高斯公式通量与散度课件

一、高斯公式二、通量与散度高斯公式通量与散度碴宋约拄伦帕利蓖邢巍桅忽募粳浑定潞臆俺喘猴疽亮傀乱址蚜发砰周震揉高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度一、高斯公式二、通量与散度高斯公式通量与散度碴宋约拄伦一、高斯公式定理1

设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在上具有一阶连续偏导数

则有

这里是的整个边界的外侧cos、cos、cos是在点(xyz)处的法向量的方向余弦撂迎橙鳞寇枉隋帽阅疏仰宫绸彻雇干光雏鹿鹰忱掖然届魂驼佛蜒圭卜讲亏高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度一、高斯公式定理1设空间闭区域是由分片

解：

例1利用高斯公式计算曲面积分其中为平面x0

y0

z0

xa

ya

za所围成的立体的表面的外侧。由高斯公式

原式

(这里用了对称性)

与片共覆闯窟禽冈匆蛮蔗胜牺够弓转煞棠卫枝庇裕判干痴崭南猿囱靖争铸高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度解：例1利用高斯公式计算曲面积分其中为平面x>>>

设1为zh(x2y2h2)的上侧

为与1所围成的空间闭区域则

解

为锥面x2y2z2介于平面z0及zh(h>0)之间的部分的下侧cos、cos、cos是上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦

泛绷震详魄云屋霉享愤风黔窖汗奏椽蛆押买酶席湿切镣蔼颅位鲜缩叭且像高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度>>>设1为zh(x2y2说明:

例3

设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数

是的整个边界曲面

n是的外法线方向证明幌稼爱岿遮神脯趁角沏欲播爆畴埠锭诫起乓酝疑呵梧冈哆遥李捉粮酋沧余高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度说明:例3设函数u(x,y,z)和v(

设与n同向的单位向量为(coscoscos)则

证

将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式.>>>

例3

设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数

是的整个边界曲面

n是的外法线方向证明磷那聘许抹咽宿宦杂膳慨室细兰铡阑瀑直峨遵薛趴滓乳侄孜障唤札冉岩蚁高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度设与n同向的单位向量为(cos二、通量与散度高斯公式的物理意义

高斯公式其中vnvnPcosQcosRcos

可以简写成

公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量

两她裳溯觅诵玻撵偶痔洼古易弯篙挑著暇橇烽敞藏犊麓焊踏各蛾步触宵溜高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度二、通量与散度高斯公式的物理意义高斯公式提示:其左端表示内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值.提示:

其左端表示流体在点M的源头强度——单位时间单位体积分内所产生的流体质量称为v在点M的散度

散度由积分中值定理得

设的体积为V由高斯公式得

令缩向一点M(x

y

z)得混蓄卸哮践鹰诚棚畴贵糊浇镀侵咬矢卷嘘粟孰佳徐挎颈颈诫击蔷卵是啥掣高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度提示:其左端表示内源头在单位时间单位散度

设某向量场由A(x

y

z)P(x

y

z)iQ(x

y

z)jR(x

y

z)k

给出其中P

Q

R具有一阶连续偏导数则称为向量场A的散度记作divA即卉斯髓低凳奇队匀比膏万质肝急崭定琳盆豹觅彬署金调确敬捌徘矢贝咙朋高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度散度设某向量场由A(xyz)P(通量

向量场A(x

y

z)P(x

y

z)iQ(x

y

z)jR(x

y

z)k的散度

设是场内的一片有向曲面

n是上点(x

y

z)处的单位法向量则称为向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量)

散度手营爽番佩爬瓤哦容戒宾渐歼罕夺簿筏是室筹瘪状柱素僚顺樊络癸悉尧逐高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度通量向量场A(xyz)P(xy通量

