武汉理工大学数值分析考试题和答案

1、①工程中数值方法的主要思想答：工程总.把理论与实际情况相结合.用数值方法直接求解较少简化的模型.及忽略一些无关的因素求出近似值.又使得到的景近似解满足程变得要求数值方法中误差产生的原因答：当数值模型不能得到精确解释.通常要用数值方法求接触他的近似解.七近似解与精确解之间的误差称为截断误差。当用计算机做数值计算时.由于计算机的字长有限.原始数据在计算机上表示会产生误差.计算过程总中有产生误差.这种误差称为舍入误差。数值方法应用对象由数学模型给出的数值计算方法.以及根据计算方法编制的法程序12、取x=1、2、2时f（x）=2、0、1.计算f（x）在x=-处得近似解x123f（x：）201解：二次拉格朗日插值多项式为L(x)=5k=0（X）=(X-X1)(X-X2)=(X—2)(X—3)=1(x-2)(x-3)(x0-x1)(x0-x2)(1-2)(1-3)2（X）(X-（X）（X）(X-X0)(X-X2)=(X-1)(X-3)=-(x-1)(x-3)(x]—XO)(X]—X2)(2一])(2-3)（X）r(x-1)(x-2)2二(x-x0)(x-xj二(x-1)(x-（X）r(x-1)(x-2)2(x2-x0)(x2-X1)(3-1)(3-2)则L（x）==l0则L（x）==l0k=0（x）+l1（x）+l2（X）1=23=—x2-=x+72（x-2）（x-3）+131（x-1）（x-3）+—（x-1）（x-2）2333331131=—XM）2X(K)+7222233:—81所以L（^）一即f（x）在x=T处得景近似解为■—83、f（x）=（x-1）4.在L1,1］上计算范数

解f(X)=(x-1)4.xGL1,1],则f’(x)=4(x-1)3W0所以f(x)=(x-1)4在L1,1]上单调递减||f|切=_1XJf(x)|=max^f(-1),|f⑴|}max&,0}=16f1=Jbf(x)dx=f1(x-1)4dxa-15(x-5)51_32=Tf1(x-1)8dx—-1=1(x-1)9|-12_：29_16显一'\~9=34、对权函数P⑴=1-x2.区间［-1,1］.试求首项系数为1的正交多项式中(x5(x-5)51_32=T解：若p(x)=1-x2.则区间［-1,1］上内积为(f,g)=f1f(x)g(x)P(x)dx-1定义中0(x)=1.则平(x)=(x-a帅(x)一。甲(x)n+1nnnn-1其中-6an(w(x))q>(X)M(-S(X)%(X))sssnnE"(cp(xw(x))w(xw(x))ssss—1s—一•.•a「。JiX(l+X2)dx『(一+X2MX|一no.••-6(X)nX一an(X29x)/(?x)-IX3(1+X2XXJL2(1+X2)尽—1Ho■colnFx)f(Ll)JlX2(l+X2)dxTOC\o"1-5"\h\z,22、“22、a=(x3一x,x2一)/(x2一，x2一)555522J1(x3-—x)(x2-_)(1+x2)dx=-155J1(x2-2)(x2-2)(1+x2)dx-155=0c22P=(x2—飞,x2-?)/(x,x)255J1(x2-—)(x2-—)(1+x2)dx=—1p55J1x2(1+x2)dx-1136=525=UTOC\o"1-5"\h\z16701?,、2179.•.q(x)=x3-—x2-——x=x3-——x570145、求f(x)=ex【0,1]在[0,1]上的最佳一次逼近多项式。5、解：f(x)=ex,xg【0,1]工f(x)=ex,f(x)=ex>0a=f(b)-f(a)=e-1b—aex2=e—1x=ln(e-1)f(x)=ex2=e—12f(a)+f(x)f(b)-f(a)a+xa02b-a1+(e-1)<na02b-a1+(e-1)<nln(e-1)=—(e—1)22=2ln(e—1)于是得f3）的最佳一次逼近多项式为,、e,」、1一，」、P(x)=~^(e~1)[x—ln(e―1)]122=(e-1)x+L[e-(e-1)ln(e-1)]26、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1J1—-—dx,n=8;04+x21j1(1——)2dx,n=10;0xj9<xdx,n=4;1』：(4-sin2里d中,n=6;0解：1xn=8,a=0,b=1,h=—,f(x)=84+x2复化梯形公式为T=h[f(a)+这f(x)+f(b)]=0.11140TOC\o"1-5"\h\z82kk=1复化辛普森公式为S=h[f(a)+4^f(x)+膏f(x)+f(b)]=0.1115786,1kk+

