复变函数课件

复变函数与积分变换（复变函数＋积分变换）12020/12/27复变函数与积分变换12020/12/27序言复变函数研究的对象：自变量为复数的函数（在高等数学中，我们研究的是自变量和因变量均为实数的函数，因而也称之为实变函数）。22020/12/27序言复变函数研究的对象：22020/12/27复数的引入及其发展过程：在16世纪中叶，意大利人Cardan在解代数方程时，首先产生了负数开平方的思想。例如，解简单的方程x2+1=0时就会－1开平方的问题。为了使负数开平方有意义，也就是要使上述方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。32020/12/27复数的引入及其发展过程：32020/12/27

然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形式上的表示，对复数的概念及性质了解的不清楚，用它们进行计算时就有一些矛盾的结果产生。例如：在莱布尼慈和贝努里的工作中就有因为轻易引进复对数而产生的悖论：42020/12/27然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一

这样取X=1，得矛盾！52020/12/27这样取X=1，得矛盾！52020/12/27因为上述一些问题，复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不可接受的虚数。直到十七、十八世纪，有两个主要原因促使了这种状况的改变：

关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家Euler（欧拉）作出的。他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，用符号“”作为虚数单位，也是他首创的。1微积分的发展；

2复数与平面向量联系起来解决实际问题。62020/12/27因为上述一些问题，复数在历史上的很长一段关于复数复变函数理论的重要意义十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家Cauchy、德国数学家Rieman和Weierstrass的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的许多分支，例如，著名的代数学基本定理：（其中系数都是复数），在复数域内恒有n个解。用复变函数理论来证明是非常简洁的。一元n次方程72020/12/27复变函数理论的重要意义（其中系数都是复数），在复数域内恒有n

现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用。比如，在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一。82020/12/27现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术1.复数的概念

§1复数及其代数运算第一章复数与复变函数其中为虚数单位，满足若，则称为纯虚数。注：１）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等；２）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。

记号：称复数记为为复数的共轭复数,92020/12/271.复数的概念§1复数及其代数运算第一2.复数的代数运算记：

则定义运算如下:

加、减：乘法：

注:除法：运算：102020/12/272.复数的代数运算记：则定义运算如下:加、减：乘容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。此外，共轭复数具有下列性质：1）2）3）例1112020/12/27容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。1）2）3）122020/12/27122020/12/27§2复数的几种表示方法1.复平面坐标（x,y)复数通过下列方式：直角坐标平面中的点将平面直角坐标系引入到复数中来,此时x轴称为实轴，y轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面。借助于复平面，可以用几何语言和方法研究复变函数的问题，也为复变函数的实际应用奠定了基础。1）复数的点表示(见图1)

复数点z以后复数和点将不加区分132020/12/27§2复数的几种表示方法1.复平面坐标（x,y)复数通过o.p(x,y)xyxyor图1图22)复数的向量表示(见图2)p142020/12/27o.p(x,y)xyxyor图1图22)复数的向量表示显然有注:1.

任意非零复数有无穷多个辐角,

2.当z＝0时,|z|=0,辐角规定为任意值.

把满足的幅角称为幅角主值.记为argz，这样，我们有：辐角的主值：152020/12/27显然有注:1.任意非零复数有无穷多个辐角,2.当z＝0162020/12/27162020/12/27复数的向量表示的重要意义：能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变的直观。比如：复数的加、减运算化为向量的运算，而由平行四边形、三角形法则，立即得到下面不等式：还容易看出172020/12/27复数的向量表示的重要意义：还容易看出172020/12/273)复数的三角表示根据可以得到上式称为复数的三角表示。4)复数的指数表示利用欧拉公式：182020/12/273)复数的三角表示根据可以得到上式称为复数的三角表示。4可以得到复数的指数表示式注：复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具体问题时应灵活选用192020/12/27可以得到复数的指数表示式注：复数的各种表达式可以互相转换，在2.复球面．zxyS

.o．NＰ．用如图所示的方法可建立复平面上的点ｚ与球面上的点ｐ（Ｎ除外）之间的一种一一对应的关系，即这样我们就可以用球面上的点来表示复数。202020/12/272.复球面．zxyS.o．NＰ．用如图所示的方问题：球面上的北极Ｎ如何与复平面内的点对应？我们规定：１）复平面上有唯一的“无穷远点”与球面上北极Ｎ对应；２）复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应，并把它记为∞。这样，球面上的每一个点，就有唯一一个复数与它对应，这样的球面称为复球面我们把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面，不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面，或就称复平面对于复数∞来说,实部、虚部与辐角的概念均无意义，其模规定为｜∞｜＝＋∞，对于其它复数z,则有｜z｜<+∞212020/12/27问题：球面上的北极Ｎ如何与复平面内的点对应？我们规定：这样，注：如不声明，我们讨论的都是有限复平面关于∞的运算，规定如下：仍然不确定。222020/12/27注：如不声明，我们讨论的都是有限复平面关于∞的运算，规定如下例3：下列方程各表示什么曲线？4）写出直线的复数形式方程1）2）解：1)，2)的关键是知道的几何意义是表示所以，1）表示圆周，2）表示直线。点到的距离。3）注：复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具体问题时应灵活选用.232020/12/27例3：下列方程各表示什么曲线？4）写出直线的复数形式方3）化为实方程，为此代入，得化简，得，表示一直线4）关键：由得，代入直线方程，得因而可记为，其中

为实数。242020/12/273）化为实方程，为此代入，得化简，得，表示一直线4）关键：由252020/12/27252020/12/27

§3

复数的乘幂与方根运算1．乘积与商：设有两个复数则262020/12/27§3复数的乘幂与方根运算1．乘积与商：结论：两个复数乘积的模等于各自模的乘积，乘积的幅角等于各自幅角之和；两个复数商的模等于各自模的商，商的幅角等于被除数与除数的幅角之差。Arg(z1z2)=Argz1+Argz2，Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2，若记则有集合等式272020/12/27结论：Arg(z1z2)=Argz1+Argz2，Arg(zxyO判断下列说法是否正确？乘法的几何解释(T)(F)282020/12/27xyO判断下列说法是否正确？乘法的几何解释(T)(F)2822.幂与根定义z的n次幂：定义z的负整数次幂则有—棣美弗公式：定义z的n次根：若有wn=z,则称w为z的n次根，记为如何求出z的n次根？292020/12/272.幂与根定义z的n次幂：定义z的负整数次幂则有—棣美弗公比较，得由此得到方根公式令则注：1．任一非零复数开n次方，有且仅有n个不同的根；

