测度与积分知识结构整理

约定G和O为开集，F为闭集，0为开覆盖，函数f：<X,p>Y,g>。以下所有概念均在一个度量空间X中讨论。第七章度量空间定义E的闭包点E:点xeX，VS>0,3yeE,s.tp(x,y)<6。EuE。定义度量空间X可分:由可数个点构成的稠密子集D,即D二X。命题度量空间可分可数开集族｛O｝，s.t.WOuX,O=UO。ii0产0定义函数ff在点x连续：Vs>0,36>0,s.t若p(x,y)<6,则q[f(x),f(y)]<s0f连续则f在每一点连续。命题f连续oVOuY,f-i[O]uX是一个开集。定义f为X与丫间的同胚：f双射，连续且f-1连续。若X与丫间存在一个同胚，称X与Y是同胚的。(拓扑学本质上是研究在同胚下保持不变的性质，这样的性质称为拓扑的。根据开集定义的性质都是一个拓扑性质。一致性质，在一致同胚下保持不变的性质；度量性质，在等距同构下保持不变的性质)定义X与Y之间的等距同构(保持距离不变的同胚)：在某个同胚下，Vx1.x2gX,o[h(x),h(x)]=p(x,x)。若X与Y之间存在一个等距同构，X和Y是等距的。1212定义p和o是等价度量：<X,p><X,o>映上的恒同映射idX是一个同胚(o若集合O在<X,p>是开的，贝I」在<X,o>也是开的)。定义<xn>收敛于点x：Vs>0,3N,Vn>N，s.tp(x,x)<s，即关于x的每个球包含了该nn序列除有限项外的一切项。定义聚点：关于x的球包含序列的无限项，(Vs>0,VN,3n>N,s.tp(x,x)<s)n定义柯西序列：Vs>0,3N,s.tVm,n>N,p(x,x)<s。若每个柯西序列都收敛，则称该mn空间是完备的。定理若<X,p>不完备度量空间，贝归是完备度量空间，则X可作为一个稠密子集等距嵌入X*。若XuY(任意完备空间)，则X*等距于X在丫中的闭包。定义f一致连续：Vs>0,36>0,s.t.Vx,x'若p(x,x')<s,则p(f(x),f(x'))<6。命题f一致连续n若<xn>是柯西序列，贝l」<f(Xn)>也是柯西序列。定义同胚f称为一致同胚：f,f-1一致连续。(一致性质：在一致同胚下保持不变的性质)定义p和o—致等价(与等价比较)：<X,p>T<X,o>映上的恒同映射是一致同胚。(Vs>0,38>0,s.t.Vx,y,p(x,y)<8o(x,y)<£且0(x,y)<8 p(x,y)<s)命题丫完备，EuX,f:E-丫，f一致连续，则弓！连续映射g：E^Y,VxeE,f(x)=g(x)(即g是f的扩张)，且g是一致连续的。定义S是X的一个子空间：S是X的一个子集，VX，yeSuX，p|S(x,y)=p|X(x,y)。(相对闭包的概念，EuS，则E在S中的闭包和E在X中的闭包通常是不一样的。但如果x是E在X闭包上的点，则若它属于S它就是E在S闭包上的点)命题S是X的子空间，EIS=E|XnS。集合AUS相对S闭oTF是X的闭集，A=SnFo集合AUS相对S开0弓0是X的开集，A=SnOo命题可分度量空间的每个子空间都是可分的。命题若度量空间X的子集A完备，则A闭；完备度量空间的闭子集A完备。定义X紧空间：X的每个开覆盖0有一个有限子覆盖，即弓有限簇｛01，02，…，OJU0,s.t.Xu%。(oV闭集簇｛FuX｝,AF=0,3｛F,F，…,F｝，件F=0)i i i 1 2Nii=1 i>1 i=1定义X中集簇B具有有限交性质：B任何有限子集簇有非空交。