概率统计习题六选解(四川版)课件

习题六1.

什么是第一类错误?

什么是第二类错误?答:本来原假设H0为真,但由于样本的随机性,结果拒绝了H0,判为不符合H0,这就是“弃真”错误.也就是第一类错误.

本来原假设H0为伪,也因为样本的随机性,结果接受了H0,使我们犯了“存伪”错误.称为第二类错误.2.何谓显著性水平?答:根据实际问题的要求,规定一个界限(0<<1),当一个事件的概率不大于时,即认为它是小概率事件.在假设检验问题中,这个界限,称做显著性水平.3.什么是否定域?什么是接受域?双边检验与单边检验的否定域有什么区别?若检验的模型为

H0:=0,H1:≠0,这类假设检验的否定域分布在接受域的两侧.称为双侧(或双边)假设检验.答:拒绝原假设H0的区域称为否定域.否定域以外的区域称为接受域.若假设检验的模型为

H0:0,H1:>0,或

H0:0,H1:<0.这类假设检验的否定域分布在接受域的一侧.称为单侧(或单边)检验.习题六1.什么是第一类错误?什么是第二类错误?答:1因此双边检验与单边检验的否定域的区别在于前者在接受域的两侧,而后者在接受域的一侧.

4.在产品质量检验时,原假设H0:产品合格,为了使次品混入正品的可能性很小,在n固定的条件下,显著性水平应取大些还是小些?

答:当然显著性水平越小越好.例如=5%,表示有5%的可能使次品当作正品.当=0.1%时,表示有千分之一的可能使次品认为是正品.5.由经验知某味精厂袋装味精的重量其中技术革新后,改用机器包装,抽查8个样品,测得重量为(单位:克):14.7,15.1,14.8,15,15.3,14.9,15.2,14.6,.已知方差不变,问机器包装的平均重量是否仍为15(显著水平=0.05)?解:本题已知,需检验.设X为抽取的一袋味精的重量.由题设=N(15,0.05)假设用U检验(双侧检验)使用统计量~N(0,1)因此双边检验与单边检验的否定域的区别在于前者在接受域的两侧,2查正态分布表,得∴假设H0的否定域为<1.96故这是小概率事件.不能否定H0.这说明,可以认为机器包装的平均重量仍为15克.6.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布,观测了九炉铁水,其平均含碳量为4484,如果估计方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含量仍为4.550(=0.05)?解:由题意,设X为铁水含碳量,则由题设,方差没有变化,即已知方差假设用U检验(双侧检验)查正态分布表,得∴假设H0的否定域为<1.963选择统计量~N(0,1)查正态分布表,得∴假设H0的否定域为<1.96故这是小概率事件.没有理由拒绝H0.这说明,可以认为现在生产的铁水含碳量仍为4.550.7.在某砖厂生产的一批砖中,随机抽测6块,其抗断强度为:32.66,30.06,31.64,30.22,31.87,31.05,设砖的抗断强度.问能否认为这批砖的抗断强度是32.50公斤/(=0.01)?解:由题意,已知方差要检测砖的抗断强度(均值)是否为32.50.选择统计量~N(0,1)查正态分布表,得∴假设H0的否定4假设用U检验(双侧检验)选择统计量~N(0,1)查正态分布表,得=2.784>2.58∵这不是小概率事件.∴应该否定假设H0.这说明,不能认为抗断强度是32.50公斤/,即8.某厂生产的钢筋断裂强度=35(公斤/)今从现在生产的一批钢筋中抽测9个样本,得到的样本均值较以往的均值大17(公斤/).设总体方差不变,问能否认为这批钢筋的强度有明显提高(=0.05,=0.1)?∴假设H0的否定域为假设用U检验选择统计量~N(0,1)查正态分布表,得=2.75解:由题意∵已知方差,∴要检测(均值)假设(即强度没有明显提高)用U检验(单侧检验)选择统计量(1)当=0.05时,查表,得~N(0,1)∴否定域为(2)当=0.1时,查表,得∴否定域为由此可见,在=0.05下不能否定H0(小概率事件),而在=0下,需要否定H0.故可以认为这批钢筋的强度在水平=0.05下没有明显提高,在=0.1下有明显提高.解:由题意∵已知方差,∴要检测(均值)假设(即强度没有69.某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时,现从一批新生产的灯泡中抽取8个样本,测得其平均寿命为1070小时,样本方差试检验灯泡的平均寿命有无变化(=0.05,=0.01)?解:本题未知方差,需要检测(均值)为样本方差假设选择统计量用t检验(双侧检验)(1)当=0.05时,查t分布表,得=2.365∴否定域为(1)当=0.01时,∴否定域为=1.297故没有理由拒绝H0.这说明,可以认为灯泡的寿命没有显著变化.9.某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时710.正常人的脉搏平均为72次/分,今对某种病患者10人,测其脉博为54,68,65,77,70,64,69,72,62,71(次/分).设患者的脉搏次数X服从正态分布,试在显著水平=0.05下检验患者的脉搏与正常人的脉搏有无差异?解:本题未知方差,需要检测(均值)假设选择统计量用t检验(双侧检验)∴否定域为>2.262(属于否定域)因此拒绝H0.即认为患者的脉搏与正常人的脉搏有显著差异.∵=0.0510.正常人的脉搏平均为72次/分,今对某种病患者811.过去某工厂向A公司订购原材料,自订货日开始至交货日止,平均49.1日.现改为向B公司订购原料.随机抽取向B公司订的8次货,交货天数为:46,38,40,39,52,35,48,44,问B公司交货日期是否较A公司为短(=0.05)?解:本题未知方差,需要检测(均值)假设(假设期限长)选择统计量用t检验(单侧检验)∵=0.05∴否定域为因此否定H0.说明B公司交货日期显著比A公司要短.11.过去某工厂向A公司订购原材料,自订货日开始至交货日止912.用一台自动包装机包装葡萄糖,规定标准每袋净重500克.假定在正常情况下,糖的净重服从正态分布.根据长期资料表明,标准差为15克,现从某一班的产品中随机取出9袋,测得重量为:497,506,518,511,524,510,488,515,512.问包装机工作是否正常:1)标准差有无变化?2)平均重量是否符合规定标准(=0.05)?

