理论力学-lecture chapter动量定理

Lecture

16Chapter

10动量定理1/37理论力学Chap.

10(

)工程力学系511

理论力学群

8573170§10.1

简介§10.2

动量和冲量§10.3

动量定理§10.4

质心运动定理2/37Chapter

10动量定理§Chap.9

质点运动学复习或匀速直线运动mv

FddtLaw

III运动三定律Law

I

(惯性定律)F

0Law

IIma

F作用力

=反作用力(作用力和反作用力作用于不同物体)a

0§Chap.9

质点运动学复习质点运动微分方程矢量形式ma

Fi

Fim

d

r

F

F2

dt2直角坐标形式或者2d

ydt2m

d2

x

Fmdt2dt2m

d2

z

FxiFyiziaOyxzPrF1F2iFFnF§Chap.9

质点运动学复习质点运动微分方程自然坐标形式aOyxzbPtr

n

Fv20

Fbi

Fbmat

Fti

Ftm

Fni

Fna=at

ut

anun

v2ab

0an

d2

sat

dt2§Chap.9

质点运动学复习质点动力学两类基本问题已知系统的运动，求作用在系统上的力2)动力学第二类问题已知作用在系统上的力，求系统的运动积分类型微分类型dt2m

d2

z

FFxi

Fyi2

2d

x

d

ymdt2mdt2zimat

Fti

Ft

m1)

动力学第一类问题v2F

F

0

Fbi

Fb

ni

n§10.1

简介质点动力学问题单个质点2d

xm

d2

yd2

zm

xF

,2

dtdt2Fy

,m

dt2Fzn个质点组成的系统md2

x

i

dt2Fxi

,

m

yiF

,

md2

y

i

dt2F

zid2

z

i

dt2

求解全部方程非常

且没有必要§10.1

简介求解动力学问题的方法矢量法运动第二定理)力与加速度(冲量与动量动量定理动量矩定理Chapter

9标量法功和能动能定理Chapter

10Chapter

11Chapter

12§10.2

动量和冲量动量单个质点的动量单位

kgm/si1ni

ip

m

v

p

mvn个质点组成的质点系的动量mvm1m2mimnv1viv2vn动量是衡量物体机械运动强度的物理量mdr

Cdtivi

immdr

i

dt

p

mvCi

iCr

mrmi1n§10.2

动量和冲量动量n个质点组成的质点系的动量p

mi

viim

m质心CmrCvCmn1vimiv2vnrir212

rm1

vm

rn

§10.2

动量和冲量冲量常力作用I

F(t2

t1

)变力作用dI

Fdt元冲量tt1I

2

Fdt

t1

~

t2

，冲量为tFxdtt2t1Fzdtt21

1

1t2t2xyztt

tI

Fxdt

I

Fydt

I

单位

N

s

kg

m

/

s2

s

kg

m

/

s

与动量相同tFt1t2冲量用来度量力的时间累积效应§10.3

动量定理单个质点ma

m

dv

d(mv)

dp

Fdt

dtdt

11m

v2

mv

tFdt

It2

d(mv)

Fdt

dIa)

微分形式即在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量b)积分形式(t1~t2,v1~v2)§10.3

动量定理n个质点组成的质点系外力：F(e)，内力：F(i

)ii内力性质：(i

)i

0F(1)(i)O

iM

(F

)

0(2)(i)iF

dt

0(3)(e)(i

)i

i

id(m

v

)

F

dti

F

dt对任一质点：(e)(i)i

iiiF

dtd(m

v

)

F

dt

对质点系：(e)i

ii

d(m

v)

F

dt(e)i(e)idp

dpFdt

dIidtF(e)或者质点系动量定理的微分形式质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和i

i(e)i

d(m

v

)

Fdt§10.3

动量定理n个质点组成的质点系(e)(e)iidp

Fdt

§10.3

动量定理n个质点组成的质点系dI12t

t

p1p2

1

p2

p

ni1质点系动量定理的积分形式即在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和Ii(e)§10.3

动量定理动量定理标量形式1p2

p

ni1iI(e)

idtdpF(e)dpx

xF(e)dt

dtdpyyF(e)(e)dpzzFdt动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：p2x

p1xp2y

p1y(e)zp2z

p1z

I(e)

IxI(e)y§10.3

动量定理动量守恒定理

idtdpF(e)(e)iF，p

为常矢量如果只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。(e)xF

0

0

，px

为常量如果§10.3

动量定理例10-1曲柄连杆机构。曲柄OA

以匀角速度

转动，OA=AB=l，曲柄OA及连杆AB都是均质杆，质量都为m，滑块B的质量也为m。求当

=45º时系统的动量。ωxyOABl解曲柄OA：

m,

vC1例10-1§10.3

动量定理1

2

31

2

31p

mvC

mvC

m[(vC

sin

vC

cos

vC

)

i

(vC

cos

vCsin

)

j]

2

m[(

1

lsin

45

5

lcos

2

2

22

2

222

5

310101

ml[(

1 2)

i

(

2)

j]2l)

i

(

1

lcos

45

22

5

125lsin

)

]j2

1

2ml[2

i

j]xyABvA1C3vC2C31ωC

vC2PωABP为速度瞬心PC2

l

2滑块B：2连杆AB：m,vC5l

2

O

m,

vC

5l

2;

AB

vC2l3

AB

5l

2

mvCChap.10

动量定理19/37§10.3

动量定理x例10-2，电外壳固定在水平基础上，定子和外壳的质量为m1，转子质量为m2。定子质心位于转轴中心O1，由于制造误差，转子质心位于O2，O1O2=e。已知转子匀速转动，角速度为。求基础的水平及铅直约束力。yωO2m1g