2．它们均匀分布在以原点为中心，r1/n为半径的圆周上。

302020/12/27比较，得由此得到方根公式令则注：1．任一非零复数开n次方，例题：2.1.312020/12/27例题：2.1.312020/12/27322020/12/27322020/12/27§4复平面上的点集本节内容：介绍复平面上的几个常见概念与术语1.邻域：平面上以z0为中心，半径为δ的圆内所有点的集合称为z0的一个邻域,记为2.内点：设G为一平面点集，z0为G中一点，若存在z0的某个邻域，该邻域内的所有点都属于G，则称z0为G的一个内点。去心邻域：由不等式0<|z-z0|<δ所确定的点集。注：离散的点集没有内点332020/12/27§4复平面上的点集本节内容：介绍复平面上的几

4.

连通集:如果点集D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来。

3.

开集：如果G内的每个点都是它的内点，那么称G为开集。5.区域:

连通的开集称为区域。6.边界点与边界：设D为复平面内的一个区域，如果点p

不属于D，但p的任意小的邻域内总包含有D中的点，这样的点p称为D的边界点。

D的所有边界点组成D的边界。区域的边界可能是有几条曲线和一些孤立的点组成。7.闭区域:区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域，记作。342020/12/274.连通集:如果点集D中任何两点都可以用完全属于D的一8.有界域：如果区域D可以包含在一个以原点为中心的圆里面，则称D为有界的。否则称为无界的。

有界性的数学描述:若存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|<M,则称D为有界的。9.连续曲线:如果实函数x=x(t).y=y(t),(a≤t≤b)连续，则称曲线c:z(t)=x(t)+iy(t)为复平面上的一条连续曲线。z(a)与z(b)分别称为c的起点和终点。在平面直角坐标系中表示一条曲线，自然地，复数方程就表示复平面上的一条曲线。我们知道，实变量参数方程352020/12/278.有界域：如果区域D可以包含在一个以原点为中心的圆有11.简单曲线与简单闭曲线：连续但自身不相交的曲线称为简单曲线或若当（Jardan)曲线。如果简单曲线的起点与终点重合，即z(a)＝z(b)，则称此曲线为简单闭曲线。12.

简单闭曲线的内部与外部：复平面中的任一条简单闭曲线c把整个平面唯一地分成三个部分，一个是有界区域，称为c的内部，另一个是无界区域，称为c的外部，

c为它们的公共边界。10.光滑曲线：若x(t)和y(t)的导数也是连续的，且满足，称此曲线为是光滑的。362020/12/2711.简单曲线与简单闭曲线：连续但自身不相交的曲线称12.13.单连通、多连通区域：复平面上的一个区域D,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部仍属于D，则称D

为单连通域，不是单连通域的都叫多连通域。注：1.多连通区域的一个显著特点：内部含有洞或裂缝。

2.任一简单闭曲线将复平面分为内、外两部分，内部单连通，外部多连通。

3.属于单连通域D内的任何一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而缩成一点，多联通区域不具备这个特征。372020/12/2713.单连通、多连通区域：复平面上的一个区域D,如果在其注§5复变函数的极限与连续性1.复变函数的定义：设G是一个复数集合,如果对于集合G中的每一个数z,按照一定的法则，就有一个或几个复数w与之对应，那么就称复变数w是复变数z的函数，简称复变函数。记作则复变函数又可表示为：注：若记即一个一元复变函数实际上对应于两个二元实变函数。几个名词：单值函数，多值函数，定义集合，函数值集合，定义域等。382020/12/27§5复变函数的极限与连续性1.复变函数的定义：设G是一个复如:2、映射：映射是现代数学中的一个常用概念ABab。。

定义：若对集合A中的任一元素a，按照某种对应关系f总有集B中的元素b相对应，则称f是集合

A到集合B的一个映射，记为f:a→b，a、b分别称为映射的原象和象

392020/12/27如:2、映射：映射是现代数学中于是，如果例题1：考察的映射性质解：记原象点，则象点因此，象点与原象点相比，模是原来的平方，幅角是原来的二倍，这样不难发现，这一映射有这样的特性：将顶点在原点的角形域映成角形域，只不过夹角扩大为二倍。如：将z平面第一象限映成w平面一、二象限，将单位圆映成单位圆。用z平面上的点表示自变量z的值

用另一平面（w平面）上的点表示函数w的值，则函数w=f(z)就可以看作是从z平面上的点集G（定义值集合）到w平面上的一个点G*集（函数值集合）映射（或变换）。402020/12/27于是，如果例题1：考察的映射性质解：记原象点，则象点因此，象例题2.函数把z平面上的曲线映成w平面什么曲线?解：原象曲线的复方程为：代入映射函数中，得到象曲线方程为：记则——这就是象曲线的实参数方程。消去参数,得这是一圆周412020/12/27例题2.函数把z平面上的曲线映成w平面什么曲线?解：原象

假定函数ｗ＝f(z)的定义集合为z平面上的集合G，函数值集合为w平面上的集合G*，那么G*中的每一个点w必将对应着G中的一个（或几个）点。按照函数的定义，在G*上就确定了一个单值（或多值）函数z=g(w)，它称为w=f(z)的反函数，也称为映射w=f(z)逆映射。显然，函数与其反函数之间有如下关系：对于任意w∈G*，有w=f[g(w)]；当反函数为单值函数时，有z=g[f(z)],z∈G。