解:从包装机包装的产品中随机取出一袋的重量为随机变量X.则

1)欲检验标准差有无变化,属于未知均值,检验方差.这是总体X方差的双边检验.假设选择统计量用W检验(双侧检验)查分布表,得∴否定域为∴接受H012.用一台自动包装机包装葡萄糖,规定标准每袋净10即标准差无显著变化.2)平均重量是否符合规定标准(=0.05)?解:此处是已知方差,需要检测(均值)假设用U检验(双侧检验)选择统计量~N(0,1)查表,得∴否定域为<1.96故不能拒绝H0.可以认为平均重量符合规定.13.某种罐头在正常情况下,按规格平均净重379克,标准差为11克,现抽查十盒,测得如下数据:370.74,372.80,386.43,398.14,369.21,381.67,367.90,371.93,386.22,393.08(克).试根据抽样结果,说明平均净重和标准差是否符合规格要求.(提示:检验H0:=379,H0:11,=0.05)即标准差无显著变化.2)平均重量是否符合规定标11

解:设一只罐头的净重为X,则由提示:检验H0:=379,H0:11,=0.05(1)假设H0:=0=379;(2)假设H0:0=11.此处未知方差,用t检验(双侧检验)选择统计量∵=0.05,n=10∴否定域为<2.262故接受H0.认为平均净重量符合规定.此处未知,检验方差.选择统计量∴否定域为<16.919故接受H0.认为标准差符合规定.用W检验(单侧检验)解:设一只罐头的净重为X,则由提示:检验H01214.为校正试用的普通天平,把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进行称量,得如下结果:99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5,99.2,假设在天平上称量的结果服从正态分布,问普通天平称量结果与标准天平有无显著差异(=0.05)?

解:设试称物件在标准天平上的称量为X,则(本题需检测普通天平上称量时有=100)假设H0:=0=100此处未知方差,用t检验(双侧检验)选择统计量∴否定域为<2.262故接受H0.即普通天平称量结果与标准天平无显著差异.14.为校正试用的普通天平,把在该天平上称量为11315.某牌香烟生产者自称其尼古丁含量方差为2.3,现随机抽取8支,得样本标准差为2.4,问能否同意生产者的自称?假设香烟中尼古丁含量服从正态分布,=0.05.解:本题属于未知均值,检验方差.设香烟中尼古丁含量为X,则假设选择统计量用W检验(双侧检验)∴否定域为故拒绝H0.不能同意生产者的自称.15.某牌香烟生产者自称其尼古丁含量方差为2.31416.加工某一机器零件,根据其精度要求,标准差不得超过0.9,现从该产品中抽测19个样本,得样本标准差S=1.2,当=0.05时,可否认为标准差变大?解:本题属于未知均值,检验方差.假设用W检验(单侧检验)选择统计量∴否定域为故不能接受H0.可以认为标准差变大.17.测得A、B两批电子器件的样本的电阻为(单位:欧姆):A.0.140,0.138,0.143,0.142,0.144,0.137B.0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.140设A、B两批器件的电阻分别服从试问能否认为A、B两总体服从相同的正态分布?

