空间解析几何基础知识

多元函数微积分(办)办公地点：银信楼11103:32:331多元函数微积分03:32:332新学期好！身体健康！学习进步！03:32:33多元函数微积分03:32:334本学期主要内容第六章

定积分第七章

多元函数微积分第八章

无穷级数第九章

微分方程03:32:33微积分微分积分定积分ba微积分的应用求切线的方程判断函数的单调性、凹凸性求极值、最值、边际、弹性求平面图形的面积、

的体积、总量的数学模型一元函数的微积分导数f

(x)微分

dy

f

(

x)dx不定积分

f

(x)dx

F

(x)

Cbaf

(

x)dx

F

(

x)03:32:33V

πr2h多元函数微积分前面，了一个变量的函数（单变量函数或一元函数）的微积分。但是，在许多实际问题中，一个变量往往要受到多个因素的影响，此时，一元函数已不能完整地、全面地描述它们之间的相互数量关系。因此，将一元函数推广到多元函数就显得尤为必要。-Q

cKαLβ生产函数03:32:337本学期重点研究两个自变量的函数（二元函数）， 会看到，当一元函数中的一些概念、理论和方法推广到二元函数时，会出现某些重大区别（本质差异）。然而，如果进一步把二元函数的有关内容再推广到多元函数的情形时,就没有原则上的差别了，仅仅是计算或叙述上变得繁琐一些而已。因此,以

二元函数的微积分为主，由此得到的一切结论,可以亳无 地推广到n(n>2)元函数。多元函数微积分03:32:338返回CALCULUS03:32:339第七章

多元函数微积分空间解析几何基础知识多元函数的基本概念偏导数全微分多元复合函数的微分法隐函数及其求导法则二元函数的极值和最值二重积分一、空间直角坐标系轴Ox,

Oy,Oz称为坐标轴，(3)在三个坐标轴上选定长度单位.空间直角坐标系7.1

空间解析几何基本知识y03:32:3310纵轴1.空间直角坐标系在空间任选一点O称为坐标原点,在O点处作三条两两互相垂直的原点o(ordinate

axis)横轴x

(abscissa

axis)(

space

rectangular

coordinates

system)(origin)z竖轴(vertical

axis)三个坐标轴的正方向符合右手法则.即将右手伸直，拇指朝上为oz轴的正方向，其余四指的指向为

ox的正方向，四指向内弯曲900后的指向为oy的正方向。x03:32:3311yzO一、空间直角坐标系z03:32:3312yoyOz坐标面、zOx坐标面.三个坐标平面将空间分为三个坐标轴Ox,O

y,Oz两两决定三个互相垂直

的平面Oxy,Ozx,Oyz,统称为坐标平面.即xOy坐标面、八个部分,按逆时针顺序依次为Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限，以及第Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ卦限.ⅠⅢ

ⅡⅧ

xⅤ

VIVII

Ⅳ然后逆着z轴正向看时,卦限,卦限,

它们分别是：

含x轴,

y轴和z轴正向的卦限称为第Ⅰ称其每个部分为一、空间直角坐标系Ⅶxyozxoy面yoz面zox

面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ一、空间直角坐标系03:32:33132.点的坐标点M有序数组(x,y,z

)1-1对应OM(

x,

y,

z)的竖坐标,

记为M

(

x,

y,

z

).03:32:3314x

PQyzRx为点M

的横坐标,

y为点M

的纵坐标,

z为点M一、空间直角坐标系oxy面上点的坐标为A(x,y,0)oyz面上点的坐标为

B(0,y,z)特殊点的坐标，，oxz面上点的坐标为C(x,0,z)，x03:32:3315zOA(

x,

y,0)B(0,

y,

z)x轴上点的坐标为P(x,0,0)，y轴上点的坐标为

Q(0,y,0)，z轴上点的坐标为R(0,0,z)，C(x,0,z)P

(

x,0,0)M

(

x,

y,

z)yQ(0,

y,0)R(0,0,

z)一、空间直角坐标系Ⅶxyozxoy面yoz面zox

面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ一、空间直角坐标系03:32:331603:32:3317卦限点的坐标x,y,z

卦限点的坐标x,y,zⅠx>0,y>0,z>0Ⅴx>0,y>0,z<0Ⅱx<0,y>0,z>0Ⅵx<0,y>0,z<0Ⅲx<0,y<0,z>0Ⅶx<0,y<0,z<0Ⅳx>0,y<0,z>0Ⅷx>0,y<0,z<0八个卦限中点的坐标一、空间直角坐标系二.空间两点间的距离yzOy1xz1x2x1QPM1M2Ry21