为了方便，我们以后不再区分函数与映射。如果映射与其逆映射都是单值的，我们称此映射是一一对应的。复变函数的的反函数：422020/12/27假定函数ｗ＝f(z)的定义集合为z平面上的集合3.函数的极限

定义：设函数w=f(z)在z0的去心邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0,相应地总有δ>0存在，使得当0<|z-z0|<δ时，恒有|f(z)-A|<ε成立，则称A为f(z)当z趋向于Z0时的极限。记作：或者注：从形式上来看，复变函数的极限定义与一元实函数是完全类似的，但实际上二者有很重要的区别。主要是因为在复平面上，变量z趋于z0的方式有无穷多种，可以从不同的方向，既可以沿直线，也可以沿曲线。这一点跟二元函数的极限又有相似之处。432020/12/273.函数的极限定义：设函数w=f(z)在z0的去心所以，如果仅凭某几个特殊方向，还不能判断极限存在。当然了，如果方向不同，变化趋势也不一样，则极限一定不存在。相关性质442020/12/27所以，如果仅凭某几个特殊方向，还不能判断极限存在。当然了，如452020/12/27452020/12/27定理的重要意义在于将复变函数的极限问题转化为两个二元实函数的极限问题，这是在高等数学中已经讨论过的问题。4.函数的连续性

462020/12/27定理的重要意义在于将复变函数的极限问题转化为两个二元实函数的由此，复函数的连续性问题也转化为相应的实问题本定理的证明可根据定理1立即得到相关性质472020/12/27由此，复函数的连续性问题也转化为相应的实问题本定理的证明可根根据定理2和定理3还可推得定理4.1)连续函数的和、差、积、商仍是连续函数

2)连续函数的复合函数还是连续函数2.在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z)在曲线上是有界的。即存在正数M，在曲线上恒有|f(z)|≤M。3.因一般复数不能比较大小，故实连续函数的最大、最小值定理，介值定理不再成立。注482020/12/27根据定理2和定理3还可推得定理4.1)连续函数的和、差、积课堂练习：因而是一椭圆492020/12/27课堂练习：因而是一椭圆492020/12/27解：共有n个证明根之和为0，直接相加不方便，简单的方法为：然后呢？比较两端n-1次幂的系数！由此还可看出，n个根的乘积为（-1)n+1502020/12/27解：共有n个证明根之和为0，直接相加不方便，简单的方法为：然z1z2z3w1w2w3等式说明：所以表示二三角形相似！512020/12/27z1z2z3w1w2w3等式说明：所以表示二三角形相似！51

本章主要内容：解析的概念，解析函数的判别，五类基本初等函数

复变函数的主要研究对象是解析函数，因为，一方面它具有比较良好的性质，如能展成幂级数，具有任意阶导数，实、虚部皆为调和函数，另一方面这也是实际问题中应用较为广泛的一类函数，如平面无旋流体的流函数与势函数，静电场中的电通量和电位，二者皆构成复变的解析函数。第二章解析函数522020/12/27本章主要内容：解析的概念，解析函数的判别，

§2.1解析函数的概念

1.复变函数的导数1)导数概念：

532020/12/27§2.1解析函数的概念1.复变导数的几种表达方式542020/12/27导数的几种表达方式542020/12/27若上述极限不存在，则称函数在z0点不可导；若函数在区域D内每一点处都可导，则称其在区域D上可导，其结果与实函数结果一样。注:与实函数的导数定义类似,复变函数的导数定义也有相应的语言描述，这里省略。552020/12/27若上述极限不存在，则称函数在z0点不可导；其结果与实函数结果2）可导与连续之间的关系容易看出,此极限不存在,即该函数处处不可导。与实函数一样，可导一定连续，但反之不成立。处处连续但处处不可导，这样的函数在复变函数中极易获得，然而在实函数中要想得到一个处处连续但处处不可导的函数却很不容易。562020/12/272）可导与连续之间的关系容易看出,此极限不存在,与实函数一样可导必连续的证明，在形式上与一元实函数相关结论的证明完全相同。572020/12/27可导必连续的证明，在形式上与一元实函数相关结论的证明完全相同由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：3）求导法则

582020/12/27由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在3）求导法则（5）反函数的导数，其中w=f(z)

与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.这样，我们知道多项式处处可导.例如，另外，有理分式在分母不为零的点处可导.592020/12/27（5）反函数的导数思考题结论：例如602020/12/27思考题结论：例如602020/12/27事实上612020/12/27事实上612020/12/272.解析函数的概念不解析的点称为奇点。注：（1）可导与解析是两个完全不同的概念，不解析的点可能可导，即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论：定理：若函数在区域D内可导，则D内定解析。即在区域上，可导与解析是等价的。（为什么？）622020/12/272.解析函数的概念不解析的点称为奇点。注：（1）可导与解即不可能存在离散的、孤立的解析点。例：研究下列函数的解析性632020/12/27即不可能存在离散的、孤立的解析点。例：研究下列函数的解析性65）有理分式，定义域内解析，原因同上。注：由求导法则，不难看出：

解析函数的和、差、积、商仍为解析函数，解析函数的复合函数仍是解析函数。642020/12/275）有理分式，定义域内解析，原因同上。注：由求导法则，不难看§2.2函数可导与解析的条件

当一个复函数用其实部和虚部表示时,本节介绍一种判别函数可导性、解析性的非常有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部的偏导之间的关系.652020/12/27§2.2函数可导与解析的条件当一个复函数用其实部和举例尝试容易求得观察、寻找联系后发现有662020/12/27举例尝试容易求得观察、寻找联系后发现有662020/12/2究竟是偶然的现象还是必然的规律？

？672020/12/27究竟是偶然的现象还是必然的规律？？672020/12/27定理1函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在可微，且在该点满足Cauchy-Riemann方程682020/12/27定理1函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性；

ii)验证C-R条件.注：

可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.692020/12/27使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导定理2

函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Rieman方程702020/12/27定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在例1

