大物课件-01力和运动

研究机械运动的规律运动学:如何描述机械运动动力学：机械运动的内在规律静力学：研究作用在物体上力的平衡条件(工程力学)思路：质点质点系刚体（特殊质点系）突出矢量性、瞬时性、叠加性和相对性广泛采用矢量代数和微积分平动滚动转动车身:车轮:方向盘:……§1-1

质点运动的描述模型化理想模型一、质点质点：只具有质量,大小和形状可以忽略的几何点----理想模型(1)物体自身线度与其活动范围相比小得多时可视为质点非质点质点地球上的人看地球地球绕太阳公转地球r

~

107

m~

1011

m地球轨道r人l

~

100

m(2)物体作平动运动时可视为质点物体上任一点都可以代表物体的运动二、参考系车厢的人：垂直下落地面上的人：抛物运动孰是孰非？----运动的描述是相对的参考系：为描述物体运动而选用的标准物体或物体系(认为其

)(1)直角坐标系：(x,y,z)0xP(x,

y,

z)j

ikz坐标系：y(2)平面极坐标系0xP(r,

)沿逆时针方向的为正r(t)Ox：极轴r：极径

：辐角(

r,

)s(3)自然坐标系：0s(t)et:切向单位矢量en:法向单位矢量etendtde

0tet

0enPdidt三、位矢r

OP

xi

yj

zkcos

x

,

cos

y

,

cos

zr

r

r2x2

y2

zr

rxyP(x,

y,

z)0

iz

kj

rr

OP位矢：矢量形式：r

(t)

x(t)i

y(t)

j

z(t)k

y

y(t)

z

z(t)分量形式：

x

x(t)轨迹：质点在空间所经过的路径----消去t

可得轨迹方程四、运动学方程运动方程：表示运动过程的函数五、位移位移：质点一段时间内位置的改变BrBrxyAzrA0

r

AB

rB

rA

(xBi

yB

j

zBk

)

(xAi

yA

j

zAk

)

(xB

xA

)i

(

yB

yA

)

j

(zB

zA

)k

xi

yj

zk区分Δ

rrΔorB位置矢量的径向增量，反映的长度和 的长度相差多少rBrA位移的大小Δ

rrArABrBrA0路程：路径长度

s(1)一般情况

sr(3)极限情况dr

ds(2)单方向直线运动时有

srs：----标量六、速度rv

t平均：t

i

t

j

t

kx

y

z

x

y

z

v

i

v

j

v

k方向：r

的方向BrrB

(t

t)xyAzrA

(t)0r

xi

yj

zk瞬时：rtt0dzdt

dt

dtdx

dyi

j

kv

dtdrv

lim

vxi

vy

j

vz

krrB

(t

t)ArA

(t)01

BB2B3B4B5B6B大小：方向：dr的方向----轨道切线方向v

2

v

2

v

2x

y

zv

v

用自然坐标表示：v

vetr

xi

yj

zkdtd

(r

)(1)速率：速度的大小：dtv

v

drdsdtrB

(t

t)0rA

(t)r

Brdtdtdrv

dr

(2)一般地dr

dsd

t

Ad

rd

r

dt？径向速度七、加速度rB

(t

t)xzrA

(t)0y

v

(t)A

B

v(t

t)v

(t)vv(t

t)ta

v(t

t)

v(t)v

t平均：t

0

tdtdt

22

v

dv

d

ra

lim

瞬时：drv

dt

v

vxi

vy

j

vz

k

r

xi

yj

zka

2

a

2

a

2x

y

za

a

大小：dt

dt

dtdvzdvy

dvx

a

i

j

kd

2

z

d

2

y

dt

2

dt

2

dt

2d

2

x

i

j

k

axi

ay

j

az

k方向：dv方向，一般与速度的方向不同

dva

dt

a与方向？是否一致vgv远日点gvvvvvv近日点v加速度与速度的夹角小于900，速率增大。加速度与速度的夹角大于90，速率减小。加速度与速度的夹角等于90，速率不变。vrrdtdrv

d

rdt

dt

2dv2

a

物理量注意：容易出错的地方r

xi

yj

(

m

)r

xi

yj

zkr

xi

yj

zkd

()rdtv

r

(6,11)dtxv

dxv

drdtr

6i

11

jxvdt

dxr

xi

yj

(m)

