)v

t平均:t

0

tdtdt

22



v

dv

d

ra

lim

瞬时:drv

dt

v

vxi

vy

j

vz

k

r

xi

yj

zka

2

a

2

a

2x

y

za

a

大小: dt

dt

dtdvzdvy

dvx

a

i

j

kd

2

z

d

2

y

dt

2

dt

2

dt

2d

2

x

i

j

k

axi

ay

j

az

k方向:dv方向,一 般与速度 的方向不同

dva

dt

a与方向?是否一致vgv远日点gvvvvvv近日点v加速度与速度的夹角小于900,速率增大。加速度与速度的夹角大于90,速率减小。加速度与速度的夹角等于90,速率不变。vrrdtdrv

d

rdt

dt

2dv2

a

物理量注意:容易出错的地方r

xi

yj

(

m

)r

xi

yj

zkr

xi

yj

zkd

()rdtv

r

(6,11)dtxv



dxv

drdtr

6i

11

jxvdt

dxr

xi

yj

(m)

[例1]已知质点运动方程为r

R(1

2

cost)i

R

sintj(R为常数)。求(1)质点的轨道方程;(2) 2秒末的速度和加速度;(3)证明

va解:(1)运动方程的分量形式为

x

R(1

2

cost)y

R

sint消去t

得轨道方程2(x

R

)2

y2

R2----轨道半径为R的圆周,圆心(R/2,0)(2)

v

dr

dt

R

sinti

R

costja

dv

dt







2

R

costi



2

Rsintj

vt

2

Rja2



Rit

2x

R(1

2

cost)y

Rsintr

R(1

2

cost)i

R

sintj(3)两矢量相互垂直时应有v

a

0

v

a

(R

sinti

R

costj

)22

ti



R

sintj)

(

R

cos

0va得证v

R

sin

ti

R

costj2

2a



R

costi



R

sin

tj[例2]质点在xOy平面内的运动方程为 x=2t,y=19-2t2。求(1)任意时刻的位矢r

、速度 和加速度a;(2)t: 01s和12s两时段的平均速度;(3)写出轨道方程;(4)什么时刻,质点的位矢和速度恰好垂直解:2(1)

r

2ti

(19

2t

)

jdr dt

2i

4tjv



a

dv

dt

4

j

(2)

r

rt

t

rt

2(t

t)i [192

2r

2ti

(19

2t

)

j[2ti

(19

2t

)

j]t

2ti

(4tt

2t

2

)

j

r

2i

(4t

2t)

jv

01s12sv

2i

2jv

2i

6

jtv

r(3)消去t:t

x

2

y

19

2(x

2)2

19

x2r

v

0(4)令即4t

4t(19

2t

2

)

0[2ti

(19

2t2

)

j](2i

4tj)

0解得t1

0st2

3st3

3s

(舍去)x

2t

y 

19

2t

22

----抛物线v

2i

4tj2r

2ti

(19

2t

)

j[例3]如图,长为l的细棒,在竖直平面内沿墙角下滑,上端A下滑速度为匀速v。当下端B离墙角距离为x (x<l)时,B端水平速度和加速度多大?的lyxyOAx

B解:建立坐标系设A端离地高度为yx2



y2

l

2

0dtdy

2

ydtdx方程两边对t求导

2xxvxl

2

x2

dx

y

dy

y

vdt

x

dt加速度vdt

2d

2

x

x

dy

dt

y

dx

dtx222

l

vx3x2

y2

l

2lyxyOAx

B八、运动学的两类问题及解题方法已知r

r

(t

),求 r、

和 a ---- 微分问题

已知a

a(t

)和 初始条件(t = t

0时 r0和0)求 、r和r

---- 积分问题

t



t

r

r

2

r

1;

adt

dt

dt

2

dr

d

d

2r0x位矢:1Px12P2

x运动方程: x

x(t)r

(t)

x(t)i

y(t)

j

z(t)k

y

y(t)

z

z(t)

x

x(t)r

xi

yj

zkr

xix

x1x

x2

一维运动(直线运动):1、运动量为 t

的函数的两类问题(1)已知 x

x(t) , 求速度和加速度----微分问题速度dtv

dxdta

dv加速度

dx

dy

dz

v

i

j

k dt

dt

dt(2)已知加速度a=a(t)和初始条件,求速----积分问题度、位移和运动方程

a

dvtvvdtdv

0a(t)dt0t0v

v0

a(t)dt匀加速时(a为常数)v

v0

at得初始条件v

dxdx

v(t)dt又dttxxdx

0v(t)dt0tx

x

00v(t)dt匀加速时tx

x

000(v

at)dt221

x

x0

v0t

at即v

v0

at2、运动量非

t

的函数问题----分离变量方法(1)已知 a=a(x),求 v(x)a(x)

dv

dv

dx

v

dvxxvv00a(x)dxxx0a(x)dx

220v2

vdt

dx

dt

dx

vdv

即匀加速时v2

v

2

2a(x

x

)0

0(2)已知 v=v(x) ,求 x(t)

v(x)

dxdtxtdt

x0

dx

v(x)0xt

x0

dx

v(x)匀速时x

x0

vt[例1]质点沿

x

轴作直线运动,加速度 a=2t。t =0时,x=1,v=0,求任意时刻质点的速度和位置解:

