2018年中考二次函数压轴题汇编

欢迎下载欢迎下载2018年中考二次函数压轴题汇编2•如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(4,0),B(3,0)两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.求抛物线的表达式；设抛物线的对称轴为I,I与x轴的交点为D.在直线I上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.如图2,连接BC，PB，PC,设APBC的面积为S.①求S关于t的函数表达式;②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.的解析式;在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.4.如图，抛物线y=ax2+bx(av0)过点E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段0E上(点A在点B的左边)，点C，D在抛物线上.设A(t，0)，当t=2时，AD=4.求抛物线的函数表达式.当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.%5.如图，点P为抛物线%5.如图，点P为抛物线y=「x2上动点.若抛物线y=】x2是由抛物线y=-(x+2)21通过图象平移得到的，请写出44平移的过程；若直线I经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0过点P作PM1于M.①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由.②问题解决：如图二，若点Q的坐标为(1，5)，求QP+PF的最小值6.已知直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点M在线段0A上，从0点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒匚个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒求抛物线解析式；当t为何值时，△AMN为直角三角形；过N作NH於轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MH/AB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由.

O(0,0)，点A(1,1),点B(壬，o).求抛物线解析式；连接OA，过点A作ACJOA交抛物线于C,连接OC,求△AOC的面积；点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MNJOM交x轴于点N.问：是否存在点M，使以点O,M,N为顶点的三角形与(2)中的△.如图，已知抛物线y=ax2+[x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A,B两点(B点在A点右侧)与y轴交于C点.求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合)，则是否存在一点P，使△^BC的面积最大.若存在，请求出厶PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0，6)，B(6,0)，C(2，0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.求抛物线的解析式；当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE仅轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△^DE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.备用圍.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y二「x2-x4与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.求点A,B，C的坐标；点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，APBQ的面积S最大，并求出其最大面积；在(2)的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是厶PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.12.综合与探究

如图，抛物线y=-_.”二x4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y3轴交于点C,连接AC,BC•点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM豆轴，垂足为点M,PM交BC于点Q,过点P作PE/AC交x轴于点E,交BC于点F.求A,B,C三点的坐标；试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在,请说明理由;QF的长，并求出请说明理由;QF的长，并求出m为何值时QF有最大值..已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2).若点(-匚，0)也在该抛物线上，求a,b满足的关系式;若该抛物线上任意不同两点M(xi,yi),N(X2,y2)都满足：当xi<X2v0时，(xiX2)(yiy2)>0；当0<xi<x2时，(xix2)(yiy2)<0.以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B,C,且△ABC有一个内角为60°求抛物线的解析式；若点P与点O关于点A对称，且O,M,N三点共线，求证：PA平分ZMPN..如图，已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F(10,0),与对称轴I交于点E(5,5).矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD,BC与抛物线分别交于点M,N•当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M,N位于对称轴I的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S;点M，N位于对称轴I的两侧时，连接EM,EN，此时五边形ABNEM的面积记为S.将点A与点0重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t(0W屿).求出这条抛物线的表达式；当t=0时，求SZOBN的值；当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t(0vt<5)的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？D11E0!ABF\、.如图，已知抛物线经过点A(4,0),B(4,0),C(0,2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0),过点P做x轴的垂线I交抛物线于点Q,交直线BD于点M.求该抛物线所表示的二次函数的表达式；已知点F(0,+),当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与ABOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.•如图，抛物线y=ax25ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点，其中A(-3，0)，C(0，4)，点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD_ix轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN,AM，AN.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；当ACMN是直角三角形时，求点M的坐标；试求出AM+AN的最小值..如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(4，0)、B(3，0)两点，且与y轴交于点C.求抛物线的表达式；如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点(点P在点Q的左侧)，连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ.