解:设A、B两批电子器件的电阻分别为X和Y,且本题需检测均值与检验方差16.加工某一机器零件,根据其精度要求,标准差不15首先检验方差选择统计量(双侧检验)(属于未知均值,检验方差)查F分布表(P321),得∴否定域为故接受H0.可以认为这两批电子器件的电阻方差相等.再检验均值此处是已知方差相等,但具体值未知,需要检测均值.选择统计量(双侧检验)∴自由度为6+6-2=10∴否定域为首先检验方差选择统计量(双侧检验)(属于未知均值,检16∵否定域为故接受H0.可以认为这两批电子器件的电阻均值相等.

18.从城市的某区中抽取16名学生测其智商,平均值为107,样本标准差为10,而从该城市的另一区抽取的16名学生的智尚平均值为112,标准差为8,试问在显著水平=0.05下,这两组学生智商有无差异?

解:分别设这两个区域学生的智商为X与Y,则由题意,∵题中未涉及?本题需先检测方差后检测均值.∵否定域为故接受H0.可以认为这两批电子器件的电17首先检验方差(属于未知均值,检验方差)(双侧检验)选择统计量=F(15,15)否定域为故接受H0.可以认为方差相等.再检验均值此处是已知方差相等,但具体值未知,需要检测均值.(双侧检验)选择统计量∴否定域为故接受H0.可以认为这两组学生智商无显著差异.首先检验方差(属于未知均值,检验方差)(双侧检验)1819.用老工艺生产的机械零件方差较大,抽查了25个,得现改用新工艺生产,抽查25个零件,得,设两种生产过程皆服从正态分布,问新工艺的精度是否比老工艺显著地好(=0.05)?

解:设老、新工艺生产的零件尺寸分别为X与Y,则假设(假设老工艺比新工艺的精度好)(单侧检验)选择统计量∴否定域为故拒绝H0.可以认为新工艺的精度是比老工艺显著地好.19.用老工艺生产的机械零件方差较大,抽查了219

20.为比较甲乙两种安眠药的疗效,将20名患者分成两组,每组10人,如服药后延长睡眠时间分别近似服从正态分布,其数据如表所示:abcdefghij甲1.90.81.10.1-0.14.45.51.64.63.4乙0.7-1.6-0.2-1.2-0.13.43.70.802.0问在显著水平=0.05下,两种安眠药的疗效有无显著差异?解:设服用甲、乙两种安眠药的患者延长睡眠时间分别为X与Y,则首先检验方差(属于未知均值,检验方差)(双侧检验)选择统计量否定域为故接受H0.可以认为方差相等.20.为比较甲乙两种安眠药的疗效,将20名患者分20再检验均值选择统计量假设∴否定域为故接受H0.即两种安眠药的疗效无显著差异.再检验均值选择统计量假设∴否定域为故接受21习题六1.

什么是第一类错误?

什么是第二类错误?答:本来原假设H0为真,但由于样本的随机性,结果拒绝了H0,判为不符合H0,这就是“弃真”错误.也就是第一类错误.

本来原假设H0为伪,也因为样本的随机性,结果接受了H0,使我们犯了“存伪”错误.称为第二类错误.2.何谓显著性水平?答:根据实际问题的要求,规定一个界限(0<<1),当一个事件的概率不大于时,即认为它是小概率事件.在假设检验问题中,这个界限,称做显著性水平.3.什么是否定域?什么是接受域?双边检验与单边检验的否定域有什么区别?若检验的模型为

H0:=0,H1:≠0,这类假设检验的否定域分布在接受域的两侧.称为双侧(或双边)假设检验.答:拒绝原假设H0的区域称为否定域.否定域以外的区域称为接受域.若假设检验的模型为

H0:0,H1:>0,或

H0:0,H1:<0.这类假设检验的否定域分布在接受域的一侧.称为单侧(或单边)检验.习题六1.什么是第一类错误?什么是第二类错误?答:22因此双边检验与单边检验的否定域的区别在于前者在接受域的两侧,而后者在接受域的一侧.