[例1]已知质点运动方程为r

R(1

2

cost)i

R

sintj(R为常数)。求(1)质点的轨道方程；(2)2秒末的速度和加速度；(3)证明

va解：(1)运动方程的分量形式为

x

R(1

2

cost)y

R

sint消去t

得轨道方程2(x

R

)2

y2

R2----轨道半径为R的圆周，圆心(R/2,0)(2)

v

dr

dt

R

sinti

R

costja

dv

dt

2

R

costi

2

Rsintj

vt

2

Rja2

Rit

2x

R(1

2

cost)y

Rsintr

R(1

2

cost)i

R

sintj(3)两矢量相互垂直时应有v

a

0

v

a

(R

sinti

R

costj

)22

ti

R

sintj)

(

R

cos

0va得证v

R

sin

ti

R

costj2

2a

R

costi

R

sin

tj[例2]质点在xOy平面内的运动方程为x=2t，y=19-2t2。求(1)任意时刻的位矢r

、速度和加速度a；(2)t:01s和12s两时段的平均速度；(3)写出轨道方程；(4)什么时刻，质点的位矢和速度恰好垂直解：2(1)

r

2ti

(19

2t

)

jdr dt

2i

4tjv

a

dv

dt

4

j

(2)

r

rt

t

rt

2(t

t)i[192

2r

2ti

(19

2t

)

j[2ti

(19

2t

)

j]t

2ti

(4tt

2t

2

)

j

r

2i

(4t

2t)

jv

01s12sv

2i

2jv

2i

6

jtv

r(3)消去t：t

x

2

y

19

2(x

2)2

19

x2r

v

0(4)令即4t

4t(19

2t

2

)

0[2ti

(19

2t2

)

j](2i

4tj)

0解得t1

0st2

3st3

3s

(舍去)x

2t

y

19

2t

22

----抛物线v

2i

4tj2r

2ti

(19

2t

)

j[例3]如图，长为l的细棒，在竖直平面内沿墙角下滑,上端A下滑速度为匀速v。当下端B离墙角距离为x(x<l)时，B端水平速度和加速度多大?的lyxyOAx

B解：建立坐标系设A端离地高度为yx2

y2

l

2

0dtdy

2

ydtdx方程两边对t求导

2xxvxl

2

x2

dx

y

dy

y

vdt

x

dt加速度vdt

2d

2

x

x

dy

dt

y

dx

dtx222

l

vx3x2

y2

l

2lyxyOAx

B八、运动学的两类问题及解题方法已知r

r

(t

)，求r、

和a----微分问题

已知a

a(t

)和初始条件（t=t

0时r0和0）求、r和r

----积分问题

t

t

r

r

2

r

1;

adt

dt

dt

2

dr

d

d

2r0x位矢：1Px12P2

x运动方程：x

x(t)r

(t)

x(t)i

y(t)

j

z(t)k

y

y(t)

z

z(t)

x

x(t)r

xi

yj

zkr

xix

x1x

x2

一维运动(直线运动)：1、运动量为t

的函数的两类问题(1)已知x

x(t),求速度和加速度----微分问题速度dtv

dxdta

dv加速度

dx

dy

dz

v

i

j

kdt

dt

dt(2)已知加速度a=a(t)和初始条件，求速----积分问题度、位移和运动方程

a

dvtvvdtdv

0a(t)dt0t0v

v0

a(t)dt匀加速时(a为常数)v

v0

at得初始条件v

dxdx

v(t)dt又dttxxdx

0v(t)dt0tx

x

00v(t)dt匀加速时tx

x

000(v

at)dt221

x

x0

v0t

at即v

v0

at2、运动量非

t

的函数问题----分离变量方法（1）已知a=a(x)，求v(x)a(x)

dv

dv

dx

v

dvxxvv00a(x)dxxx0a(x)dx

220v2

vdt

dx

dt

dx

vdv

即匀加速时v2

v

2

2a(x

x

)0

0（2）已知v=v(x)，求x(t)

v(x)

dxdtxtdt

x0

dx

v(x)0xt

x0

dx

v(x)匀速时x

x0

vt[例1]质点沿

x

轴作直线运动，加速度a=2t。t=0时，x=1，v=0，求任意时刻质点的速度和位置解：

a

dv

2ttvdv

002tdtdtv

t

2得2dtdx

t

x

t

dx

t

2dt01即可得31x

1

t3初始条件：t

=0时，x=1，v=0[例2]质点沿x轴作直线运动，速度v=1+2x，初始时刻质点位于原点，求质点的位置和加速度解：

v

dx1

2xtxdtdt

dx

00

1

2x1

ln(1

2x)

t22

x

1

(e2t

1)dt

22t2e2a

d

x

初始条件，t=0,x=0dxdxxvvdt

dtvdv

mxdx00得22022121)