命题X(度量空间)是紧的o每个具有有限交性质的闭集簇B有一个非空交集oX有波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质(X的每一个无限序列vxn>至少有一个聚点，即3xeX,stVO(xeO),VN,3n>N,xeO)noX序列紧(X的每个序列<xn>均有收敛的子序列<x>)【比较波尔查诺-魏尔斯特n nk拉斯性质和序列紧的定义】o完备+全有界(V£>0,存在有限点簇｛X［，…，xn｝使得VxeX，x与某个xk的距离不超过£oW£>0,X被有限个半径为£的球覆盖）定理f定义在紧空间的连续实值函数，则f有界且取到最小值和最大值。引理序列紧空间全有界（眈〉0,m有限点簇｛x,x x｝,VxGX,xGMB）12 N i,£i=1定义£为开覆盖o的勒贝格数：VxGX,xGOuQ且V8<s，3（x的开球）BuO，即&x,5与x无关。（以下命题表明&在序列紧空间中一定存在）命题紧空间X的开覆盖0，则3s>0,s.tVxgX,V5<s,3OgQ,BgO。x,5命题紧空间的闭子集紧。度量空间的紧子集闭且有界。紧集的连续像是紧的。（比较命题若度量空间X的子集A完备，则A闭；完备度量空间的闭子集A完备。）系实数的每个紧集闭且有界命题连续映射f:紧度量空间X-度量空间丫，af一致连续。定义E是无处稠密的：（E）c稠密oE不包含非空开集定义E是第一范畴的：E是可数无处稠密集簇的并E是第二范畴的：不是第一范畴的集合。第一范畴集的补集称为剩余的。性质第一范畴集的可数并和子集都第一范畴集定理｛OJ是X（完备度量空间）的可数稠密开子集簇，贝ihon稠密（X完备度量空间，则X的任意非空开子集都不是第一范畴的）命题O开F闭，O〜O和F〜F。无处稠密。完备度量空间中闭F是第一范畴集，则F无处稠密命题完备度量空间的子集K是剩余集oK包含一个稠密的G6o完备度量空间的子集E是第一范畴集oE包含在一个Fo中，其补集是稠密的命题｛Fn｝是可数闭集簇，X=uFn，则O=UF。是剩余开集。若X是完备度量空间，则O稠密nnn命题一致有界原理：B为完备度量空间X的实值连续函数族，且VxeX，3Mx，S.t.VfeB，|f（x）|vMxo弓非空开集OuX和常数M,s.t.VfeB，VxeO，|f（x）|<M命题<X,p>完备度量空间，EuX是一个G6,贝归E的度量o,o等价于p,且<E,o>是完备度量空间命题EuX(拓扑空间)，连续映射f：E-完备度量空间＜丫,0＞。则f可以扩张为连续函数f*：E*—Y,其中f*定义在上，EuE*，且为G6命题E为豪斯多夫空间的稠密子集，E同胚与完备空间＜Y,o＞,则E是一个G6系度量空间的子集E同胚于完备度量空间丫，则E是一个G6定义度量空间X到度量空间＜Y,o＞的函数族B等度连续：Vs＞0,弓开O,xeO,VyeO,VfeB，s.tb[f(x),f(y)]＜s引理＜fn＞：可数集D-度量空间丫，使得VxeD集合｛fn(x):0«n＜8｝的闭包是紧的，则存在子序列＜fnk＞在D中的每个x收敛。引理K为紧度量空间，且＜fn＞为到度量空间Y的等度连续函数序列，VxwK,fn(x)-f,则在K上vfn＞—致收敛于f。定理(Ascoli)可分空间X到度量空间丫的等度连续函数族B，令＜fn＞为B中的序列s.t.VxeX集合｛fn(x)：Ovns｝的闭包是紧的，则存在子序列＜fnk＞点态收敛于连续函数f,且在X中的每个紧集上一致收敛。系可分空间X上的实