4.在产品质量检验时,原假设H0:产品合格,为了使次品混入正品的可能性很小,在n固定的条件下,显著性水平应取大些还是小些?

答:当然显著性水平越小越好.例如=5%,表示有5%的可能使次品当作正品.当=0.1%时,表示有千分之一的可能使次品认为是正品.5.由经验知某味精厂袋装味精的重量其中技术革新后,改用机器包装,抽查8个样品,测得重量为(单位:克):14.7,15.1,14.8,15,15.3,14.9,15.2,14.6,.已知方差不变,问机器包装的平均重量是否仍为15(显著水平=0.05)?解:本题已知,需检验.设X为抽取的一袋味精的重量.由题设=N(15,0.05)假设用U检验(双侧检验)使用统计量~N(0,1)因此双边检验与单边检验的否定域的区别在于前者在接受域的两侧,23查正态分布表,得∴假设H0的否定域为<1.96故这是小概率事件.不能否定H0.这说明,可以认为机器包装的平均重量仍为15克.6.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布,观测了九炉铁水,其平均含碳量为4484,如果估计方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含量仍为4.550(=0.05)?解:由题意,设X为铁水含碳量,则由题设,方差没有变化,即已知方差假设用U检验(双侧检验)查正态分布表,得∴假设H0的否定域为<1.9624选择统计量~N(0,1)查正态分布表,得∴假设H0的否定域为<1.96故这是小概率事件.没有理由拒绝H0.这说明,可以认为现在生产的铁水含碳量仍为4.550.7.在某砖厂生产的一批砖中,随机抽测6块,其抗断强度为:32.66,30.06,31.64,30.22,31.87,31.05,设砖的抗断强度.问能否认为这批砖的抗断强度是32.50公斤/(=0.01)?解:由题意,已知方差要检测砖的抗断强度(均值)是否为32.50.选择统计量~N(0,1)查正态分布表,得∴假设H0的否定25假设用U检验(双侧检验)选择统计量~N(0,1)查正态分布表,得=2.784>2.58∵这不是小概率事件.∴应该否定假设H0.这说明,不能认为抗断强度是32.50公斤/,即8.某厂生产的钢筋断裂强度=35(公斤/)今从现在生产的一批钢筋中抽测9个样本,得到的样本均值较以往的均值大17(公斤/).设总体方差不变,问能否认为这批钢筋的强度有明显提高(=0.05,=0.1)?∴假设H0的否定域为假设用U检验选择统计量~N(0,1)查正态分布表,得=2.726解:由题意∵已知方差,∴要检测(均值)假设(即强度没有明显提高)用U检验(单侧检验)选择统计量(1)当=0.05时,查表,得~N(0,1)∴否定域为(2)当=0.1时,查表,得∴否定域为由此可见,在=0.05下不能否定H0(小概率事件),而在=0下,需要否定H0.故可以认为这批钢筋的强度在水平=0.05下没有明显提高,在=0.1下有明显提高.解:由题意∵已知方差,∴要检测(均值)假设(即强度没有279.某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时,现从一批新生产的灯泡中抽取8个样本,测得其平均寿命为1070小时,样本方差试检验灯泡的平均寿命有无变化(=0.05,=0.01)?解:本题未知方差,需要检测(均值)为样本方差假设选择统计量用t检验(双侧检验)(1)当=0.05时,查t分布表,得=2.365∴否定域为(1)当=0.01时,∴否定域为=1.297故没有理由拒绝H0.这说明,可以认为灯泡的寿命没有显著变化.9.某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时2810.正常人的脉搏平均为72次/分,今对某种病患者10人,测其脉博为54,68,65,77,70,64,69,72,62,71(次/分).设患者的脉搏次数X服从正态分布,试在显著水平=0.05下检验患者的脉搏与正常人的脉搏有无差异?解:本题未知方差,需要检测(均值)假设选择统计量用t检验(双侧检验)∴否定域为>2.262(属于否定域)因此拒绝H0.即认为患者的脉搏与正常人的脉搏有显著差异.∵=0.0510.正常人的脉搏平均为72次/分,今对某种病患者2911.过去某工厂向A公司订购原材料,自订货日开始至交货日止,平均49.1日.现改为向B公司订购原料.随机抽取向B公司订的8次货,交货天数为:46,38,40,39,52,35,48,44,问B公司交货日期是否较A公司为短(=0.05)?解:本题未知方差,需要检测(均值)假设(假设期限长)选择统计量用t检验(单侧检验)∵=0.05∴否定域为因此否定H0.说明B公司交货日期显著比A公司要短.11.过去某工厂向A公司订购原材料,自订货日开始至交货日止3012.用一台自动包装机包装葡萄糖,规定标准每袋净重500克.假定在正常情况下,糖的净重服从正态分布.根据长期资料表明,标准差为15克,现从某一班的产品中随机取出9袋,测得重量为:497,506,518,511,524,510,488,515,512.问包装机工作是否正常:1)标准差有无变化?2)平均重量是否符合规定标准(=0.05)?