⑴若点P的横坐标为〔'求5Q面积的最大值'并求此时点D的坐标；（n）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值;•在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2,0），且经过点（4,1），如图，直线y=^x与抛物线交于A、B两点，直线I为y=4.（1）求抛物线的解析式；（2）在I上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）知F（xo，yo）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线I的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标..在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）.已知抛物线y=x2+mx-2m（m是常数），顶点为P.（I）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；(U)若点P在x轴下方，当/AOP=45。时，求抛物线的解析式；(川)无论m取何值，该抛物线都经过定点H.当ZAHP=45时，求抛物线的解析式..如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象.函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A.函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D(点D位于点C的左侧).求函数y=ax2+bx+c的解析式；从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使AAMN的面积为AABC面积的［?若存在，求tan/21.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a和)经过点A(3，0)，B(4，0)，C(0，3).求该抛物线的解析式；若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B,C,Q,P为顶点求点(1)求抛物线的解析式;P的坐标；若不存在，请说明理由.求点(1)求抛物线的解析式;P的坐标；若不存在，请说明理由.经过点：'一.，点一•一.如图1,直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若ZOPM=JMAF，求APOE的面积；如图2,点Q是折线ABC上一点，过点Q作QN於轴，过点E作EN仮轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将SEN沿QE翻折得到厶QENi，•已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0，2)，且抛物线上任意不同两点M(xi，yi),N(X2,y2)都满足：当xiVX2V0时，(xiX2)(yiy2)>0；当0vxivX2时，(xiX2)(yiy2)v0•以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C,且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°求抛物线的解析式；若MN与直线y=2二x平行，且M，N位于直线BC的两侧，yi>y2,解决以下问题：求证：BC平分ZMBN;求△MBC外心的纵坐标的取值范围..如图，已知二次函数的图象过点O(0，0).A(8,4)，与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3.求该二次函数的解析式；若M是OB上的一点，作MNAB交OA于N，当8NM面积最大时，求M的坐标；P是x轴上的点，过P作PQ豆轴与抛物线交于Q•过A作AC_ix轴于C，当以O,P，Q为顶点的三角形与以O,A，C为顶点的三角形相似时，求P点.如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A(4,0)、B(3,0)、C

(0,3),D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点.求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；F(x,y)是抛物线上的动点：①当x>1,y>0时，求ABDF的面积的最大值；.如图1，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=ax如图2,点D为抛物线的顶点，连接CD如图2,点D为抛物线的顶点，连接CD，点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PE/y轴交线段CD于点E，设点P的横坐标为t，线段PE长为d,写出d与t的关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；如图3,在(2)的条件下，连接BD，在BD上有一动点Q,且DQ=CE,(1)求此抛物线的解析式;B(1)求此抛物线的解析式;B(4,0).连接EQ，当ZBQE+ZDEQ=90。时，求此时点P的坐标..已知抛物线F:y=x2+bx+c的图象经过坐标原点0,且与x轴另一交点为(-閨1图2(1)求抛物线F的解析式；如图1,直线I:y=^x+m(m>0)与抛物线F相交于点A(xi,yi)和点B(X2,y2)(点A在第二象限)，求y2yi的值(用含m的式子表示)；在(2)中，若m=；，设点A是点A关于原点0的对称点，如图2.判断MAB的形状，并说明理由；平面内是否存在点P,使得以点A、B、A'、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由..已知：如图，一次函数y=kx牟的图象经过点A(3晶,m)(m>0),与y轴交于点B.点C在线段AB上，且BC=2AC,过点C作x轴的垂线，垂足为点D.若AC=CD.求这个一次函数的表达式；已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P,若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q(竿，0),求这条抛物线的5函数表达式.

29.如图，已知抛物线y=ax2+bx(a和)过点A(_,3)和点B(3_,0)•过点A作直线ACIX轴，交y轴于点C.求抛物线的解析式；在抛物线上取一点P,过点P作直线AC的垂线，垂足为D•连接OA,使得以A,D,P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；抛物线上是否存在点Q，使得SzaocJSzaoq?若存在，求出点Q的坐标;030.如图1，抛物线Ci:y=ax23ax+c(av0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标为(-1，0)，点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线Ci的顶点为G.I图1)I图1)〔图日)求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；如图2,将抛物线Ci向下平移k(k>0)个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A'、B',顶点为G',当△ABG是等边三角形时，求k的值：在(2)的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线Ci、C2于P、Q两点，试探究在直线y=4上是否存在点N,使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由.31.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+=x+c的图象经过点C(0，2)和3(4，3).点E是直线y=3x+2与二次函数图象在第一象限内的交点.3(1)求二次函数的解析式及点(1)求二次函数的解析式及点E的坐标.(2)ME.求四边形COEM(2)ME.求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标.OE，F的坐标.如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC,.如图，已知顶点为C(0，3)的抛物线y=ax2+b(a和)与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B.(1)求m的值;(2)求函数y=ax2+b(a旳)的解析式;抛物线上是否存在点M，使得ZMCB=15°若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由..如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(4,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.求抛物线的解析式和直线AC的解析式；请在y轴上找一点M，使ABDM的周长最小，求出点M的坐标；试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由..已知抛物线y=a(x1)2过点(3，1)，D为抛物线的顶点.求抛物线的解析式；若点B、C均在抛物线上，其中点B(0,*),且/BDC=90°求点C的坐标；如图，直线y=kx+41与抛物线交于P、Q两点.①求证:ZPDQ=90°