mx(v

v0v

v

2

mx2[例3]质点沿x轴正向作直线运动，加速度a=-mx(m为正常数)。t=0时,x=0,v=v0，在什么位置质点停止运动?解：初始条件：t=0时,x=0,v

=v0

a

dv

dv

dx

v

dv

mxm质点停止运动时v

0

x

v0m(

x

v0舍去)0v

v

2

mx2一质点具有恒定加速度，在

t

0a

6i

4

j时，其速度为零，位置矢量

r0

10i求：任意时刻质点的速度和位置矢量解：dt

dt

dtyxyxdv

dv

dv

i

j

a

i

a

ja

dtdvdtdva

ay

y

xxx

xay

dt

dvya

dt

dvv

0,

r0

10i初始条件：t=0,

vytxxtdvya dt

dva

dt

yvx0

000vtxdvy0

0vx00

4dt

dvyt6dt

vy

4tvx

6tv

6ti

4tjdtdtdyv

dxvy

xvy

dt

dyvx

dt

dxdxdyv

dt

v dt

yytxxt

0

0100

10i

)(t

0,

rdxdyytx00104tdt

t6tdt

0y

2t

2x

3t

2

10r

(3t

2

10)i

2t

2

j分析题意，确定属于I类还是II类问题建立坐标系，确定各矢量的正方向，把题意转化为代数方程组求解方程组，得到待求量的文字表达式，代入数字计算对结果进行

和分析dt

dt

dv微分运算：

dr

,av分离变量初始条件积分运算运动学的解题方法vx

v0

cos0v0yv0

xv0

ygv

v0

atv)

j1.速度矢量形式即j

v0

gtvxgtv0§

1-2抛体运动dr

v

dtt

021

tr

0

vdtt00

gt)dt(v

0xv0yv0

x

v0

ygv2.运动方程或x

v0

cos

t21y

v0sin

t

2

gt

v

v0

gt)

j02y

v0t

1gt2初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的

落体运动的叠加----归结为直线运动的叠加0t21

021

如猎人与猴子的演示12gt2220x22vgcos

由vy=0有(2)射高2gv

2

sin

2

ym

0

y

x

tg

：gt

v0

sin

gv

2

sin

2xm

0

x

v0

cos

t2012gty

v

sin

t

3.轨迹方程消t(1)射程

由y

=0得得

运动方程:

S

S(t)

速度：t

e§1-3

圆周运动和一般曲线运动tdsdt

e

加速度:dttdttdetdtdta

d

d

e

d

e

=?切向加速度和法向加速度R0S(deten

det

'R0t大小：det

方向：enetdt

dete

'

P

et

vs

R

en

endt

dt

Rd

vta

ddv

v2

a

etdt

anen

en

a

eR

t

t

2dt

--

切向加速度

an

R

--

法向加速度en

at

et

anendt

Rdv

v2

et

a

dv

deta

e

v

dt

t

dtaR0etnaendta大小22a

at

an

R

v2

2

dt

dv

2an方向

arctg

at----与法向夹角detv

endt

R:速度大小的变化引起切向加速度速度方向的变化引起法向加速度变速圆周运动，a的方向不指向圆心(3)匀速圆周运动

at

0a

anen----指向圆心2

dv

det

dv

v

a

et

v

et

endt

dt

dt

RanR0te

anedta

tt

t

B

A

O角位移角速度tt

0dt

lim

d角加速度tt

0dtdt

2

lim

d

d

2xv

dxdtdv

d

2

xa

dt

dt

2

(t)圆周运动的角量描述1.

角量角位置运动方程dttR2.线量与角量关系ds

RdxOdsRddta

dv

R

d

R2an

Rdtv2

2et

endt

Ra

dv

v

dtv

ds

R

d

R

0

t

0

t20

012

t0202

2

t

v2

v2

2a(x

x

)0

020

02v

v0

at1atx

x

v

t

x

x0

v

t匀变速直线运动3.用角量表示圆周运动匀速直线运动

匀速圆周运动匀变速圆周运动dt

ddt

dv

dxdta

dvdtP12P

2

de

edt

t

na

atet

anen

：an

指向瞬时曲率中心a总是指向曲线凹侧1

01220

一般曲线运动

----曲率半径0

----瞬时曲率中心曲率圆[例1]一质点作半径R=1m的圆周运动，其角位置

=t2+1(rad)，t以秒计。问多大时，其切向加速度大小是总加速度大小的1/2?d

22解：at

R

R

2

msdt

2n2a

Rdt2

(

)

Rd2

(2t)

R

4t

2

ms22a22

(4t

2

)2

t

a21可得4t

43

0.931

s

t

2

1

(0.931)2

1

1.867

rada