2

2

1

2

1

2

1(

x

x

)2

(

y

y

)2

(z

z

)2|

M

M

||

M1

P

||

x2

x1

|,

|

PQ

||

y2

y1

|,

z2|

QM2

||

z2

z1

|,由勾股定理可得设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间两点.过点M1,M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.上式称为M1

,M2

两点间的距离公式0显3:32然:33

，它是平面上两点间的距离公式的1推8

广。22

21

2

1|

M

Q

|

|

QM2

||

M

M

|

1

2|

M

P

|2

|

PQ

|2

|

QM

|27.1

空间解析几何基本知识例1

在

y

轴上求一点M,

使其到两点

M1(2,0,–1)与M2(1,–1,3)的距离相等.解

由于点M在y

轴上,

设其坐标为(0,y,0),

由题意有等式

|

MM1

||

MM

2

|,

即(0

2)2

(

y

0)2

(0

1)2解此方程得

y=

–3，因此所求点为M

(0,–3,0).

(0

1)2

(

y

1)2

(0

3)203:32:3319二.空间两点间的距离例

2

设P

在x轴上，它到点P1

(0,

2,3)的距离为到点P2

(0,1,1)的距离的两倍，求点P

的坐标.解因为P

在x轴上，设P点坐标为

(x,0,0),1PP

22

32x22PP

x2

12

12

11,

2,x2x2

PP1

2

PP2

,

11

2

203:32:3320x2

x2

x

1,所求点为

(1,0,0),

(1,0,0).二.空间两点间的距离与平面解析几何中建立曲线与方程的对应关系一样,曲面：是指空间中满足某种条件的点的轨迹。如：球表面、圆柱表面、圆锥表面等.三、空间中常见图形的方程F含程F(

,y,

)示方z可以建立空间曲面与方程的对应关系.几曲。(二元函y,数z7.1

空间解析几何基本知识03:32:33211.曲面方程的概念如果方程F(x,y,z)=0与曲面S有如下的关系：若曲面S上任意一点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0；任何满足方程F(x,y,z)=0的点(x,y,z)都F(x,y,z)=0zxyOS在曲面S上。则称方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程，而曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图形。03:32:3322三、空间中常见图形的方程建立了空间曲面与其方程的联系后，就可以通过研究方程的解析性质来研究曲面的几何性质。空间曲面研究的两个主要问题是：已知曲面上的点所满足的几何条件,建立曲面方程;已知曲面方程,研究曲面的几何形状.三、空间中常见图形的方程03:32:3323例3

求球心在

M0

(

x0

,

y0

,

z0

),

半径为R

的球面方程.0

0

0(

x

x

)2

(

y

y

)2

(z

z

)2

R22

.x0的充要条件为

M

M

R,0

0

0(

x

x

)2

(

y

y

)2

(z

z

)2

R解

设

M

(x,

y,

z)

为球面上任意一点,

则M在球面上显然，球面上的点的坐标都满足方程,而不在球面上的点的坐标都不满足方程,所以该方程为球面方程.特殊地,球心在原点,半径为R的球面方程为即表示上(下)球面.2403:32:33MOxyz0M1、球面例4.研究方程的曲面.表示怎样解

配方得可见此方程表示一个球面球心为M0

(

1,

2,

0

)

,

半径为

5

.说明如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是一个球面,或点,或虚轨迹.1、球面03:32:3325例

求与两定点

的轨M1

(1,0,2),,等M距2

(离2,1的,动2)点2.平面的方程平面是一种特殊的曲面.

同时它也是最简单而又迹方M程(x.,y,z)解由题意有由两点间的距离公式，得MM

1

MM

2(

x

1)2

(

y

0)2

(z

2)2两边平方，化简得三元一次方程

x

y

4z

2

0由几何学知，动点的轨迹是线段

M的1

M垂2

直平分面，

(

x

2)2

(

y

1)2

(z

2)2最重要的曲面.三、空间中常见图形的方程此结论对因此上述三元一次方程是平面方程.空间一般平面也成立.03:32:3326空间中任意一个平面的方程都为三元一次方程Ax+By+Cz+D=0(A、B、C，D不全为0)（1）若D

，0（2）若C

，0则平面Ax

By

Cz

0

过坐标原点.则平面Ax

By

D

0平行于Oz轴.直线方程Ax+By+C=0

(A、B、C不全为0)对于平面当A、B、C、D均不为零时，平面图形用连接平面与三个坐标轴的交点的三角形表示.对平面一般方程中，当有系数为0时的特殊情形具有特殊位置的平面方程：Ax

