数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件

第二节复化求积公式复化求积公式的基本思想：

将区间[a,b]

分为若干个小子区间，在每个小子区间上使用低阶的Newton-Cotes公式。然后把它们加起来，作为整个区间上的求积公式。

一、复化求积公式第二节复化求积公式复化求积公式的基本思想：1

1、复化梯形公式复化梯形公式为1、复化梯形公式复化梯形公式为2截断误差分析：截断误差分析：32、复化Simpson公式复化Simpson公式的截断误差为复化Simpson公式为2、复化Simpson公式复化Simpson公式的截断误差为4Example1ApproximatetheintegralUsingtheCompositeTrapezoidalruleandCompositeSimpson’srulex=eps:0.01:pi;y=sin(x)./x;plot(x,y);legend('f(x)=sin(x)/x');Example15functionrs=trapezoid(f,a,b,n)h=(b-a)/n;r=(feval(f,a)+feval(f,b))/2;forj=1:n-1x=a+j*h;r=r+feval(f,x);endrs=r*h;

数值试验复化梯形公式Matlab程序将此程序存于work目录中functionrs=trapezoid(f,a,b,n6数值试验

数值试验7n=8,tp=1.84784230644461n=16,tp=1.85091414036536n=32,tp=1.85168137241373n=64,tp=1.85187313510989n=128,tp=1.85192107295303n=256,tp=1.85193305723690n=512,tp=1.85193605329681n=1024,tp=1.85193680231110n=2048,tp=1.85193698956462n=4096,tp=1.85193703637800n=8192,tp=1.85193704808136复化梯形公式数值实验结果n=8,tp=1.848functionrs=simpson(s,a,b,n)h=(b-a)/n;r=feval(s,a)+feval(s,b);

forj=1:2:n-1x=a+j*h;r=r+4*feval(s,x);

endforj=2:2:n-2x=a+j*h;r=r+2*feval(s,x);

end

rs=r*h/3;复化Simpson公式Matlab程序

数值试验

将此程序存于work目录中functionrs=simpson(s,a,b,n)复9>>formatlong>>f=inline('sin(x)/x');>>a=eps;b=pi;n=8;

%eps是Matlab最小正数

>>sp=simpson(f,a,b,n)在Matlab命令窗口中，进行如下操作：

数值试验>>formatlong在Matlab命令窗口中，进行如10数值试验数值试验11n=8,sp=1.85195370083255n=16,sp=1.85193808500560n=32,sp=1.85193711642985n=64,sp=1.85193705600861n=128,sp=1.85193705223407n=256,sp=1.85193705199819n=512,sp=1.85193705198345n=1024,sp=1.85193705198253n=2048,sp=1.85193705198247n=4096,sp=1.85193705198246n=8192,sp=1.85193705198247复化Simpson公式数值实验结果n=8,sp=1.8519512

数值试验结果用复化Simpson公式求解，当区间分成64份时，计算结果：sp=1.85193705600861比用复化梯形公式，当区间分成8192份时的计算结果：tp=1.85193704808136还要精确。启发：寻求精度更高的求解方法！数值试验结果用复化Simpson公式求解，当区间分成613数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件14数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件15利用复合梯形公式、复合simpson公式、复合Cotes公式等计算定积分时，需根据精度要求确定节点数，即步长的大小，需要笔算求高阶导数解决办法：采用变步长算法通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k

，反复使用复合求积公式，直到相邻两次计算结果之差的绝对值小于指定的精度为止。利用复合梯形公式、复合simpson公式、复合Cotes公式16二、变步长复化求积公式变步长复化求积公式的基本思想：将区间[a,b]逐次分半，建立递推公式，按递推公式计算，直到满足精度要求。1.变步长复化梯形公式二、变步长复化求积公式变步长复化求积公式的基本思想：1.变步17下面推导由n到2n的复化梯形公式下面推导由n到2n的复化梯形公式18数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件19变步长复化梯形公式的递推公式：（由n到2n）变步长复化梯形公式的递推公式：（由n到2n）20数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件21变步长复化梯形求积公式的算法变步长复化梯形求积公式的算法22数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件232.变步长复化Simpson公式2.变步长复化Simpson公式24同理可得变步长复化柯特斯公式同理可得变步长复化柯特斯公式25二、龙贝格(Romberg)方法龙贝格(Romberg)算法是将理查逊(Richardson)外推法应用于数值积分，由低精度求积公式推出高精度求积公式的算法。二、龙贝格(Romberg)方法26数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件27数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件28数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件29数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件30龙贝格算法的计算公式龙贝格算法的计算公式31k01234误差龙贝格序列计算流程k01234误差龙贝格序列计算流程32龙贝格算法的计算过程龙贝格算法的计算过程33数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件34逐次外推计算流程如下：k0123逐次外推计算流程如下：k012335function

R=romberg(s,a,b,n)h=b-a;R(1,1)=h*(feval(s,a)+feval(s,b))/2;fori=2:nx=linspace(a,b,2^(i-1)+1);sm=0;fork=2:2:2^(i-1)sm=sm+feval(s,x(k));

endR(i,1)=R(i-1,1)/2+h*sm/2;forj=2:iR(i,j)=R(i,j-1)+(R(i,j-1)-R(i-1,j-1))/(4^(j-1)-1);

endh=h/2;end

%Romberg.mRomberg算法functionR=romberg(s,a,b,n)36例2使用Romberg积分法计算>>formatlong>>f=inline('sin(x)/x');>>a=0.0+eps;b=pi;n=4;>>R=romberg(f,a,b,n)例2使用Romberg积分法计算37数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件38R=