B（点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C其顶点为D•将抛物线位于直线Ly=t（tv—上方的部分沿直线1向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个M”形的新图象.（1）点A,B,D的坐标分别为（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处•当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由..如图，抛物线y=ax2+4x+c（a和）经过点A（4，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB.（1）求该抛物线的解析式;(2)将△ABO绕点0旋转，点B的对应点为点F.当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和AABF的面积；当点F到直线AE的距离为匚时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交,请直接写出交点的坐标..如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=(xa)(x3)(Ova<3)的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点D，过其顶点C作直线CPb轴，垂足为点P，连接AD、BC.求点A、B、D的坐标；若△AOD与△BPC相似，求a的值；点D、0、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明.如图，抛物线y=ax2+bx+c(aMO)与x轴交于原点及点A，且经过点B(4，8)，对称轴为直线x=2.求抛物线的解析式;设直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为xi,X2(xi<x2),当----亠时，求k的值；七K12连接0B，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作0B的平行线交直线AB于点Q，当Szpoq:S少oq=1：2时，求出点P的坐标.(坐标平面内两点M(xi，yi)，N(X2，y2)之间的距离.如图，在平面直角坐标系中，/ACB=90°OC=2OB，tanzABC=2，点B的坐标为(1，0).抛物线y=^2+bx+c经过A、B两点.求抛物线的解析式；点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE.求点P的坐标；在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由.

.如图1，经过原点0的抛物线y=ax求抛物线的解析式；在x轴上找一点P，使以点P、0、C为顶点的三角形与以点A、0、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；直线I沿着x轴向右平移得到直线II与线段0A相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N求抛物线的解析式；在x轴上找一点P，使以点P、0、C为顶点的三角形与以点A、0、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；直线I沿着x轴向右平移得到直线II与线段0A相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE豆轴于点E.把△MEN沿直线I折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线I的解析式；在（3）问的条件下（图3），直线I与y轴相交于点K，把△MOK绕点0顺时针旋转90。得到AM0K',点F为直线I上的动点.当△M'FK为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标.2018年07月10日139****3005的初中数学组卷参考答案与试题解析一•选择题（共1小题）1•如图，点A，B在双曲线（x>0）上，点C在双曲线（x>0）上,xx若AC於轴，BC仅轴，且AC=BC，则AB等于（）A.匚B.2匚C.4D.3匚【解答】解：点C在双曲线y=-上,AC於轴，BC仅轴,x设C（a，丄），则B（3a，丄），A（a，—），aaa••AC二BC，解得a=1，（负值已舍去）•C（1，1），B（3，1），A（1，3），••AC=BC=2，••Rt△KBC中，AB=2匕故选：B..解答题（共39小题）

2•如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(4,0),B(3,0)两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.求抛物线的表达式；设抛物线的对称轴为I,I与x轴的交点为D.在直线I上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.如图2,连接BC，PB，PC,设APBC的面积为S.①求S关于t的函数表达式;②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.【解答】解：(1)将A(4,【解答】解：(1)将A(4,0)、B(3,0)代入y=x2+bx+c,，解得:-l-b+c=0-9+3b+c=0•••抛物线的表达式为y=x2+2x+3.(2)在图1中，连接PC,交抛物线对称轴I于点E,•••抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,•••抛物线的对称轴为直线x=1.