By

Cz

D

003:32:3327例5

求三个坐标平面的方程。解：xy平面上任意一点的坐标必有z=0，满足z=0的点必然在xy平面上，故坐标平面xy的方程：z=0.同理，xz平面的方程为y=0.yz平面的方程为

x=0.（3）若C

D，

0（4）若B

C

，

0或平行于yOz平面.则平面Ax

By

0

过Oz轴.则平面Ax

D

0表示垂直于x轴平面方程Ax+By+Cz+D=0(A、B、C、D不全为0)03:32:332803:32:33解方程x2

y2

R2的图形。在xy平面上表示例

作

x2

y2

R2以原点为圆心，半径为R的圆.由于方程不含z，意味着z可以任意取值，因此这个方程所表示的曲面是由平行于z轴的直线沿xy平面上的圆

x2

y2

R2

移动而成的圆柱面。xy平面上的圆

x2

y2

R2

叫做它的准线平行于z轴的直线叫做它的母线。3、柱面(cylinder

)y03:32:33xO柱面平行于定直线并沿定曲线C

移动的直线L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线.zLC3、柱面(cylinder

)柱面举例xozy2

2

xyxozy抛物柱面03:32:33y

x平面(

Cylinder

of

the

second

order

parabolic

)3、柱面(cylinder

)实例y2

z2

12

y

103:32:33a2

b2b2

c2x2x2

2

pzx2

y2

R2圆柱面

母线//z轴于哪一个坐标轴

.从柱面方程看柱面的特征：只含x,y

而缺z

的方程F

(x,y)

0，在空间直角坐标系中表示母线平行于z

轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C

.在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就平行椭圆柱面母线//x轴双曲柱面母线//z

轴抛物柱面母线//y

轴不含与该坐标轴同名的变量22

2

y

R

;（1）圆柱面x几种常用的柱面方程及图形（2）椭圆柱面

1;2

b2ax2

y2

1;（4）抛物柱面（3）双曲柱面a2

b2x2

y2x2

2

py.统称为二次柱面椭圆柱面圆柱面抛物柱面03:32:333、柱面(cylinder

)03:32:334、二次曲面二次曲面：三元二次方程所表示的曲面。平面称为一次曲面。三、空间中常见图形的方程ozyx)（1）.椭球面(Ellipsoidx2

y2

z2

a2

b2

c2

1椭球面与三个坐标面的交线：,2

2

1

y

0cz2

a

x2.2

y2

2

1

x

0cz2

b,

2

1y222z

0

abx4、二次曲面03:32:33截痕法：（2）旋转抛物面将y

z坐标面上的抛物线z=ay2(a

>0)，绕z轴旋转所得的曲面方程为z

a(

x2

y2

)该曲面称为旋转抛物面.当a>0时，旋转抛物面的开口向上.当a<0

时，旋转抛物面的开口向下.xyzO4、二次曲面03:32:33（3）圆锥面方程圆锥面方程为x2

y2

k2

z2

(

k

0

)4、二次曲面03:32:33（

与

同号p

q））用截痕法

：设

p

0,

q

0图形如右示：xyzo（4）双曲抛物面（马鞍面(hyperbolic

paraboloid)

z,x2

y22

p

2q4、二次曲面03:32:33空间直角坐标系（轴、面、卦限）空间两点间距离公式211

22

22

1

2x

x

y

y

z

z

M1

M2

3.空间中常见曲面的方程7.1

空间解析几何基本知识小结4、二次曲面1、球面03:32:33392、平面3、柱面1,2,,

nn1

2

n

ix

R,

i

R

x

,

x

,,

x

表示为：n元有序实数组

的全体所构成的集合.(

x1

,

x2

,,

xn

)一、n

Rnn

：一般地，设n为一个取定的正整数，7.2

多元函数的基本概念nR

n

中的点：n元有序数组(x1

,x2

,L

,xn

)其中，数xi称为该点的第i个坐标.03:32:3340一、nn中两点间的距离：PQ

(

y

x

)2

(

y

x

)2

(

y

x

)21

1

2

2

n

n其中，点为P(x1

,x2

,,xn

)和Q(y1

,y2

,,yn

)注：当n=1,2,3时，上式即是数轴、平面及空间两点间的距离.Rn03:32:334103:32:3342练习:P306

1，2下次课内容7.2

多元函数的基本概念7.1

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44

·Thankyou!03:32:3345一、填空题下列各点所在卦限分别是：a、b、

2,3,c、

2,

3,4在_d、

2

,

3

,

1在

点p

(3,2,1)关于平面xOy

的对称点是

，关于平面

yOz

的对称点是

,关于平面

zOx

的对称点是

，关于

x

轴的对称点是

，关于

y

轴的对称点是

，关于

z

轴的对称点是

;练习题03:32:3346A

,在yO