判定下列函数在何处可导，在何处解析：712020/12/27例1判定下列函数在何处可导，在何处解析：712020722020/12/27722020/12/27732020/12/27732020/12/27例2证明742020/12/27例2证明742020/12/27小结1、导数的概念，复变函数求导法则.2、解析的概念，解析与可导的关系.3、判别复变函数解析性的有效方法：

柯西—黎曼定理.f(z)在区域D内可导f(z)在区域D内解析

f(z)在z0点解析

f(z)在z0点可导

f(z)在z0点连续752020/12/27小结1、导数的概念，复变函数求导法则.2、解析的概念，

练习：1、判别真、假：762020/12/27练习：1、判别真、假：762020/12/272、证明罗比达法则：提示：772020/12/272、证明罗比达法则：提示：772020/12/27

本节内容：介绍几类基本初等函数，应注意各类函数的定义及特性。一、指数函数

思想：在复平面内，定义一个类似于实函数中ex的函数，使它满足下列条件§3五类初等解析函数782020/12/27本节内容：介绍几类基本初等函数，应注意各类函数2.性质：由定义，复指数函数有以下特性：注：这里ez没有幂的含义，仅仅是一个记号，关于幂的意义后面再讲。792020/12/272.性质：由定义，复指数函数有以下特性：注：这里ez没有以上三条性质与实指数函数相同

这个性质是实变指数函数所没有的！容易得出如下结论802020/12/27以上三条性质与实指数函数相同这个性质是实变指数函数所xy(z)vu(w)带形区域角形区域映射的几何特点812020/12/27xy(z)vu(w)带形区域角形区域映射的二、对数函数即对数函数是指数函数的反函数。例题822020/12/27二、对数函数即对数函数是指数函数的反函数。例题82202至此，我们得到对数函数的计算公式：832020/12/27至此，我们得到对数函数的计算公式：832020/12/27注:上式中，对于每一个固定的k，称为Lnz的一个单值分支。842020/12/27注:上式中，对于每一个固定的k，称为Lnz的一个单值分支。或者852020/12/27或者852020/12/273、运算性质（1）应当注意，由于对数函数的多值性，对于上述等式的理解应与复数的乘积和商中关于辐角的等式一样。（2）（3）可以证明，如下等式成立862020/12/273、运算性质（1）应当注意，由于对数函数的多值性，对于上述等4、分析性质考虑其主值分支容易看出，除去原点与负实轴外，lnz在其它点处处连续显然，

lnz在除去原点与负实轴的复平面解析，Lnz的其它分支也是如此，且它们有相同的导数值。今后我们在应用Lnz时，总是指它在除去原点和负实轴的平面内的某一分支。872020/12/274、分析性质考虑其主值分支容易看出，除去原点与负实轴外，ln2.计算公式：思考882020/12/272.计算公式：思考882020/12/27说明892020/12/27说明892020/12/27----n值函数902020/12/27----n值函数902020/12/273.幂函数及其性质912020/12/273.幂函数及其性质912020/12/27例题922020/12/27例题922020/12/27四、三角函数，双曲函数据此，我们上述公式推广到复三角函数如下：*****复三角函数是由指数函数定义的932020/12/27四、三角函数，双曲函数据此，我们上述公式推广到复三角函数如下2、三角函数性质如此定义出来的复三角函数是否具有实三角函数的特性，如周期性、三角恒等式？答案是基本成立942020/12/272、三角函数性质如此定义出来的复三角函数是否具有实三角函数的5）三角恒等式实三角函数恒等式对复三角函数也成立，如952020/12/275）三角恒等式实三角函数恒等式对复三角函数也成立，如9520证：代入验证即可。962020/12/27证：代入验证即可。962020/12/27972020/12/27972020/12/27五、反三角函数，反双曲函数

需要指出的是，因三角函数、双曲函数都是通过指数函数来表示的，故此，它们的反函数最终都可通过对数函数表示，且一般为多值函数。982020/12/27五、反三角函数，反双曲函数需要指出的是，因992020/12/27992020/12/271002020/12/271002020/12/27

本章内容小结：1、解析概念，与可导的关系2、解析的判别：C-R定理3、五类基本初等函数1012020/12/27本章内容小结：1012020/12/P67习题9证明柯西-黎曼方程的极坐标形式是证明：类似地可以证明上面第二个等式。1022020/12/27P67习题9证明柯西-黎曼方程的极坐标形式是证明：类似1032020/12/271032020/12/27§1、复变函数积分的概念1.积分的定义第三章复变函数的积分有向曲线：规定了正方向的曲线c称为有向曲线。设曲线c的两个端点为A与B，如果把从A到B的方向作为c的正方向，那么从B到A的方向就是c的负方向，即为c—。简单闭曲线的正方向:是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时，临近P点的曲线内部始终位于P点的左方。注：这里关于简单闭曲线正向的规定与以前区域的正向边界的规定不同1042020/12/27§1、复变函数积分的概念1.积分的定义第三章复变

首先我们回忆一下高等数学中关于定积分的极限定义，主要分为如下几个步骤：1052020/12/27首先我们回忆一下高等数学中关于定积分的极限定义，主要分类似的，我们定义复变函数的积分如下：ABczkZk-11062020/12/27类似的，我们定义复变函数的积分如下：ABczkZk-11062.积分存在的条件及其计算方法1072020/12/272.积分存在的条件及其计算方法1072020/12/27根据对坐标的曲线积分的知识，我们知道，当函数是连续函数而C是光滑曲线时，上式右端的两个和式的极限是存在的，因此有注：从形式上来看，上式可以看作是经过如下的运算得到的，所以是容易记住的。1082020/12/27根据对坐标的曲线积分的知识，我们知道，当函数注：从形式上来看下面继续讨论积分的计算。记c的参数方程为：正方向为参数增加的方向，则根据曲线积分的计算方法，有1092020/12/27下面继续讨论积分的计算。记c的参数方程为：正方向为参数增加的3.积分的性质1）线性性质2）对积分曲线的可加性3）积分曲线具有方向性1102020/12/273.积分的性质1）线性性质2）对积分曲线的可加性3）积分此估计式是这样导出的：4）积分估计式1112020/12/27此估计式是这样导出的：4）积分估计式1112020/12/2(0,0)(1,1)Y=x21122020/12/27(0,0)(1,1)Y=x21122020/12/27实际上，原积分还可以写成容易验证，上式中两个积分都是与路径无关的。1132020/12/27实际上，原积分还可以写成容易验证，上式中两个积分都是与路径无03+4i34于是，1142020/12/2703+4i34于是，1142020/12/27可以看出，沿着不同的积分路径，该积分有不同的值。1152020/12/27可以看出，沿着不同的积分路径，该积分有不同的值。115202(0,0)(1,1)1162020/12/27(0,0)(1,1)1162020/12/27于是，1172020/12/27于是，1172020/12/27综上所述，我们有