当t=2时，点C、P关于直线I对称，此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形.•••抛物线的表达式为y=x2+2x+3,•••点C的坐标为（0,3）,点P的坐标为（2,3）,•••点M的坐标为（1,6）;当t吃时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE,•••点C的横坐标为0，点E的横坐标为0,•••点P的横坐标t=1>20=2•又it老,•••不存在.（3）①在图2中，过点P作PF妙轴，交BC于点F.设直线BC的解析式为y=mx+n（m旳）,将B(3,0)、C(0,3)代入y=mx+n,伽口，解得:伽口，解得:n=3fnF-1ln=3•直线BC的解析式为y=0+3.•••点P的坐标为（t,^+2t+3）,•••点F的坐标为（t,t+3）,••PF=«+2t+3-(+3)=F+3t,••S=-PF?OB=-t2+t=-(t-)2+三.222228②•••■!<0,•••当上=时，S取最大值，最大值为1.2Q

•••点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3),•••线段BC=匕一_=3",竺X2厂••P点到直线BC的距离的最大值为=「,此时点P的坐标为「；，£)•3V2824\m//rk70怪f»U3•如图，抛物线y=a(x牛)(x3)(a>0)与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCAs/OBC.求线段OC的长度；设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)由题可知当y=0时，a(x4)(x3)=0,解得：xi=1,x2=3，即A(1,0),B(3,0),••0A=1,OB=3•••△CAsQbc,••OC:OB=OA:OC,••OC2=OA?OB=3,则OC=「；(2)・.C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，••OC=BC,•••点c的横坐标为,又OC=■:,点C在x轴下方，设直线BM的解析式为y=kx+b,厂(3k+b=0把点B(3,0),C(|■，乎)代入得：玄+&二迺解得：b=眉，k=返,又：点C（厶，--）在抛物线上，代入抛物线解析式,解得：a=—,3•••抛物线解析式为x2二x+2（3）点P存在，设点P坐标为（x,学x2也x+2），过点P作PQ豆轴交直线BM于点Q，则Q（x，返x貞），.•pQ=^^xd_f[3x2x+2^3）=x2+3V^x3丙，当经CP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，SZBCP=1PQ（3-）+1PQ（x3）=PQ=3x2+「x-，2224244当x=-="时，SZBCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标2a4.如图，抛物线.如图，抛物线y=ax2+bx（av0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段0E上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上.设A（t，0），当t=2时，AD=4.求抛物线的函数表达式.当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.【解答】解：(1)设抛物线解析式为y=ax(x40),•••当t=2时，AD=4,•••点D的坐标为(2,4)，•••将点D坐标代入解析式得-16a=4,解得：a=亠，4抛物线的函数表达式为y=亠x2+x;(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t,••AB=102t,当x=t时，AD=-t2+=t,•矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2[(102t)+(-t2+t)]=-t2+t+20—V0,2•••当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为丄；2当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2,0）、（8,0）、（8,4）、（2,4）,•矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5,2）,当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4,4）,此时GH不能将矩形面积平分；当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6,0）,此时GH也不能将矩形面积平分；•••当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分，当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积，••ABCD,•线段0D平移后得到的线段GH,•线段0D的中点Q平移后的对应点是P,在△OBD中，PQ是中位线,

284，所以抛物线向右平移的距离是4个单位.5•如图，点P为抛物线\y=X上一动点.4（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=-（x+2）21通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线I经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0过点P作PM1于M.①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由.②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值【解答】解：（1抛物线y」（x+2）2彳的顶点为（坨，诗）•••抛物线y=1（x+2）21的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=-x2的图象.4（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立.如图一，过点P作PB』轴于点B\B/7JTonXyI（圉一）设点P坐标为（a,-a2）4.•PM=PF二1a2+14'■PB=a••Rt仲BF中BF=■'-:,:.:：<•0F=1•••点F坐标为（0,1）②由①，PM=PFQP+PF的最小值为QP+PM的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值.••QP+PF的最小值为6.6.已知直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点M在线段0A上，从0点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒匚个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒

求抛物线解析式；当t为何值时，△AMN为直角三角形；过N作NH於轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MH/AB，若若不存在，请说明理由.若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)•直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,•••点A的坐标为(£,0)，点B的坐标为(0，3)将A（3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c，得:9-3b+c=0•c=3，解得:9-3b+c=0•c=3，解得:•••抛物线解析式为y=x2+4x+3.(2)当运动时间为t秒时，点M的坐标为(3，0)，点N的坐标为(t3，t)，••AM=3t,AN=匚t.•••△MN为直角三角形，/MAN=45°•△MN为等腰直角三角形(如图1).当HNM=90。时，有AM=匚AN，即3t=2t，解得：t=1;当ZAMN=90。时，有t3=3,解得：t=「.综上所述：当t为1秒或［秒时，AAMN为直角三角形.（3）设NH与x轴交于点E，如图2所示.当运动时间为t秒时，点M的坐标为（戈0）,点N的坐标为（t3,t）,•••点E的坐标为（t3,0），点H的坐标为（t3,t22t）.••MHAB,EMH=45°△MH为等腰直角三角形，••ME=HE，即|2t3|=|t23t|,解得：tl=1,t2=3（舍去），t3=■:,t4=3「；（舍去）.当t=二时，点E在点M的右边，点H在x轴下方，•此时MH1AB,•=1.•存在点H使MH/AB，点H的坐标为（32,4）..如图，抛物线经过原点.如图，抛物线经过原点0（0,0），点A（1,1）,点B（壬，0）.