k=0k十2k=11(1-e-x)2n=10,a=0,b=1,h=—,f(x)=(生10x复化梯形公式为〈0=2[f(a)+2尤f(xk)+f(b)]=1.39148k=1复化辛普森公式为S=h[f(a)+42Lf(x)+22Lf(x)+f(b)]=1.45471106,1kk=0k+2k=1n=4,a=1,b=9,h=2,f(x)=\:x,复化梯形公式为T=h[f(a)+22Lf(xk)+f(b)]=17.22774k=1复化辛普森公式为S=h[f(a)+42Lf(x)+2^f(x)+f(b)]=17.322226k+1kk=0k2k=1n=6,a=0,b=^,h=赤,f(x)=(4-sin2中复化梯形公式为h5一.一T=-[f(a)+2^f3)+f(b)]=1.0356262kk=1复化辛普森公式为S=-[f(a)+4^f(x)+翕f(x)+f(b)]=1.0357766,1kk+k=02k=118.628283x10-7-4.446923x10-21因此IR0(3)I=j3-l+x2dx0kT(k)0T(k)1T(k)2T(k)3T(k)4T(k)5014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此Ir10.20759227、对f(x),g(x)gC1[a,b].定义(f,g)=jbf(x)gf(x)dx(f,g)=jbf'(x)g'(x)dx+f(a)g(a)a问它们是否构成内积。解：⑴令f(x)三C(C为常数.且C丰0)则f(x)=0而(f,f)=』bf(x)f(x)dxa这与当且仅当f=0时.（f,f）=0矛盾不能构成C1[a,b]上的内积。⑵若(f,g)=jbfr(x)gr(x)dx+f(a)g(a).则a(g,f)=jbg'(x)f(x)dx+g(a)f(a)=(f,g),V以eK(以f,g)=J[以f(x)]g(x)dx+af(a)g(a)a=以[Jf(x)g(x)dx+f(a)g(a)]a=以(f,g)VheCi[a,b],则(f+g,h)=jb[f(x)+g(x)]>h>(x)dx+[f(a)g(a)]h(a)=jbf'(x)h(x)dx+f(a)h(a)+jbf'(x)h(x)dx+g(a)h(a)aa=(f,h)+(h,g)(f,f)=jb[f(x)]2dx+f2(a)>0ajb[f'(x)]2dx=0，且f2(a)=0a・.・ff(x)三0,f(a)=0・•・f(x)三0即当且仅当f=0时.（f,f）=0.故可以构成C1[a,b]上的内积。8、已知一组实验数据如表.求它的拟合曲线。X12345f（X：）43542w.11211解：设拟合曲线平p（X）=a户.这里取^0（x）=1.甲=x.故虹^0>>=^^w1=6；(甲,甲)=^w甲(x)甲(x)=Lm=TOC\o"1-5"\h\zi=001i01iii=0i=0G,甲)=工w中(x)^(x)=2Ew中2=6411i11i1i=0i=0

Cp,f)=尤wf(x)=23i=0(cp,f)=尤wCp,f)=尤wf(x)=23i=0(cp,f)=尤wxf(x)=661iiii=0由法方程Y1(p^,p.)a.=d.,k=0,1j=0得线性方程组716a+18a=2318a0+64；=6601a0153a=——110于是所求拟合曲线P(x)7131510（1）牛顿法.（2）二分法解：牛顿法：设f（X）=x2—x—1.牛顿迭代格式为:x=x一f(xk),k=1,2,3取x=—1,f'(x)=2x-11-g=-21——3k+1kf'(xk)0f(x0)=—1—_£=—2f'(x：)一1-g=-21——3__f(x)__13_44!__610x3_x2_f'(x；)__方-—26—^-987此方法算得的f（x）越来越趋近于零。k二分法：f（X）=x2—x—1.则f（-1）=1.f（1）=-1.f（-1）f（1）<0的实根在L1,1］之内设a=-1,b=1,取U,b］的中点x°=0,而f（0）=-1<0,二f（x）的实