1.570796326794900001.785398163397451.85693210893163001.835508123280791.852211443241901.8518967321959201.847842306444611.851953700832551.851936518005261.85193714952605比较：n=2048,tp=1.85193698956462；sp=1.85193705198247Romberg算法程序运行结果：R=比较：n=2048,tp=1.851939第二节复化求积公式复化求积公式的基本思想：

将区间[a,b]

分为若干个小子区间，在每个小子区间上使用低阶的Newton-Cotes公式。然后把它们加起来，作为整个区间上的求积公式。

一、复化求积公式第二节复化求积公式复化求积公式的基本思想：40

1、复化梯形公式复化梯形公式为1、复化梯形公式复化梯形公式为41截断误差分析：截断误差分析：422、复化Simpson公式复化Simpson公式的截断误差为复化Simpson公式为2、复化Simpson公式复化Simpson公式的截断误差为43Example1ApproximatetheintegralUsingtheCompositeTrapezoidalruleandCompositeSimpson’srulex=eps:0.01:pi;y=sin(x)./x;plot(x,y);legend('f(x)=sin(x)/x');Example144functionrs=trapezoid(f,a,b,n)h=(b-a)/n;r=(feval(f,a)+feval(f,b))/2;forj=1:n-1x=a+j*h;r=r+feval(f,x);endrs=r*h;

数值试验复化梯形公式Matlab程序将此程序存于work目录中functionrs=trapezoid(f,a,b,n45数值试验

数值试验46n=8,tp=1.84784230644461n=16,tp=1.85091414036536n=32,tp=1.85168137241373n=64,tp=1.85187313510989n=128,tp=1.85192107295303n=256,tp=1.85193305723690n=512,tp=1.85193605329681n=1024,tp=1.85193680231110n=2048,tp=1.85193698956462n=4096,tp=1.85193703637800n=8192,tp=1.85193704808136复化梯形公式数值实验结果n=8,tp=1.8447functionrs=simpson(s,a,b,n)h=(b-a)/n;r=feval(s,a)+feval(s,b);

forj=1:2:n-1x=a+j*h;r=r+4*feval(s,x);

endforj=2:2:n-2x=a+j*h;r=r+2*feval(s,x);

end

rs=r*h/3;复化Simpson公式Matlab程序

数值试验

将此程序存于work目录中functionrs=simpson(s,a,b,n)复48>>formatlong>>f=inline('sin(x)/x');>>a=eps;b=pi;n=8;

%eps是Matlab最小正数

>>sp=simpson(f,a,b,n)在Matlab命令窗口中，进行如下操作：

数值试验>>formatlong在Matlab命令窗口中，进行如49数值试验数值试验50n=8,sp=1.85195370083255n=16,sp=1.85193808500560n=32,sp=1.85193711642985n=64,sp=1.85193705600861n=128,sp=1.85193705223407n=256,sp=1.85193705199819n=512,sp=1.85193705198345n=1024,sp=1.85193705198253n=2048,sp=1.85193705198247n=4096,sp=1.85193705198246n=8192,sp=1.85193705198247复化Simpson公式数值实验结果n=8,sp=1.8519551

数值试验结果用复化Simpson公式求解，当区间分成64份时，计算结果：sp=1.85193705600861比用复化梯形公式，当区间分成8192份时的计算结果：tp=1.85193704808136还要精确。启发：寻求精度更高的求解方法！数值试验结果用复化Simpson公式求解，当区间分成652数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件53数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件54利用复合梯形公式、复合simpson公式、复合Cotes公式等计算定积分时，需根据精度要求确定节点数，即步长的大小，需要笔算求高阶导数解决办法：采用变步长算法通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k

，反复使用复合求积公式，直到相邻两次计算结果之差的绝对值小于指定的精度为止。利用复合梯形公式、复合simpson公式、复合Cotes公式55二、变步长复化求积公式变步长复化求积公式的基本思想：将区间[a,b]逐次分半，建立递推公式，按递推公式计算，直到满足精度要求。1.变步长复化梯形公式二、变步长复化求积公式变步长复化求积公式的基本思想：1.变步56下面推导由n到2n的复化梯形公式下面推导由n到2n的复化梯形公式57数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件58变步长复化梯形公式的递推公式：（由n到2n）变步长复化梯形公式的递推公式：（由n到2n）59数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件60变步长复化梯形求积公式的算法变步长复化梯形求积公式的算法61数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件622.变步长复化Simpson公式2.变步长复化Simpson公式63同理可得变步长复化柯特斯公式同理可得变步长复化柯特斯公式64二、龙贝格(Romberg)方法龙贝格(Romberg)算法是将理查逊(Richardson)外推法应用于数值积分，由低精度求积公式推出高精度求积公式的算法。二、龙贝格(Romberg)方法65数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件66数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件67数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件68数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件69龙贝格算法的计算公式龙贝格算法的计算公式70k01234误差龙贝格序列计算流程k01234误差龙贝格序列计算流程71龙贝格算法的计算过程龙贝格算法的计算过程72数值计算方法第五章第二节-复化求积公式课件73逐次外推计算流程如下：k0123逐次外推计算流程如下：k012374function

R=romberg(s,a,b,n)h=b-a;R(1,1)=h*(feval(s,a)+feval(s,b))/2;fori=2:nx=linspace(a,b,2^(i-1)+1);sm=0;f