常见数列通项公式的求法

常见数列通项公式的求法定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例1．等差数列an是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，S5a52．求数列an的通项公式.an=3n52.公式法：已知Sn（即a1a2Lanf(n)）求an，用作差法：anS1,(n1)。SnSn1,(n2)例2：已知数列{n}n，snn21求{n}的通项公式。的前n项和saa解：（1）当n=1时，a1s10，当n2时ansnsn1(n21)[(n1)21]2n1由于a1不适合于此等式。∴an0(n1)2n1(n2)31n-1练习：数列{an}满足an=5Sn－3，求an。答案：an=4（－4）3.累加法：若an1 an f(n)求an：an (an an1) (an1 an2) L (a2 a1) a1(n 2)。例3：（1）数列{an}满足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2），求an。1（2）数列{an}满足a1=1且an=an－1+2n（n≥2），求an。解：（1）由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－2，记f（n）=3n－2=an－an－1则an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+⋯（a2－a1）+a1=f（n）+f（n－1）+f（n－2）+⋯f（2）+a1=（3n－2）+[3（n－1）－2]+[3 （n－2）－2]+ ⋯+（3×2－2）+1（n+2）（n－1）=3[n+（n－1）+（n－2）+⋯+2]－2（n－1）+1=3×2

3n2－n－2n+3=2（2）由a=a1知a－a11=a－a222nn－1nnn－1nnnn－1则an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+⋯（a2－a1）+a1=f（n）+f（n－1）+f（n－2）+⋯f（2）+a1111111=2n+2n－1+2n－2+⋯+22+1=2－2n练习：已知数列an满足a11an131，an1n2，求an。答案：an=-2n2n4.累乘法：已知an1f(n)求an，用累乘法：ananan1La2a1(n2)。anan1an2a1例4：在数列｛an｝中，a1=1,(n+1)·an1=n·an，求an的表达式。解：由(n+1)·an1an1n，=n·an得n1anan=a2a3a4⋯an=123n111a1··a3an1234所以anna1a2nn练习：已知数列an中，a11n(2n1)an，试求通项公式an。，前n项和Sn与an的关系是Sn3答案：an=1.(2n+1(2n-1)已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。（1）形如ankan1b、ankan1bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an。①ankan1b解法：把原递推公式转化为：an1tp(ant)，其中tqp，再利用1换元法转化为等比数列求解。例5.已知数列an中，a11，an12an3，求an.解：设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)即an12antt3.故递推公式为an132(an3),令bnan3，则b1a134,且bn1an132所bnan3以bn是以b14为首项，2为公比的等比数列，则bn42n12n1,所以an2n13.②ankanbn解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn1an1pan11，得：n1q?nqqq引入辅助数列bn（其中bnann），得：bn1pbn1再应用ankan1b的方法解决.。qqq例6.已知数列an中，a15,an11an(1)n1，求an。632解：在an11an(1)n1两边乘以2n1得：2n1?an12(2n?an)1322bn32(2)n令bn2n?an，则bn11,应用例7解法得：bn3bn33所以an1n1n2n3()2()232n，求an；练一练①已知a11,an3an12，求an；②已知a11,an3an1（2）形如anan1的递推数列都可以用倒数法求通项。kanb1例7：anan1,a113an11313an11解：取倒数：an1an11an1是等差数列，11(n1)31(n1)3an1anana13n2练习：已知数列｛an｝中a11且an1（nN）an，，求数列的通项公式。an1常见数列求和公式及应用1、公式求和法⑴等差数列求和公式：Snn(a1an)na1n(n1)d22na1(q1)⑵等比数列求和公式：Sna1(1qn)a1anq1)1q1q(qn另外，还有必要熟练掌握一些常见的数列的前n项和公式.正整数和公式有：kk1nk2n(n1)(2n1)；nk3n(n1)26[2]k1k1例1：已知log3x1，求xx2x3xn的前n项和.log23解：由log31log3xlog32x1x2log2311由等比数列求和公式得Snxx2x3xn＝x(1xn)＝2(12n)＝1－11x12n122、倒序相加法则例2：已知，则解：∵由式变式训练：如已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x)f(1x)1，Snf(0)f(1)f(2)f(3)+⋯f(n2)f(n1)2nf(1)，（nN*），求Sn3、裂项相消法nnnn一些常见的裂项方法：1111(2n1)(2n1)22n12n11111)；；n(nk)(nnkk例3：求数列1,1,,1,的前n项和.12nn231解：设an1n1nnn1则Sn1111223nn1

n(n 1)；2；＝( 2 1) ( 3 2) ( n 1 n)＝ n 1 1练习：已知an12n，又bn2，求数列{bn}的前n项的和.anan1n1n1n14、错位相减法设数列an的等比数列，数列bn是等差数列，则数列anbn的前n项和Sn求解，均可用错位相减法。例4：求例5：设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn．bnan的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q12dq421，解：（Ⅰ）设0且4dq213，1解得d2，q2．所以an1(n1)d2n1，bnqn12n1．（Ⅱ）an2n1352n32n1bn2n1．Sn12122L2n22n1，①2Sn235L2n32n12n32n2，②2②－①得Sn2222L22n12222n22n11112n1112n12n3221L222n162222n22n1112n12n1．22462n,练习：3.求数列2,22,23,,2n前n项的和.小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列cn的公比q；②将两个等式相