求抛物线解析式；连接OA，过点A作ACJOA交抛物线于C,连接0C,求△AOC的面积；点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接0M，过点M作MNJOM交x轴于点N•问：是否存在点M，使以点0,M,N为顶点的三角形与(2)中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【解答】解：(1)设抛物线解析式为y=ax(x-)，把A(1，1)代入得a?1(1-)=1，解得a=-，£D•••抛物线解析式为y=-x(x-)，即y=—x2+暫x；5(2)延长CA交y轴于D，如图1，•A(1，1)，••0A=匚，ZDOA=45°•△0D为等腰直角三角形，••OA1AC，••0D=~OA=2，•D(0，2)，易得直线AD的解析式为y=-+2，

解方程组「或尸一3，则C(5,3),.'SZAOC=S△CODS△解方程组「或尸一3，则C(5,3),22=4；存在.如图2，作MHb轴于H,AC=,匕_「二J—「=4匚，OA=匚,设M(x，3x2+=x)(x>0),55「喘嗚时，山側"AC，「喘嗚时，山側"AC，即為=当I当I■I1T-解方程3X2+x=4x得X1=0（舍去），X2=3■（舍去），552解方程3x2+.x=4x得X1=0（舍去），X2=，此时M点坐标为（三-，34）;解方程3X2+』X=X得X1=0（舍去），X2=»，此时M点的坐标为（二，亠）,解方程3x2+—x=3X得X1=0（舍去）,X2=3，此时M点坐标为（-A,-）;bb4o塔52••MNJOM,•••QMN=90°•••MON=zHOM,•••△MHszONM,•••当M点的坐标为（=,34）或（二\）或（—，3）时，以点O,M,N为顶点的三角形与（2）中的AAOC相似.

D.如图，已知二次函数y=ax2+1(a和,a为实数)的图象过点A(2,2),一次函数y=kx+b(k旳,k,b为实数)的图象I经过点B(0,2).求a值并写出二次函数表达式；求b值；设直线I与二次函数图象交于M,N两点，过M作MC垂直x轴于点C,试证明：MB=MC;在(3)的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并【解答】解：(1)v二次函数y=ax2+1(a和,a为实数)的图象过点A(2,2),•'2=4a+1，解得:a=〒,•••二次函数表达式为y=±x2+1.4(2).•—次函数y=kx+b(k和,k,b为实数)的图象I经过点B(0,2),••2=kX)+b,••b=2.证明：过点M作MEJy轴于点E,如图1所示.设点M的坐标为(x，丄培+1),则MC=1x2+1,44••ME=|x|,EB=|1x2+12|=|lx21|,••MB=|=[x2+1.••MB=MC.相切，理由如下：过点N作NDJx轴于D，取MN的中点为P,过点P作PFb轴于点F,过点N作NHJMC于点H，交PF于点Q，如图2所示.由(3)知NB=ND,••MN=NB+MB=ND+MC.•••点P为MN的中点，PQ4MH,••PQ=MH.2••NDHC,NHDC,且四个角均为直角，•四边形NDCH为矩形，••QF=ND,••PF=PQ+QF==MH+ND=1(ND+MH+HC)」(ND+MC)」MN.2222

【解答】解：（1）•••抛物线y=ax2+_x+4的对称轴是直线x=3,2_3_•••-=3,解得：a=亠,TOC\o"1-5"\h\z2a4•••抛物线的解析式为y=gx2+刍x+4.\o"CurrentDocument"42当y=0时，」x2+x+4=0,y42解得：xi=2,X2=8,•••点A的坐标为（£,0）,点B的坐标为（8,0）.（2）当x=0时，y=丄x2+上x+4=4,\o"CurrentDocument"42•••点C的坐标为（0,4）.设直线BC的解析式为y=kx+b（k旳）.将B(8,0)、C(0,4)代入y=kx+b,竽:口，解得：竽:口，解得：b=42,,b=4•直线BC的解析式为y=-x+4.假设存在，设点P的坐标为（x,-x2+「x+4）,过点P作PD妙轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，二x+4）,如图所示.123

