《简单几何体的表面积和体积》易错疑难集训

PAGE16《简单几何体的表面积和体积》易错疑难集训过易错教材易混易错集训易错点1对几何体分类讨论不全而致误1已知某圆柱的侧面展开图是边长分别为的矩形，则该圆柱的体积为（）ABCD2[2022云南师大附中高三月考]已知半径为5的球被两平行平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（）ABC或D或3[2022江苏苏州中学高三月考]如图所示，在直三棱柱中，若用平行于该三棱柱的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则所得的长方体的表面积的最小值为_____

4[2022湖南长沙明德中学模考]在半径为15的球内有一个底面边长为的内接正三棱锥，求此正三棱锥的体积易错点2求几何体的表面积时考虑不全而致误5[2022安徽蚌埠二中月考]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

6[2022广东湛江一中月考]如图，从底面半径为，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积与挖去圆锥后的几何体的表面积之比

7[2022广东汕头潮阳实验学校月考]如图所示,在边长为4的正三角形中，分别是的中点,为的中点，分别是的中点，若将正三角形绕所在直线旋转，求阴影部分形成的几何体的表面积过疑难常考疑难问题突破疑难点空间几何体展开图的应用1[2022四川成都外国语学校高二期末考试]如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（）

ABCD2[2022重庆育才中学月考]在长方体中，，且,求沿长方体的侧面从到的最短路线的长3如图，在正三棱锥中，，侧棱长为分别是上的点，求周长的最小值

过重点教材重点知识集训重点1割补法求几何体的体积1[2022宁夏银川一中期末考试]如图所示，从左到右分别是一个多面体的直观图、正视图、侧视图按照给出的尺寸，则该多面体的体积为____

2如图所示，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且均为正三角形，,求该多面体的体积

3[2022吉林长春十一中高一期中考试]如图，已知底面半径为的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为，最小值为,那么圆柱被截后剩下部分的体积是多少？

4[2022安徽师大附中高二月考]如图所示，三棱柱中，若分别为的中点，平面将三棱柱分成体积分别为的两部分，那么等于多少？

重点2等体积法求三棱锥的体积（或高）5如图，在长方体中现截下一个三棱锥，则三棱锥的体积为_____

6[2022甘肃兰州一中高一月考]已知四棱锥的底面是边长为6的正方形，且,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，求该四棱锥的高重点3有关球的计算问题7[2022湖南长沙长郡中学期中考试]已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，若这个球的体积是，则这个正三棱柱的体积是（）

8 若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边为1的等腰直角三角形,另两个面都是直角边分别为1和在的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为_____9[2022福建长泰二中高一月考]如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗并请说明理由

参考答案过易错教材易混易错集训1答案：A解析：设圆柱的母线长为，底面圆的半径为，则当，这时；当这时综上，该圆柱的体积为或2答案：C解析：①当两截面圆在球心的同侧时，如图（1）所示,为大截面圆的直径，为大截面圆的圆心，为小截面圆的直径，为小截面圆的圆心，梯形为圆台的轴截面，由题意，知,则圆台的高为，所以圆台的侧面积为②当两截面圆在球心的异侧时，如图（2）所示，为大截面圆的直径，为大截面圆的圆心,为小截面圆的直径,为小截面圆的圆心,梯形为圆台的轴截面，由题意,知,则圆台的高为,

3答案：40解析：由题意,知拼接后的长方体有两种:一是长方体的高为4,底面是边长为2的正方形，其表面积为40；二是长方体的高为4,底面矩形的长为4，宽为1，其表面积为48,因此所得的长方体的表面积的最小值为40【易错提醒】本题的易错点是审题不认真，未注意到条件中是用平行于该三棱柱的某一侧面的平面去截此三棱柱，导致分类的情形增多而失分4答案：见解析解析：①如图甲所示的情形，显然设为的中心，则三点在同一条直线上

正三棱锥的高又②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥的髙综上，可知此正三棱锥的体积为或5答案：C解析：由三视图，可得该几何体是一个组合体，左右两端是半径为1的半球，中间部分为底面半径为1，高为3的半个圆柱，故该几何体的表面积，故选C6答案：见解析解析：由题意，知

7答案：见解析解析：旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体令,所求几何体的表面积【练后反思】几何体的表面积是各个面的面积之和，因此求组合体的表面积时切忌直接套用柱、锥、台、球的表面积公式，而应先分析该几何体由几部分组成，几何体各个面间有无重叠，再结合相应几何体选择公式求解过疑难常考疑难问题突破1答案：C解析:作出该圆锥的侧面展开图，如图所示连接,该小虫爬行的最短路程为，在中，,易得设底面圆的半径为，正确【名师点睛】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的孤长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长2答案：见解析解析：下列展开图中的最小值即为长方体表面上由点到的最短路线的长，图形甲、乙、丙中的长分别为：

3答案：见解析解析：将正三棱锥沿棱展开可得如图所示的图形，易知当共线时，的周长最小在展开图中，,故是等腰直角三角形，因此所求的周长的最小值即的长，为【练后反思】研究空间几何体表面上两点之间的最短路线问题时，常常要借助几何体的侧面展开图，将空间问题转化为平面问题来解决过重点教材重点知识集训1答案：解析：依题意，把题中多面体补成如图所示的正方体，则所求的体积是由正方体的体积减去三棱锥的体积而得到的所求多面体的体积2答案：见解析解析：如图所示,分别过作的垂线，,CH，容易求得所以

3答案：见解析解析：过点作平行于底面的截面，将剩下的几何体分为两部分，下部分是一个底面半径为，高为的圆柱，其体积将上部分再补成圆柱,这样上部分的体积是所补成圆柱体积的一半,其体积所以，圆柱被截后剩下部分的体积4答案：见解析解析：如图，延长A1A到A2,B1B到B2,C1C到，且连接，则得到三棱柱，且，延长，则与相交于点因为,所以又所以故【练后反思】当所给几何体的体积不容易计算时，可根据几何体的结构特征将其分解成多个体积易求的几何体,或者补成体积易求的几何体，这种解法就是割补法，割补法求体积体现了转化与化归思想的应用5答案：1解析：由题意，可知所以所求三棱锥的体积为16答案：见解析解析：设该四棱锥的高为则四棱锥的表面积为因为一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，所以四棱锥的体积又，即所以，故该四棱锥的高为