解:从包装机包装的产品中随机取出一袋的重量为随机变量X.则

1)欲检验标准差有无变化,属于未知均值,检验方差.这是总体X方差的双边检验.假设选择统计量用W检验(双侧检验)查分布表,得∴否定域为∴接受H012.用一台自动包装机包装葡萄糖,规定标准每袋净31即标准差无显著变化.2)平均重量是否符合规定标准(=0.05)?解:此处是已知方差,需要检测(均值)假设用U检验(双侧检验)选择统计量~N(0,1)查表,得∴否定域为<1.96故不能拒绝H0.可以认为平均重量符合规定.13.某种罐头在正常情况下,按规格平均净重379克,标准差为11克,现抽查十盒,测得如下数据:370.74,372.80,386.43,398.14,369.21,381.67,367.90,371.93,386.22,393.08(克).试根据抽样结果,说明平均净重和标准差是否符合规格要求.(提示:检验H0:=379,H0:11,=0.05)即标准差无显著变化.2)平均重量是否符合规定标32

解:设一只罐头的净重为X,则由提示:检验H0:=379,H0:11,=0.05(1)假设H0:=0=379;(2)假设H0:0=11.此处未知方差,用t检验(双侧检验)选择统计量∵=0.05,n=10∴否定域为<2.262故接受H0.认为平均净重量符合规定.此处未知,检验方差.选择统计量∴否定域为<16.919故接受H0.认为标准差符合规定.用W检验(单侧检验)解:设一只罐头的净重为X,则由提示:检验H03314.为校正试用的普通天平,把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进行称量,得如下结果:99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5,99.2,假设在天平上称量的结果服从正态分布,问普通天平称量结果与标准天平有无显著差异(=0.05)?

解:设试称物件在标准天平上的称量为X,则(本题需检测普通天平上称量时有=100)假设H0:=0=100此处未知方差,用t检验(双侧检验)选择统计量∴否定域为<2.262故接受H0.即普通天平称量结果与标准天平无显著差异.14.为校正试用的普通天平,把在该天平上称量为13415.某牌香烟生产者自称其尼古丁含量方差为2.3,现随机抽取8支,得样本标准差为2.4,问能否同意生产者的自称?假设香烟中尼古丁含量服从正态分布,=0.05.解:本题属于未知均值,检验方差.设香烟中尼古丁含量为X,则假设选择统计量用W检验(双侧检验)∴否定域为故拒绝H0.不能同意生产者的自称.15.某牌香烟生产者自称其尼古丁含量方差为2.33516.加工某一机器零件,根据其精度要求,标准差不得超过0.9,现从该产品中抽测19个样本,得样本标准差S=1.2,当=0.05时,可否认为标准差变大?解:本题属于未知均值,检验方差.假设用W检验(单侧检验)选择统计量∴否定域为故不能接受H0.可以认为标准差变大.17.测得A、B两批电子器件的样本的电阻为(单位:欧姆):A.0.140,0.138,0.143,0.142,0.144,0.137B.0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.140设A、B两批器件的电阻分别服从试问能否认为A、B两总体服从相同的正态分布?

解:设A、B两批电子器件的电阻分别为X和Y,且本题需检测均值与检验方差16.加工某一机器零件,根据其精度要求,标准差不36首先检验方差选择统计量(双侧检验)(属于未知均值,检验方差)查F分布表(P321),得∴否定域为故接受H0.可以