O1FyFxm2gMOy2m1g

O1FyFxm2gMOω

p

xO解例10-2§10.3

动量定理2y

1

2

2

costF

(m

m

)g

m

e2x

2

sin

t得

F

m

ep

m

e

Fy

m1g

m2

gydtdpx2dtdppx

m2e

costpy

m2

e

sint

Fx由例10-2§10.3

动量定理解电机不转时，Fx=0，Fy=(m1+m2)g，称为静约束力；电机转动时的约束力称为动约束力，本题求出的是动约束力。即：22m

e

sintx方向：动约束力

-

静约束力

=

附加动约束力本题的附加动约束力为22m

e

cos

ty方向：2y

1

2

2

costF

(m

m

)g

m

e2x

2

sintF

m

e§10.3

动量定理例10-3如图表示水流流经变截面弯管的示意图。设流体是不可压缩的，流动是稳定的。求流体对管壁的附加动约束力。aa1a1b1b1bbvaaFa

FbvbFW例10-3§10.3

动量定理aa与bb之间的流体作为质点系。设想经过无限小的时间间隔dt，这一部分流体流到两个截面d

m

qV

dt1

1111

1p

p0

pa

b

pab

(pbb

pa

b

)

(pa

b

paa

)

则质点系在时间dt内流过截面的质量为时间间隔dt内质点系动量的变化为1

1

1

1

Va

a

与b

b

之间。令q

为流体在单位时间内流过截面的体积流量，ρ为密度。aa1a1b1b1bbaa解从管中取出所研究的两个截面

vFa

FbvbFW解例10-3§10.3

动量定理1

1111

1p

p0

pab

pab

(pbb

pa

b

)

(pa

b

paa

)

aa1a1b1b1bbvaaaF

FbvbFW将动量定理应用于所研究的质点系，则有p

p因为管内流动是稳定的，有dt

极小，可认为在截面aa

与1

1a

a

之间各质点的速度相同，1

1截面b

b

与bb之间各质点的速p

p0

qV

dt(vb

va

)度相同，因此

F)dtVq

dt(vbva

)

(W

F

Fa

b

0

bb1

aa1p

p

p

p

a1b

a1b于是解例10-3§10.3

动量定理aa1a1b11bb

bvaaFa

FbvbFWqV

dt(vbva

)

(W

Fa

Fb

F)dt

消去时间dt，得附加动约束力由下式确定：F

qV

(vb

va

)

设截面aa与bb的面积分别为Sa和Sb，由不可压缩流体的连续性定律可知qV

Sava

SbvbV

b

a

a

bq

(v

v

)

W

F

F

FW

Fa

Fb

F

0若将管壁对于流体的约束力F分为两部分：F为与外力W，Fa

和Fb平衡的管壁静约束力；F为由于流体的动量发生变化而产生的附加动约束力。即F由下式计算：解例10-3§10.3

动量定理v1v2xFOxyFy应用时应取投影形式。如图为一水截面直角弯管，流体对管壁的附加作用力大小等于管壁对流体作用的附加动约束力，即2x

V

2

2

2F

q

(v

0)

S

v2y

V

1

1

1F

q

(0

v

)

S

v由此可见，当流速很高或管子截面积很大时，附加动压力很大，在管子的弯头处应该安装支座。V(vb

va

)F

q

Va

aq

S

v

S

vb

b§10.4

质心运动定理质心质心是一个质点系统的质量中心，它表征了质点系中的质量分布。质心C的位置矢量：(M

mi

)rC

xC

i

yC

j

zCkCCCxyzM

MM

mi

xi

,

mi

yi

,

mi

zirC

M

mi

rimirirC

Cxiyior

MrC

mi

rixziyzOzCxCyC§10.4

质心运动定理质心运动定理(nni1

i

iC(mv

)

imdm

v

)

ddtF

(

e)dt

i1ni1

Fidv

Cdt

(

e)nmaC

Fi

(

e)或者i1称为质心运动定理，即：质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和内力不影响质心运动，只有外力才能改变质心运动(e)Cxxma

F§10.4

质心运动定理质心运动定理在直角坐标轴上的投影式为：(e)Cyyma

F(e)Czzma

Ftdv

CdtmFv2(e)n(

e)

m

CF(

e)b0

F在自然轴上的投影式为：质心运动守恒定律F(

e)若若

常矢量

常量(e)

0F

0

xCx则vC则v§10.4

质心运动定理ωx例10-4已知：为常量，均质杆OA

=AB

=l，两杆质量皆为m1，滑块B质量m2。求：系统质心的运动方程、轨迹及系统动量。yAOB解设

t

，质心运动方程为例10-4§10.4

质心运动定理消去t得轨迹方程[2(m1

m2

)l

/

(2m1

m2

)]2

[]2

1ycm1l

/

(2m1

m2

)xc1

21

21

2

2(m1

m2

)

l

cost2m1

m22m

l

m 3l

2m

lcost2m

mCx

1

2m12m1

m22m1

m22m

lsint

l

sintCy

ωxyAOBC例10-4§10.4

质心运动定理解系统动量沿x，y轴的投影为：px

mvCx

mxC

2(m1

m2

)lsin

tpy

mvCy

myC

m1lcost系统动量的大小为：2

22

21

21m

cos

t

l

4(m

m

)

sin

t

x

yp2

p2p

§10.4

质心运动定理x例10-5均质曲柄AB长为r,质量为m1，假设受力偶作用以不变的角速度转动，并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D，如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C。在活塞上作用一恒力F。不计摩擦及滑块B的质量