中南大学2021年《线性代数》期末试题及答案

中南大学考试试卷《线性代数》课程32 学时2学分考试形式闭卷总分：100分一、填空题（每小题3分，共15分）1 01、设f(x)x23，矩阵A4 3，则f(A)= . 2、设B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P，使 成立，则称A与B相似．3、n元非齐次线性方程组Amn

xb有唯一解的充分必要条件是 .4fx

5x25x23x

2xx 6xx 6x

f对应1 2 3

1 2

12 13 2 3的矩阵A= .5、设4阶方阵A满足：0,3E0,2E(其中E是单位矩阵)，则A的伴随矩阵A*必有一个特征值为 二、选择题（每小题3分，共15分）1、已知4阶方阵A的伴随矩阵为A*，且A的行列式=3，则A*=（ ）.（A）81. （B）27. （C）12. （D）9.2、设A、B都是n阶方阵，且A与B有相同的特征值，并且A、B都有n个线性无关的特征向量，则（ 。（A）A与B相似. （B）A=B.（C）AB，但|AB|0.（D）AB不一定相似，但|A||B|.3、设n阶方阵A为正定矩阵，下面结论不正确的是（ ）.A可逆.（C）|A|0.

A1也是正定矩阵.（D）A的所有元素全为正.4、若n阶实方阵AA2，E为n阶单位阵，则（ ）.（A）R(A)R(AE)n.（B）R(A)R(AE)n.（C）RARAE)n.（D）RRAE)与n的大小.0 0 1 15、设0，1，1，1cc

,c,

为任意常数，1 2 3 4

1 2 3 4c c c c1234 1234则下列向量组线性相关的为（ ）.（A），，.1 2 3

（B），，.1 2 4（C），，.1 3 4

（D），，.2 3 4三（本题满分10分）x aa xn计算n（n2Dna a

aa，Dnx

的主对角线上的元素都为x，其余位置元素都为axa.四（本题满分10分）3BA1BA6A五（本题满分10分）

122A00

00 01 0B.4170 7设方阵A满足A2A2E0(其中E是单位矩阵)，求A1,(A2E)1.六（12分

1 2 1 34 1 5 6已知向量组A：1

，1

，3 3

，4 4

，72 1 1 0 A的秩；A用该最大无关组线性表示.七（14分）1 设矩阵A

1 0 0 0 与矩阵B0 1 1

1

0 0 2（1）求,；（2）PP1APB.八（14分）设有线性方程组为

xax

a2

a3xx1a12xx

1 a2x

1a31 22 2 3 2xaxa2x a31 32 3 3 3xax1 42

a2x4

a34证明：若aa1 2

，a，a3

两两不等，则此方程组无解.设aa1 3

k，a2

a k（k0，4 1

是该方程组的两个解，其中 (1,1,，1

(1,1,1)T，写出此方程组的通解.参考答案一、填空题（315）-2 0

5 1 3 41、8

、P1APB、R(A)R(b)n、1 5 3、3 3 3 3 二、选择题（315）BADCC三（本题满分10分，见教材P44习题第5题）nx(n1)a a an解：后面

n1

1D

x(n1)a x a1x()a[x(n)a]

x(n1)a a xa ax a 1 a x1 0 0c(a)c 1

xa 021[x(n)a] (xa)n1[x(n)a].c(a)c

2cn(a)cn 1

0 xa（10P1726类似2 1 1

1 1

6 解：B6(A1E)16 4

1

6

3

2 . 7

1

6 1

（10P1181P1737）AE AEA2A2E0

EA1 .2 2

(AE)2 3EAA2A2E0A2E

(A2E)1

(A2)1

(A2 或4 4（12P8932P1786）12112131011415601121347000021100000R(A)2,,为所求的一个最大线性无关组，且,2.1 2312 412（14P19014）1）ABAB有相同的特征值，而B0,1，2，故得A的特征值为1

0, 1,2

2，从而有 ，0EA01EA0由此解得 00EA01EA0对于

1120解0EAX0得特征向量0单位化得0 ；1 1 1 1220对于 1，解EAX0，得特征向量为p 1；2 10对于 2，解2EAX0，得特征向量3

1120，单位化得：p 01 1212令P p,p,p1 2 3

1 0 12 20 1 0，则P为正交阵，且使P1AP B.221 0 122（14P871）B41aa1aa2a31111aa2a322211a3aa23a2a33a3444

a)j i1ij4由于a1

3

|0R)4A的秩RA)3，故RA)R（2）aa1 3

k，a2

a k（k0）时，方程组变为4xkxk2x1 2

k3xkxk2

k3 即

x

k2

k31 2 3 1 2 3xkxk2xk3 xkxk2xk31 2 3

1 2 3xkx1

k2x3

k3因为1 k 2k0故R(R(B)2所以方程组有解且对应的齐次方1 k3-2=1个解向量，又