记住这一结果，后面经常用到。注意该结果与圆心、圆的半径没有关系1182020/12/27综上所述，我们有记住这一结果，后面经常用到。注意该结果与圆1192020/12/271192020/12/271202020/12/271202020/12/271212020/12/271212020/12/27

那么我们的问题就是：在什么条件下复变函数的积分与积分路径无关？此问题等价于沿任意的闭曲线积分是否等于零的问题，即

1.柯西-古萨基本定理讨论的问题§2柯西-古萨基本定理

复变函数的积分在计算中实际上等同于对坐标的曲线积分，这就很很自然地的引出积分与路径无关的问题。下面我们从曲线积分的角度来考察这个问题。1222020/12/27那么我们的问题就是：在什么条件下复变函数的积分

回忆一下高等数学中关于曲线积分与路径无关的条件：？1232020/12/27回忆一下高等数学中关于曲线积分与路径无关的条件：？123这不就是柯西-黎曼方程吗？根据上述，我们可以得到如下的结论：应用上述结论，得到积分与路径无关的条件为1242020/12/27这不就是柯西-黎曼方程吗？根据上述，我们可以得到如下的结论：2.该定理的主要内容是柯西在研究水波传播问题时通过计算一些复积分而发现的（1825年），而古萨对其进行了改进并给出了严格证明(1900年）.实际上，我们有下列更一般的结论注1.定理中的曲线可以不是简单曲线。2.柯西-古萨基本定理及其推论1252020/12/272.该定理的主要内容是柯西在研究水波传播问题时通过计算一些定理的推论注：利用这一结论，我们在计算某些积分只须检查C内及

C上是否有奇点即可，若没有的话，积分一定为01262020/12/27定理的推论注：利用这一结论，我们在计算某些积分只须检查C内研究的问题：将单连通区域上的柯西基本定理推广到多连通区域中。§3基本定理的推广—复合闭路定理DccD图1图21272020/12/27研究的问题：将单连通区域上的柯西基本定理推广到多连通区域中。对于情形2，我们有如下的结论：c1cDAA’B’BEE’FF’证明:连接C上点A到C1上点A’

以及C1上点B’到C上点B，则有：1282020/12/27对于情形2，我们有如下的结论：c1cDAA’B’BEE’FF将上面两等式相加，并先展开后再重新组合，可以得到即或这说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不会因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中不经过函数f(z)的不解析的点。——闭路变形原理1292020/12/27将上面两等式相加，并先展开后再重新组合，可以得到即或这说明一

如果把如上两条简单闭曲线C及C1-看成是一条复合闭路г，且规定它的正向为：外面的闭曲线C按逆时针进行，里面的闭曲线C1按顺时针进行，那么有同样的方法，我们还可以证明更一般的结论：CC1C2C31302020/12/27如果把如上两条简单闭曲线C及C1-看成是一条复合该定理的证明方法同前面一样，无非是多加几条辅助线，最后辅助线上的积分仍然抵消。由上述定理，我们可以立即得到如下有用的结论：1312020/12/27该定理的证明方法同前面一样，无非是多加几条由上述定理，我们可解：根据前面的一些结论，首先首先确定被积函数在c内的解析情况，为此，需分两种情况讨论：1322020/12/27解：根据前面的一些结论，首先首先确定被积函数1322020/。z0c1332020/12/27。z0c1332020/12/27解：根据被积函数的奇点与积分曲线c的位置关系，此题须分四种情况讨论：1342020/12/27解：根据被积函数的奇点与积分曲线c的位置关系，此题须分四种。1。2此时还可以这样求解：c1c21352020/12/27。。此时还可以这样求解：c1c21352020/12/27§4原函数与不定积分

假设函数f(z)在单连通区域B内解析，则对B内以z0为起点，z为终点的任意曲线上的积分都相等，即积分只与起点、终点有关，因而可记为上式从形式上看类似于高等数学中的变上限积分，事实上不仅如此，而且性质也一样：当终点z变化时，上式可视为变量z的函数，因而可得到1362020/12/27§4原函数与不定积分假设函数f(z)在单连z0zz+△z1372020/12/27z0zz+△z1372020/12/27根据积分估值性质1382020/12/27根据积分估值性质1382020/12/27注：1）容易证明，f(z)的任何两个原函数相差一常数类似于牛顿-莱布尼兹公式，我们有以下结论：1392020/12/27注：1）容易证明，f(z)的任何两个原函数相差一常数类似于牛注：有了原函数、不定积分和上述公式，许多复变函数的积分就可以用定积分的类似方法来计算了，需要指出的是要注意验证是否满足定理中的条件。1402020/12/27注：有了原函数、不定积分和上述公式，许多复变1402020/1412020/12/271412020/12/27研究的问题：分析：§5

柯西积分公式1422020/12/27研究的问题：分析：§5柯西积分公式1422020/1z0定理（柯西积分公式）.z0CK证明：D1432020/12/27z0定理（柯西积分公式）.z0CK证明：D14320201442020/12/271442020/12/271452020/12/271452020/12/27