a

dv

2ttvdv

002tdtdtv

t

2得2dtdx

t

x

t

dx

t

2dt01即 可得31x

1

t3初始条件: t

=0时,x=1,v=0[例2]质点沿x轴作直线运动,速度 v=1+2x,初始时刻质点位于原点,求质点的位置和加速度解:

v

dx1

2xtxdtdt

dx

00

1

2x1

ln(1

2x)

t22

x

1

(e2t

1)dt

22t2e2a

d

x

初始条件,t=0, x=0dxdxxvvdt

dtvdv

mxdx00得22022121)

mx(v

v0v

v

2

mx2[例3]质点沿x轴正向作直线运动,加速度a=-mx(m为正常数)。t=0时, x=0, v =v0,在什么位置质点停止运动?解: 初始条件: t=0时, x=0, v

=v0

a 

dv

dv

dx

v

dv

mxm质点停止运动时v

0

x

v0m(

x

v0舍去)0v

v

2

mx2一质点具有恒定加速度,在

t

0a

6i

4

j时,其速度为零,位置矢量

r0

10i求:任意时刻质点的速度和位置矢量解:dt

dt

dtyxyxdv

dv

dv

i

j

a

i

a

ja



dtdvdtdva

ay

y

xxx

xay

dt

dvya

dt

dvv

0,

r0

10i初始条件:t=0,

vytxxtdvya dt

dva

dt

yvx0

000vtxdvy0

0vx00

4dt

dvyt6dt

vy

4tvx

6tv

6ti

4tjdtdt dyv

dxvy

xvy

dt

dyvx

dt

dxdxdyv

dt

v dt

yytxxt

0

0100

10i

)(t

0,

rdxdyytx00104tdt

t6tdt

0y

2t

2x

3t

2

10r

(3t

2

10)i

2t

2

j分析题意,确定属于I类还是II类问题建立坐标系,确定各矢量的正方向,把题意转化为代数 方程组求解方程组,得到待求量的文字表达式,代入数字 计算对结果进行

和分析dt

dt

dv微分运算:

dr

, av分离变量初始条件积分运算运动学的解题方法vx

v0

cos0v0yv0

xv0

ygv

v0

atv)

j1.速度矢量形式即j

v0

gtvxgtv0§

1-2抛体运动dr

v

dtt

021



tr

0

vdtt00

gt)dt(v

0xv0yv0

x

v0

ygv2.运动方程或x

v0

cos

t21y

v0sin

t

2

gt

v

v0

gt)

j02y

v0t

1gt2初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的

落体运动的叠加----归结为直线运动的叠加0t21

021

如猎人与猴子的演示12gt2220x22vgcos

由vy=0有(2)射高2gv

2

sin

2

ym

0

y

x

tg

:gt

v0

sin

gv

2

sin

2xm

0

x

v0

cos

t2012gty

v

sin

t

3.轨迹方程消t(1)射程

由y

=0得得

运动方程:

S

S(t)

速度:t

e§1-3

圆周运动和一般曲线运动tdsdt

e

加速度:dttdttdetdtdta

d

d

e

d

e

=?切向加速度和法向加速度R0S(deten

det

'R0t大小:det

方向:enetdt

dete

'



P

et

vs

R

en

endt

dt

Rd

vta

ddv

v2

a

et dt



anen

en

a

eR

t

t

2dt

--

切向加速度

an

R

--

法向加速度en

at

et

anendt

Rdv

v2

et

a



dv

deta

e

v

dt

t

dtaR0etnaendta大小22a

at

an





R

v2

2

dt



dv

2an方向 

arctg

at----与法向夹角detv



endt

R:速度大小的变化引起切向加速度速度方向的变化引起法向加速度变速圆周运动,a的方向不指向圆心 (3)匀速圆周运动

at

0a

anen----指向圆心2

dv

det

dv

v

a

et

v

et

endt

dt

dt

RanR0te

anedta

tt

t

B

A

O角位移角速度tt

0dt

lim



d角加速度tt

0dtdt

2

lim



d

d

2xv

dxdtdv

d

2

xa

dt

dt

2

(t)圆周运动的角量描述1.

角量角位置 运动方程dttR2.线量与角量关系ds

RdxOdsRddta

dv

R

d

R2an

Rdtv2

2et

endt

Ra

dv

v

dtv

ds

R

d

R

0



t

0

t20

012

t0202

2







t



v2

v2

2a(x

x

)0

020

02v

v0

at1atx

x

v

t

x

x0

v

t匀变速直线运动3.用角量表示圆周运动匀速直线运动

匀速圆周运动匀变速圆周运动dt

ddt

dv

dxdta

dvdtP12P

2

de

e dt

t

na

atet

anen

:an

指向瞬时曲率中心a总是指向曲线凹侧1

01220

一般曲线运动

----曲率半径0

----瞬时曲率中心曲率圆[例1]一质点作半径R=1m的圆周运动,其角位置

= t 2+1(rad),t以秒计。问多大时,其切向加速度大小是总加速度大小的1/2?d

22解:at

R

R

2

msdt

2n2a

Rdt2

(

)

Rd2

(2t)

R

4t

2

ms22a22

(4t

2

)2

t

a21可得4t

43

0.931

s

t

2

1

(0.931)2

1

1.867

rada


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