新高考艺术生数学基础复习讲义 考点32 对数函数（教师版含解析）

考点32对数函数知识理解知识理解对数函数的概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).y＝logax的3个特征(1)底数a>0，且a≠1(2)自变量x>0(3)函数值域为R三．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论四．反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．考向分析考向一对数函数辨析考向分析【例1】(2020·全国课时练习)下列函数为对数函数的是()A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1)B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)D．y＝2logax(a＞0且a≠1)【答案】C【解析】根据对数函数的定义，可得判定，只有函数且复数对数函数的概念，所以函数且是对数函数，而选项A、B、D中的函数只能是对数型函数，不是对数函数.故选：C.【举一反三】1．(2020·全国单元测试)下列函数是对数函数的是()A． B． C． D．【答案】D【解析】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合.故选D2．(2021·全国高一)下列函数表达式中，是对数函数的有()①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】B【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.故选：B3．(2020·全国练习)下列函数，是对数函数的是A．y=lg10x B．y=log3x2C．y=lnx D．y=log(x–1)【答案】C【解析】由对数函数的定义，形如y=logax(a>0，a≠1)的函数是对数函数，由此得到：y=lg10x=x，y==2、y=都不是对数函数，只有y=lnx是对数函数．故选C．考向二对数函数的定义域【例2】(1)(2020·云南省保山第九中学高三开学考试(理))函数的定义域是()A． B． C． D．(2)(2021·湖北鄂州市·高一期末)已知的定义域为，那么的取值范围为()A． B． C． D．【答案】(1)A(2)A【解析】对于函数，有，解得，因此，函数的定义域是.故选：A.(2)由条件可知恒成立，即，解得：，所以的取值范围是.故选：A【举一反三】1．(2021·四川资阳市)已知函数的定义域为，则函数的定义域为()A． B． C． D．【答案】D【解析】已知函数的定义域为，对于函数，有，即，解得.因此，函数的定义域为.故选：D.2.(2021·广西期末)函数的定义域为()A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可知解得且.所以函数的定义域为故选：D3．(2021·全国高一课时练习)函数的定义域是()A． B．C． D．【答案】D【解析】由题可得，，解得．所以函数的定义域是．故选：D．4．(2021·全国练习)函数的定义域是()A． B．C． D．【答案】A【解析】由，即，解得，所以的定义域是故选：A考向三对数函数的单调性【例3-1】(2021·四川高一开学考试)函数的单调递增区间为()A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，函数应满足：，解得：；而在上单增，在上单减；∵是减函数，∴的单调递增区间为故选：D【例3-2】(2021·吴县中学)函数在上单调递增，则实数a的取值范围为()A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则要使在上单调递增，则满足，即，得，即实数的取值范围是，故选：．【例3-3】．(2021·浙江)已知，，，则，，的大小关系是()A． B． C． D．【答案】A【解析】，即；，即；，即，所以.故选：A【方法总结】【方法总结】比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1，0等中间量进行比较【举一反三】1．(2021·重庆北碚区·西南大学附中)函数的单调递增区间是()A． B． C． D．【答案】D【解析】对于函数，，解得或，所以，函数的定义域为.内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，外层函数为增函数，因此，函数的单调递增区间为.故选：D.2．(2021·广东广州市·高三二模)已知，，，则()A． B．C． D．【答案】D【解析】，即；，即.所以.故选：D3．(2021·陕西西安市·西安中学高三月考(理))设函数，则使得成立的x的取值范围是()A． B．C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为，，可得是偶函数，所以等价于当时，因为单调递增，单调递减，所以为单调递增函数，所以，即，整理可得，解得：或，所以使得成立的x的取值范围是，故选：B4．(2021·广东珠海市)已知，，，则()A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，则，所以，故选：B5．(2021·湖北开学考试)已知，，，则下列关系正确的是()A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，所以，故选：D．8．(2021·全国)若函数在上是单调增函数，则的取值范围是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意得，设，根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数，且，所以，所以，故选:C．9(2021·全国课时练习)函数在区间内单调递增，则的取值范围()A． B．C． D．【答案】C【解析】令，因为函数在区间内单调递增，所以t在上递减，且恒成立,即，且，解得，又，即，所以，所以的取值范围，故选：C考向四对数函数的值域【例4-1】(2021·广西玉林市)若函数的值域为，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知，函数的值域包含，当时，符合题意；当时，则，解得；当时，显然不符合题意，故实数的取值范围是．故选：A.【例4-2】(2021·贵州毕节市)已知函数的值域为，则实数a的取值范围是()A． B．C． D．【答案】B【解析】时，，又的值域为，则时，的值域包含，，解得：.