柯西积分公式是本章的又一重要结论，它从理论上揭示了解析函数的又一特征：边界上的函数值能唯一确定区域内部点处的函数值。此外，柯西积分公式还是研究解析函数的有力工具1462020/12/27柯西积分公式是本章的又一重要结论，它从146202

另外，对我们来讲，更重要的是这一公式提供了柯西型积分这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的的平均值。1472020/12/27另外，对我们来讲，更重要的是这一公式提供这就1482020/12/271482020/12/271492020/12/271492020/12/27故我们先围绕两个奇点各做一个小圆周，然后应用复合闭路原理将原积分化为两个积分，最后对每一积分便可应用柯西积分公式了（如图）。。i。-icc1c21502020/12/27故我们先围绕两个奇点各做一个小圆周，然后。i。-icc1c2练习：1512020/12/27练习：1512020/12/27§6

解析函数的高阶导数

复变函数中的解析函数与一元实函数中的可导函数的一个很大的不同在于解析函数具有任意阶的导数。具体说来，有

显然，当

n=1时即为柯西积分公式，所以该公式可视为柯西积分公式的推广。1522020/12/27§6解析函数的高阶导数复变函数中的解析关于本定理得严格证明可参看教材。1532020/12/27关于本定理得严格证明可参看教材。1532020/12/27注：1）定理说明，解析函数的高阶导数仍未解析函数，它从理论上揭示了解析函数的又一重要特征。

2）定理中公式的重要实际应用在于可以通过求导数来计算积分,即1542020/12/27注：1）定理说明，解析函数的高阶导数仍未解析函数，它从理论上。-1。0cc1c2解：C内有两个奇点0,-1，故此先应用复合闭路定理，化为两个积分，然后再对每一积分应用柯西积分公式或高阶导数公式。1552020/12/27。。cc1c2解：C内有两个奇点0,-1，故此先15520

。i。-icc1c21562020/12/27。i。-icc1c21562020/12/271572020/12/271572020/12/271582020/12/271582020/12/271592020/12/271592020/12/271602020/12/271602020/12/27主要内容：1、复常数项级数及其敛性2、幂级数及其收敛半径3、函数的泰勒展开4、函数的罗朗展开第四章级数1612020/12/27主要内容：1、复常数项级数及其敛性2、幂级数及其收敛半径3、1.复数列的极限不收敛的数列称为发散数列§1复数项级数定理一（复数列与实数列的收敛性关系）：1622020/12/271.复数列的极限不收敛的数列称为发散数列§1复数项级数定即：一个复数列的收敛性等价于与其实部、虚部构成的二个实数列的收敛性。1632020/12/27即：一个复数列的收敛性等价于与其实部、虚部1632020/11642020/12/271642020/12/272.级数概念1652020/12/272.级数概念1652020/12/27再由定理一关于数列极限存在的充要条件便可得到结论。1662020/12/27再由定理一关于数列极限存在的充要条件便可得到结论。16620定理二将复级数敛散性问题化为相应的实级数问题，从而复级数敛散性问题得到间接解决。复习：常见实级数敛散性判别法：1）比较法，2）比值法（达朗贝尔判别法），3）交错级数的莱布尼兹判别法即：收敛级数一般项极限为0。1672020/12/27定理二将复级数敛散性问题化为相应的实级数问题，从而复级数敛散1682020/12/271682020/12/271692020/12/271692020/12/271702020/12/271702020/12/27对于原级数，分离一般项实、虚部，得1712020/12/27对于原级数，分离一般项实、虚部，得1712020/12/27§2幂级数1.幂级数概念1722020/12/27§2幂级数1.幂级数概念1722020/12/27关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：1732020/12/27关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：173202定理一（阿贝尔引理）级数皆收敛且绝对收敛。级数皆发散。。z0收敛点。z0发散点1742020/12/27定理一（阿贝尔引理）级数皆收敛且绝对收敛。级数皆发散。证明：1）（收敛数列必有界！）至此，有因右端收敛，由比较法，左端也收敛。1）证毕至于2），实际上为1）的逆否命题，也成立。1752020/12/27证明：1）（收敛数列必有界！）至此，有因右端收敛，由比较法，阿贝尔定理说明：

以原点为心，过收敛点作圆周，则圆内点皆收敛且绝对收敛。

以原点为心，过发散点作圆周，则圆外点皆发散。2.收敛圆与收敛半径1762020/12/27阿贝尔定理说明：以原点为心，过收敛点作圆周，则圆内点

根据阿贝尔引理，所有幂级数的收敛情况不外乎以下三种可能：1）处处收敛，即收敛点集为整个复平面。2）除z=0外处处发散。3）既存在使级数收敛的正实数，也存在使级数发散的正实数。下面对情况3）作进一步的分析。

我们考虑正实轴上的收敛点和发散点。

首先，收敛点和发散点不会相间分布，收敛点以左的为收敛点，发散点以右的为发散点。据此，动点从原点1772020/12/27根据阿贝尔引理，所有幂级数的收敛情况不外乎以下三种出发往右移动，首先进入的是收敛点区，然后会遇到发散点。收敛点集与发散点集有唯一的分界点，记为R，则

综上所述，便得如下结论：幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域。幂级数在圆内收敛，在圆外发散。此圆称为收敛圆，圆的半径R称为幂级数的收敛半径。在圆周上是收敛还是发散不能作出一般的结论，要具体问题具体分析。1782020/12/27出发往右移动，首先进入的是收敛点区，然后会遇到发散点。收敛点解：级数的部分和：1792020/12/27解：级数的部分和：1792020/12/273.收敛半径的求法1802020/12/273.收敛半径的求法1802020/12/27例2：求下列幂级数的收敛半径1812020/12/27例2：求下列幂级数的收敛半径1812020/12/27练习：求下列幂级数的收敛半径：1822020/12/27练习：求下列幂级数的收敛半径：1822020/12/27（即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并同次幂系数）注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成立。但这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上面两个级数中的较小一个收敛半径。4.幂级数运算和性质幂级数的加、减、乘法运算规则：1832020/12/27（即用第一个幂级数的每一项乘第二个级数，然后合并同次幂系数）幂级数的分析性质1842020/12/27幂级数的分析性质1842020/12/272）s(z)在收敛内可逐项求导，即注：性质2）和3）为用间接法将函数展开成幂级数提供了极大的方便。3)s(z)在收敛圆盘内可逐项积分，即1852020/12/272）s(z)在收敛内可逐项求导，即注：性质2）和3）为用间接§3泰勒级数

