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行列式计算方法总结及简单应用

行列式经典例题例1计算元素为aij=|i－j|的n阶行列式.解方法1由题设知，=0，，，故其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第列．方法2=例2.设a,b,c是互异的实数,证明:

的充要条件是a+b+c=0.证明:考察范德蒙行列式:

=行列式即为y2前的系数.于是=所以的充要条件是a+b+c=0.例3计算D=解：方法1递推法按第1列展开，有D=xD+（－1）a=xD+a由于D=x+a，，于是D=xD+a=x（xD+a）+a=xD+ax+a==xD+ax++ax+a=方法2第2列的x倍，第3列的x倍，，第n列的x倍分别加到第1列上===方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式．Dxk=x(++++a+x)=方法4++++=（－1）（－1）a+（－1）（－1）ax++（－1）（－1）ax+（－1）(a+x)x=例4．计算n阶行列式：()解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．=这个题的特殊情形是=可作为公式记下来．例5．计算n阶“三对角”行列式D=解方法1递推法．DD—D－D即有递推关系式D=D－D(n3)故＝递推得到＝＝＝＝而，＝＝，代入得（2.1）由递推公式得＝＝αD＋＝＝＋＋＋＝方法2把D按第1列拆成2个n阶行列式D=＋上式右端第一个行列式等于αD，而第二个行列式=β于是得递推公式，已与（2.1）式相同．方法3在方法1中得递推公式D=D－D又因为当时D=====D==-2==于是猜想，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当nk时成立．当n=k+1是，由递推公式得D=D－D=—=所以对于nN，等式都成立例6．计算阶行列式：其中．解这道题有多种解法．方法1化为上三角行列式其中，于是．方法2升阶（或

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