故选：B【举一反三】1．(2021·重庆)已知函数的值域为，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，则，所以，函数在区间上的值域包含，所以，存在，使得，即，而函数在区间上为增函数，，.故选：D.2．(2020·新疆乌鲁木齐市·乌鲁木齐101中学)求下列函数的定义域与值域：(1)；(2).【答案】(1)定义域是，值域是；(2)定义域是，值域是.【解析】(1)对于函数，有，可得，由于，则，因此，函数的定义域为，值域是；(2)，，则，因此，函数的定义域是，值域是.考向五对数函数的定点【例5】(2021·四川开学考试)函数(，且)的图象一定经过的点是()A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，则，即函数图象过定点．故选：B．【举一反三】1．(2020·平罗中学)函数的图像一定经过点()A． B． C． D．【答案】B【解析】当，即时，，即函数的图象一定经过点.故选：B.2．(2020·平罗中学)函数的图象过定点()A． B． C． D．【答案】D【解析】因为对数函数且过定点，函数可以由数向左平移个单位，再向上平移个单位得到，故函数的图象过定点故选：D.3．(2020·河南信阳市)函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则()A．2 B．3 C．8 D．9【答案】D【解析】由可得当时，，，设，则，解得，于是，∴.故选：D.强化练习一、单选题强化练习1．(2021·全国课时练习)若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为()A． B．C．或 D．不确定【答案】A【解析】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为．故选：A．2．(2021·全国课时练习)已知函数(且)的图象必经过定点P，则P点坐标是()A． B．C． D．【答案】C【解析】令，解得，所以，因此函数的图象过定点．故选：C．3．(2020·全国课时练习)下列函数是对数函数的是()A．y＝log3(x＋1) B．y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)C．y＝logax2(a>0，且a≠1) D．y＝lnx【答案】D【解析】形如的函数为对数函数，只有D满足.故选D.4．(2021·江苏盐城市·高三一模)已知函数的定义域为集合M，函数的值域为N，则()A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，又，故.故选:C.5．(2021·安徽高三一模(理))已知函数f(x)=e|lnx|，，b=f(log2)，c=f(21.2)，则()A．b>c>a B．c>b>aC．c>a>b D．b>a>c【答案】B【解析】所以故选：B6．(2021·六安市裕安区新安中学)已知，则的大小关系是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由指数幂与对数的运算公式，可得，因为，可得，所以，即，所以，即，又由，即，所以.故选：C.7．(2021·四川开学考试)已知，，，则的大小关系为()A． B． C． D．【答案】A【解析】由对数的运算性质可知：，，，所以，故选：A.8．(2021·湖南永州市·高三二模)已知，，，则()A． B．C． D．【答案】D【解析】,,因为，所以故故选：D9．(2021·陕西西安市·西安中学高三月考(文))设，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，所以．故选：A．10．(2021·云南师大附中高三月考(文))已知，，，则()A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，，，所以，故选：B.11．(2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三月考(理))函数的单调递减区间为()A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，所以函数的定义域为.因为函数在上为减函数，为增函数，所以的单调递减区间为.故选：D12．(2021·湖北开学考试)已知函数(且)的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则()A． B．2 C．1 D．【答案】C【解析】函数中，令，解得，此时；所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，所以，解得；所以，所以．故选：C．13．(2020·全国高三专题练习)已知对数函数，则______．【答案】2【解析】由对数函数的定义，可得，解得．故答案为．14．(2020·全国课时练习)若函数y＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则a的值为______．【答案】2【解析】由对数函数的定义结合题意可知：，据此可得：.15．(2020·全国高一课时练习)函数的定义域为____________；单调增区间____________；单调减区间____________；值域是____________．【答案】【解析】由，解得，所以函数的定义域为；因为在上单调递增，在上单调递减，且在上单调递减，所以函数的减区间是，增区间为；因为，所以，以为在上是减函数，且，所以函数的值域为；故答案为：①；②；③；④.16．(2020·天津经济技术开发区第一中学高一月考)函数的值域是________.【答案】【解析】解：由题可知，函数，则，解得：，所以函数的定义域为，设，，则时，为增函数，时，为减函数，可知当时，有最大值为，而，所以，而对数函数在定义域内为减函数，由复合函数的单调性可知，函数在区间上为减函数，在上为增函数，，∴函数的值域为.故答案为：.17．(2020·陕西省子洲中学高三月考(文))函数的值域为_____.【答案】【解析】当时，，则，因此，函数的值域为.故答案为：.18．(2020·福建省厦门第六中学高一期中)函数的值域是________.【答案】【解析】由，解得，即函数的定义域为令，则，即函数的值域是故答案为：19．(2021·寿县第一中学高一开学考试)不等式的解集为_________.【答案】【解析】因为，所以，即，因为，所以恒成立，所以，即，所以，所以，所以原不等式的解集为故答案为：20．(2020·河南高二月考(文))函数在单调递减，则的范围是__