我们知道一个幂级数的和函数在他的收敛圆的是解析函数，现在我们考虑与此相反的问题：一个解析函数是否能用幂级数来表示？1.泰勒展开定理

对实函数而言，一个关键性条件是：应在展开点处具有任意阶导数。

对于复变函数来说，由于解析函数具有任意阶的导数，所以这一条件是满足的。下面给出关于这一问题的结论。1862020/12/27§3泰勒级数我们知道一个幂级数的和函。z0.zk1872020/12/27。.zk1872020/12/27将此式代入柯西积分公式，并将其写为如下形式1882020/12/27将此式代入柯西积分公式，并将其写为如下形式1882020/11892020/12/271892020/12/271902020/12/271902020/12/27证毕

定理中的公式称为函数f(z)在z0的泰勒展开式，它右端的级数称为f(z)在z0的泰勒级数，其形式与实变函数的情形完全一样。1912020/12/27证毕定理中的公式称为函数f(z)在z0的泰勒展开1922020/12/271922020/12/272.函数展开成幂级数（一）直接展开法1932020/12/272.函数展开成幂级数（一）直接展开法1932020/121942020/12/271942020/12/27注：以上几个展式显然与相应的实函数展式一致。1952020/12/27注：以上几个展式显然与相应的实函数展式一致。1952020/（二）间接展开法

通过对函数进行变形（如：加项、减项，同乘、同除，三角恒等式，有理式分解）；逐项积分；逐项求导等方法将要展开的函数化成上面已知展式的基本函数上去，然后展开的方法。逐项积分，得到1962020/12/27（二）间接展开法通过对函数进行变形（如：加项、减项，（逐项积分、求导，收敛半径不变）1972020/12/27（逐项积分、求导，收敛半径不变）1972020/12/27解：函数为有理分式，对此常见的处理方法为分解：收敛域呢？应为二者的公共部分，即1982020/12/27解：函数为有理分式，对此常见的处理方法为分解：收敛域呢？应为解：1992020/12/27解：1992020/12/27由幂级数乘法运算规则，2002020/12/27由幂级数乘法运算规则，2002020/12/272012020/12/272012020/12/27然后，合并、化简，得2022020/12/27然后，合并、化简，得2022020/12/27练习：1、幂级数展开，并求收敛半径最后R=22032020/12/27练习：1、幂级数展开，并求收敛半径最后R=22032020/应用乘法运算乘开，得2042020/12/27应用乘法运算乘开，得2042020/12/27比较系数，得2052020/12/27比较系数，得2052020/12/27解得：至此，我们得到2062020/12/27解得：至此，我们得到2062020/12/27本节内容小结一、泰勒展开定理（函数展成幂级数的条件，系数计算公式，收敛半径）二、几个简单函数的泰勒展式三、函数的间接展开2072020/12/27本节内容小结一、泰勒展开定理（函数展成幂级数的条件，系数计算§4洛朗级数1.罗朗级数研究的问题

此级数不同于我们通常考虑的幂级数，级数两边各无尽头，没有首项。我们规定如下：双边幂级数收敛当且仅当都收敛。2082020/12/27§4洛朗级数1.罗朗级数研究的问题此级数不同于

综上所述，如果双边幂级数的收敛域存在，则应为一圆环区域：下面考虑双边幂级数的收敛区域。2092020/12/27综上所述，如果双边幂级数的收敛域存在，则应为一圆环注：1、R1可能为0，R2可能为无穷。2、有时可能收敛域并不存在。3、同幂级数一样，也可对双边幂级数进行加、减、乘法运算。结论：双边幂级数具有幂级数的所有性质。例如，其和函数在收敛圆环内解析，且可逐项积分、逐项求导。2.洛朗展式与洛朗级数

问题:在圆环内解析的函数能否一定展成双边幂级数？2102020/12/27注：1、R1可能为0，R2可能为无穷。2、有时可能收敛域并不2112020/12/272112020/12/27.z0.zK1K22122020/12/27.z0.zK1K22122020/12/272132020/12/272132020/12/272142020/12/272142020/12/27证毕

定理中的展式称为函数f(z)在圆环域内的洛朗展式。展式右边的级数称为f(z)在此圆环域的洛朗级数。2152020/12/27证毕定理中的展式称为函数f(z)在圆环域内的洛注：

1、展式中的系数公式不能象泰勒公式一样化为：2、展式中的正幂次部分和负幂次部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。3、一个在某一圆环内解析的函数展成含有正负幂项的级数是唯一的，就是洛朗级数。2162020/12/27注：不能象泰勒公式一样化为：2、展式中的正幂次部分和负幂次部证毕2172020/12/27证毕2172020/12/273.函数展开成洛朗级数（1）直接展开法：利用系数公式计算积分展开；（2）间接展开法：利用一些已知的泰勒展式展开。解：要求将函数表示成一般项为cnzn级数形式，2182020/12/273.函数展开成洛朗级数（1）直接展开法：利用系数公式计算解：注意到展开的前提条件是圆环区域内解析注：这里展式不含负幂次项，为罗朗展式的一个特例。2192020/12/27解：注意到展开的前提条件是圆环区域内解析注：这里展式不含负幂为避免级数相乘，函数改写为：下面的做法便跟上题一样了：解题时注意展开域及展开点练习：2202020/12/27为避免级数相乘，函数改写为：下面的做法便跟上题一样了：解题时展开后检查一下是否符合要求正确吗？2212020/12/27展开后检查一下是否符合要求正确吗？2212020/12/27正确解法：2222020/12/27正确解法：2222020/12/27分析：与前面提法不同的是：这里只告诉展开点。因此首先要做的是：将以z=0为圆心，且使函数在其内部解析的所有圆环区域找出来。寻找圆环区域的方法：以z=0为心，过函数的奇点做圆周，这些圆周将复平面分割成的若干圆环域便是所求区域。2232020/12/27分析：与前面提法不同的是：这里只告诉展开点。因此首先要做的是13由此，本题得到三个圆环域：这样，需分三种情况讨论：注意到因此：2242020/12/2713由此，本题得到三个圆环域：这样，需分三种情况讨论：注意到2252020/12/272252020/12/272262020/12/272262020/12/27本节内容小结一、罗朗级数概念，收敛域，和函数性质二、函数的罗朗展开定理（条件，系数公式）三、间接法将函数展成罗朗级数注意问题的两种提法：