••PD=—x2+x+4123

••PD=—x2+x+4—42-1•'Szpbc=±PD?OB=£>8?（丄x2+2x）=-2+8x=—（-）2+16.224

Jy0,•••当x=4时，△PBC的面积最大，最大面积是16.■-0vxv8,•存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16.（3）设点M的坐标为（m，丄m2+』m+4）,则点N的坐标为（m，丄m+4）,422•，MN=|丄m2+手m+4-（-m+4）|=|亠m2+2m|.又--MN=3，•I-m2+2m|=3.当0vmv8时，有-m2+2m-=0，4解得：mi=2，m2=6，•••点P的坐标为（2，6）或（6，4）;当mv0或m>8时，有-m2+2m+3=0，4解得：m3=4（，m4=4+2一，•••点P的坐标为（4-二，_-）或（4+2二，-二-）.综上所述：M点的坐标为（42听，V71）、（2，6）、（6，4）或（4+2们，-彳-.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6,0),C(2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.求抛物线的解析式；当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE仅轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.备用图【解答】解：(1抛物线过点B(6，0)、C(2，0)，•••设抛物线解析式为y=a(x2)(x+2)，将点A(0，6)代入，得：-12a=6，解得：a=-，所以抛物线解析式为y=—(x2)(x+2)=—x2+2x+6;(2)如图1,过点P作PMJOB与点M，交AB于点N，作AGJPM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A(0，6)、B(6，0)代入，得:

飞二6二0’解得：$二T,lb=6则直线AB解析式为y=x+6,设P(t,」t2+2t+6)其中0vtv6,2则N(t,t+6),••PN=PMMN=丄t2+2t+6-(+」)=」t2+2t+6+t6=丄t2+3t,222.'S△3AB=S△PAN+SZPBN=_LPN?AG+丄PN?BM22=〒PN?(AG+BM)=-PN?OB2=盲x(62+3t)^6=-t2+9t2=6=6-(t-)•••当t=3时，APAB的面积有最大值;(3)如图2,i10H图2••PHJOB于H,••』HB=ZAOB=90°••DHAO,••0A=0B=6,•••BDH=ZBAO=45°••PE没轴、PD轴，••』PE=90°若△^DE为等腰直角三角形，贝UPD=PE,设点P的横坐标为a,.•PD=1a2+2a+6-a+6)=寺a2+3a,PE=2|2a|,•••p2+3a=2|2-,解得：a=4或a=5-■_,所以P(4,6)或P(5-=,3.^5).11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=Wx2-x4与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.求点A,B,C的坐标；点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，APBQ的面积S最大，并求出其最大面积；在(2)的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是厶PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）当x=0时，y=^x2善x4=4,VV•••点C的坐标为（0,4）;当y=0时，有彳x24x4=0,解得：xi=2,X2=3,•••点A的坐标为（4L，0），点B的坐标为（3，0）（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k和）,将B(3,0)、C(0,4)代入y=kx+b,/3k+b=0Lb=-4，解得:/3k+b=0Lb=-4，解得:tb=-4•直线BC的解析式为丫=亍4.过点Q作QE/y轴，交x轴于点E，如图1所示,当运动时间为t秒时，点P的坐标为（2t2,0），点Q的坐标为（341,4t）,55••PB=3-2t2)=52t,QE='t,5•°Szpbq=」-PB?QE=—t2+2t=—(t—)2+.•••当t-时，^BQ的面积取最大值，最大值为；.（3）当APBQ面积最大时，t=',此时点P的坐标为（丄，0）,点Q的坐标为（JL,1.24假设存在，设点M的坐标为（m,号m2号m4）,则点F的坐标为（m，号m4）,•°MF二’m44（m2—m4）=亠m2+2m,3333.•Szbmc=—MF?OB=m2+3m.2•••△MC的面积是厶PBQ面积的1.6倍，•••rm2+3m==X1.6，即m23m+2=0,4解得：mi=1,m2=2.■-0vmv3,•••在BC下方的抛物线上存在点M，使ABMC的面积是厶PBQ面积的1.6倍，点M的坐标为（1,4）或（2,—）.L-1