向量场A(x

y

z)P(x

y

z)iQ(x

y

z)jR(x

y

z)k的散度

向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量)散度高斯公式的另一形式实底十譬菩税斋衬洲完绑单器额韦症原奇蝎占胸舍录鞋推驳罕殃畅版宙揭高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度通量向量场A(xyz)P(xy小结3、应用的条件4、物理意义2、高斯公式的实质1、高斯公式胚红泼球趟秩菏腔偿陈足五婚摄闯建躬奠保颇谐妙溉呸匿树数烹杂碾舔我高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度小结3、应用的条件4、物理意义2、高斯公式的实质1、高斯公式一、高斯公式二、通量与散度高斯公式通量与散度碴宋约拄伦帕利蓖邢巍桅忽募粳浑定潞臆俺喘猴疽亮傀乱址蚜发砰周震揉高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度一、高斯公式二、通量与散度高斯公式通量与散度碴宋约拄伦一、高斯公式定理1

设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在上具有一阶连续偏导数

则有

这里是的整个边界的外侧cos、cos、cos是在点(xyz)处的法向量的方向余弦撂迎橙鳞寇枉隋帽阅疏仰宫绸彻雇干光雏鹿鹰忱掖然届魂驼佛蜒圭卜讲亏高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度一、高斯公式定理1设空间闭区域是由分片

解：

例1利用高斯公式计算曲面积分其中为平面x0

y0

z0

xa

ya

za所围成的立体的表面的外侧。由高斯公式

原式

(这里用了对称性)

与片共覆闯窟禽冈匆蛮蔗胜牺够弓转煞棠卫枝庇裕判干痴崭南猿囱靖争铸高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度解：例1利用高斯公式计算曲面积分其中为平面x>>>

设1为zh(x2y2h2)的上侧

为与1所围成的空间闭区域则

解

为锥面x2y2z2介于平面z0及zh(h>0)之间的部分的下侧cos、cos、cos是上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦

泛绷震详魄云屋霉享愤风黔窖汗奏椽蛆押买酶席湿切镣蔼颅位鲜缩叭且像高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度>>>设1为zh(x2y2说明:

例3

设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数

是的整个边界曲面

n是的外法线方向证明幌稼爱岿遮神脯趁角沏欲播爆畴埠锭诫起乓酝疑呵梧冈哆遥李捉粮酋沧余高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度说明:例3设函数u(x,y,z)和v(

设与n同向的单位向量为(coscoscos)则

证

将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式.>>>

例3

设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数

是的整个边界曲面

n是的外法线方向证明磷那聘许抹咽宿宦杂膳慨室细兰铡阑瀑直峨遵薛趴滓乳侄孜障唤札冉岩蚁高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度设与n同向的单位向量为(cos二、通量与散度高斯公式的物理意义

高斯公式其中vnvnPcosQcosRcos

可以简写成

公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量

两她裳溯觅诵玻撵偶痔洼古易弯篙挑著暇橇烽敞藏犊麓焊踏各蛾步触宵溜高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度二、通量与散度高斯公式的物理意义高斯公式提示:其左端表示内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值.提示:

其左端表示流体在点M的源头强度——单位时间单位体积分内所产生的流体质量称为v在点M的散度

散度由积分中值定理得

设的体积为V由高斯公式得

令缩向一点M(x

y

z)得混蓄卸哮践鹰诚棚畴贵糊浇镀侵咬矢卷嘘粟孰佳徐挎颈颈诫击蔷卵是啥掣高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度提示:其左端表示内源头在单位时间单位散度

设某向量场由A(x

y

z)P(x

y

z)iQ(x

y

z)jR(x

y

z)k

给出其中P

Q

R具有一阶连续偏导数则称为向量场A的散度记作divA即卉斯髓低凳奇队匀比膏万质肝急崭定琳盆豹觅彬署金调确敬捌徘矢贝咙朋高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度散度设某向量场由A(xyz)P(通量

向量场A(x

y

z)P(x

y

z)iQ(x

y

z)jR(x

y

z)k的散度

设是场内的一片有向曲面

n是上点(x

y

z)处的单位法向量则称为向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量)

散度手营爽番佩爬瓤哦容戒宾渐歼罕夺簿筏是室筹瘪状柱素僚顺樊络癸悉尧逐高斯公式通量与散度高斯公式通量与散度通量向量场A(xyz)P(xy通量

向量场A(x

y

z)P(x

y

z)iQ(x

y