1）给出展开的圆环域2）给出展开点（此时需讨论）2272020/12/27本节内容小结一、罗朗级数概念，收敛域，和函数性质二、函数的罗本章内容小结一、常数项级数收敛概念及敛散性判别二、幂级数阿贝尔引理，收敛半径，半径公式，和函数性质三、泰勒展开定理，将函数展成泰勒级数四、罗朗展开定理，将函数展成罗朗级数2282020/12/27本章内容小结一、常数项级数收敛概念及敛散性判别二、幂级数阿贝第五章留数本章内容：1、孤立奇点及其分类2、留数概念及其计算3、留数在计算定积分中的应用2292020/12/27第五章留数本章内容：1、孤立奇点及其分类22920§1孤立奇点1.孤立奇点概念注：2302020/12/27§1孤立奇点1.孤立奇点概念注：2302020/12皆为孤立奇点.(2)若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点2.孤立奇点的分类分类原则：2312020/12/27皆为孤立奇点.(2)若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤（1）可去奇点：展式中不含z-z0负幂次项，即2322020/12/27（1）可去奇点：展式中不含z-z0负幂次项，即2322020

即：补充函数在可去奇点的定义，此奇点就可以变为解析点。“可去”一词的解释：(2)极点:展式中只有有限多个负幂次项,即可去奇点处的极限：2332020/12/27即：补充函数在可去奇点的定义，此奇点就可以变为解析点按定义，极点级数指展式中负幂次项的最高次数。2342020/12/27按定义，极点级数指展式中负幂次项的最高次数。2342020/由此结论成立证明2352020/12/27由此结论成立证明2352020/12/27（3）本性奇点：展式中含无穷多负幂次项。极点处的极限2362020/12/27（3）本性奇点：展式中含无穷多负幂次项。极点处的极限236函数在本性奇点处有如下性质：2372020/12/27函数在本性奇点处有如下性质：2372020/12/273.孤立奇点分类判别法(1)根据洛朗展式判别以上函数皆可在Z=0点很容易的展开，由此不难判断出奇点类型(2)考察函数在奇点处的极限2382020/12/273.孤立奇点分类判别法(1)根据洛朗展式判别以上函数注：在求复变函数的极限时，也有同实函数类似的罗必塔法则。2392020/12/27注：在求复变函数的极限时，也有同实函数类似2392020/1同理，对于右端导数比值，我们有：2402020/12/27同理，对于右端导数2402020/12/27比较得：左=右因而结论成立。证毕2412020/12/27比较得：左=右2412020/12/274.函数的零点与极点的关系

在函数零点的级数判别时，下面的结论有时是很方便的。2422020/12/274.函数的零点与极点的关系在函数零点的级数判别时，下充分性由上面过程倒推易证。2432020/12/27充分性由上面过程倒推易证。2432020/12/27定理（极点与零点关系）结论：一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的。2442020/12/27定理（极点与零点关系）结论：一个不恒为零的解析函数的零点是孤2452020/12/272452020/12/27上面定给出了一个判别极点阶数的有效方法（怎样看出是极点？）为了判断极点级数，我们考察其倒函数2462020/12/27上面定给出了一个判别极点阶数的有效方法（怎样看出是极点？）为

注意在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数的表面形式就急于作出结论。例如

利用洛朗展式容易知道，z=0分别是它们的一级极点，可去奇点，二级极点。

在判断函数的极点级数时，下列结论有时是非常有用的。2472020/12/27注意在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数的表面形式练习：求下列函数的孤立奇点及类型2482020/12/27练习：求下列函数的孤立奇点及类型2482020/12/275.函数在无穷远点的性态现在我们在扩充复平面上讨论问题。为什么？2492020/12/275.函数在无穷远点的性态现在我们在扩充复平面上讨论问题。无穷远点的研究方法：2502020/12/27无穷远点的研究方法：2502020/12/27

这样无穷孤立奇点的分类问题就转化为对应函数的t=0点的类型问题。当然，也可通过直接罗朗展开而判别类型：（1）若展式中不含z的正幂次项，则无穷为可去奇点；（2）若展式中含z的有限个正幂次项，则无穷为极点；（3）若展式中含z的无穷多正幂次项，则无穷为本性奇点。2512020/12/27这样无穷孤立奇点的分类问题就转化为对应函数当然，也可通过无穷为本性奇点的例子思考：无穷为孤立奇点时其类型与极限的关系如何？2522020/12/27无穷为本性奇点的例子思考：无穷为孤立奇点时其类型与极限的关系

§2留数1.留数的定义及留数定理.z0cr

上式两端沿c积分，其中c为此去心邻域内围绕z0的任一正向简单闭曲线，得到2532020/12/27§2留数1.留数的定义及留数定理.z0cr特点：本来右端有无穷多项，积分后，结果只留下一项不为零。由此引出了留数的定义：定义：

由定义，函数在某一孤立奇点处的留数即函数在该点的去心邻域内的罗朗展式中负一次幂的系数c-1。2542020/12/27特点：本来右端有无穷多项，积分后，结果只留下定义：问题：可去奇点处的留数为多少？02552020/12/27问题：可去奇点处的留数为多少？025