2018年天津市高考数学试卷(理科)

第第页(共22页)第仃页（共第仃页（共22页）【解答】（I）证明：依题意，以D为坐标原点，分别以二、「'、I的方向为x轴,y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,,1),N(1,0,2).设：.一二「为平面CDE的法向量,nn•DC=2y^0则，一一,不妨令z=-1,可得怎二(1,0,T)；n0'DE=2x+2z=0u又111.■,可得11又•••直线MN?平面CDE•••MN//平面CDE(U)解：依题意，可得7,-_:,■_-,L：；.-,--Lji,.■.设：.二.丁、二.为平面BCE的法向量，则丁号,不妨令Z=1,可得二（山1,1）.Ln*BE=K-2y+2z=0设.|二.-「、二为平面BCF的法向量，则',不妨令z=1,可得[ip*CF=tH-2z=0十于是sin<.「>=+.mF•••十于是sin<.「>=+.mF•••二面角E-BC-F的正弦值为k;10（川）解：设线段DP的长为h,（h€[0,2]）,则点P的坐标为（0,因此有COSV..：|>=ID0,h),可得t/-：-■-：■：.I.'：，而||"-1二」：为平面ADGE的一个法向量,故|cosv..>|=故|cosvIbpI-IdcI7h2+5由题意，可得——:一-11-一丄，解得h=…€[0,2].Vh2+523「线段DP的长为「(13分)设｛an｝是等比数列，公比大于0,其前n项和为Sn(n€N*),｛bn｝是等差数列.已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2&.(I)求｛an｝和｛bn｝的通项公式；(U)设数列｛S｝的前n项和为Tn(n€N*)，(i)求Tn；/..、h曲上(g+b出)%2n+2c/厂“*、(")证明■-■-2(n€N*)•【解答】(I)解：设等比数列｛an｝的公比为q，由a1=1,a3=a2+2，可得q2-q-2=0.•••q>0,可得q=2.故•.一-:.设等差数列｛bn｝的公差为d,由a4=b3+b5,得b1+3d=4,由a5=b4+2b6，得3b计13d=16,b1=d=1.故bn=n；

*qn(n)⑴解：由⑴'可得故.=「「--;溉吃时'_2k+2溉吃时'_2k+22k+1(jj)证明：••匚厂"込-—=(k+l)(k+2)(k+1)(k+2)~_(k+l)(k+2)k+2k+1'£(k+l)(k+2)(3=)(4卞)(n+2二+1>十222(14分)设椭圆二-+'=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B•已知椭圆/b2的离心率为睜，点A的坐标为(b，0)，且|FB?|AB|=^.'.-1(I)求椭圆的方程；(n)设直线I:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且I与直线AB交于点Q.若hsin/AOQ(O为原点)，求k的值.|PQ|422【解答】解：(I)设椭圆一+'=1(a>b>0)的焦距为2c，a2b2由椭圆的离心率为e=¥，•严；又a2=b2+c2，-2a=3b,由|FB|=a,|AB|^2b，且|FB?|AB|=6逅;可得ab=6，从而解得a=3，b=2，22•••椭圆的方程为'+'=1；94(n)设点P的坐标为(捲，yj,点Q的坐标为(X2,y2),由已知yQ样0；|PQsin/AOQ=y-y2；又|AQ|=又|AQ|=sinZOAB且/OAB=,4•••IAQ|==y.由黜呼由黜呼观AOQ可得5yi=9y2；•直线AB的方程为x+y-2=0;由方程组(Ex，消去％,可得y2^L；b+y-2=0k+1由5yi=9y2,可得5(k+1)=3|,两边平方，整理得56k2-50k+1仁0,解得k=或k=•;228•k的值为二或匸_228(14分)已知函数f(x)=ax,g(x)=logax，其中a>1.(I)求函数h(x)=f(x)-xlna的单调区间；(U)若曲线y=f(x)在点(X1,f(xj)处的切线与曲线y=g(x)在点(X2,g(X2))处的切线平行，证明X[+g(X2)=—：;Ina(E)证明当a>e■时，存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.【解答】(I)解：由已知，h(x)=m-xlna,有h'(x)=axlna-lna,令h'(x)=0,解得x=0.由a>1,可知当x变化时，h'(x),h(x)的变化情况如下表：X(-x,0)0(0,+X)h'(x)一0+h(x)极小值•函数h(x)的单调减区间为(-X,0),单调递增区间为(0,+x)；

(U)证明：由f'(x)=ax\na,可得曲线y=f(x)在点(xi,f(xi))处的切线的斜率为:lna.由g'(x)=—-—,可得曲线y=g(x)在点(X2,g(x2))处的切线的斜率为一-—•••这两条切线平行，故有一r-:-1，即1'|,zIna』两边取以a为底数的对数，得\ogax?+xi+2\oga\na=O,二x1+g(x2)=1；Ina(川)证明：曲线y=f(x)在点(：…-)处的切线li:「:.:.,：,曲线y=g(X)在点(x2,Iogax2)处的切线D：.•Ia££丄要证明当a》」时，存在直线I,使I是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线,丄丄即只需证明当a》K时，方程组*只需证明当a>…时，存在xi€(-x,+x),X2€(0,+x)使得li与l2重合,a嚣1丄即只需证明当a》K时，方程组*x2InaKx1a1!a二1°茗玄七巧花■②由①得代入②得:4]alna+s4]alna+s+-二…③Ina丄因此，只需证明当a>…时，关于xi的方程③存在实数解.丄设函数u(x)=■,'•・••—iL.’i,既要证明当a^时，函数y=u(x)InaIna存在零点.u'(x)=i-(Ina)2xax，可知x€(—x,o)时，u'(x)>0;x€(0,+^)时，u'(x)单调递减，]又u'(0)=i>0,u',：=.-；:v0,(Ina)2故存在唯一的X0,且X0>0,使得u'(X0)=0,即・-二「「亠

由此可得，u(乂)在(—g,X0)上单调递增，在(XO,+X)上单调递减,u(X)在X=Xo处取得极大值u(Xo).Tr」.,■■■，故InIna>—1.b,,1,Slnlna^~+J21b,,1,Slnlna^~+J21口1口&0Ina-^2+21nlna庐~~InaF面证明存在实数t，使得u(