数值计算方法试题

(圆满版)数值计算方法试题及答案(圆满版)数值计算方法试题及答案27/27(圆满版)数值计算方法试题及答案数值试题数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、假如用二分法求方程x3x40在区间[1,2]内的根精准到三位小数，需对分（）次。2、迭代格式xk1xk(xk22)局部收敛的充分条件是取值在（）。S(x)x30x11(x1)3a(x1)2b(x1)c1x33、已知2是三次样条函数，则a=()，b=（），c=（）。、l0(x),l1(x),,ln(x)是以整数点x0,x1,,xn为节点的Lagrange插值基函4数，则nnlk(x)()，xklj(xk)()，当n2时k0k0n(xk4xk23)lk(x))。k0(5、设f(x)6x72x43x21和节点xkk/2,k0,1,2,,则f[x0,x1,,xn]和7f0。6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。、k(x)k0是区间[0,1]上权函数(x)x的最高项系数为1的正交多项71式族，此中0(x)1，则x4(x)dx。0x1ax2b18、给定方程组ax1x2b2，a为实数，当a知足，且2时，SOR迭代法收敛。yf(x,y)9、解初值问题y(x0)y0的改良欧拉法yn[0]1ynhf(xn,yn)yn1ynh[f(xn,yn)f(xn1,yn[0]1)]2是阶方法。10aA01a10、设aa1，当a（）时，必有分解式ALLT，1数值试题此中L为下三角阵，当其对角线元素lii(i条件时，这类分解是独一的。二、二、选择题（每题2分）1、解方程组Axb的简单迭代格式x(k1)（）。（1）(A)1,(2)(B)1,(3)bf(x)dx(b2、在牛顿-柯特斯求积公式：a

1,2,3)知足（）Bx(k)g收敛的充要条件是(A)1,(4)(B)1nCi(n)a)i0f(xi)中，当系数Ci(n)是负值时，公式的坚固性不可以保证，因此实质应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。10，（）n6，（1）n8，（）n7，（）n4233、有以下数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确立的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次hhf(xn,yn))求解初值问题4、若用二阶中点公式yn1ynhf(xn2,yn4y2y,y(0)1，试问为保证该公式绝对坚固，步长h的取值范围为（）。(1)0h2,(2)0h2,(3)0h2,(4)0h2三、1、（8分）用最小二乘法求形如yabx2的经验公式拟合以下数据：xi19253038yi19.032.349.073.31、（分）用nexdx158的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算02时，(1)试用余项预计其偏差。2）用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。四、1、（15分）方程x3x10在x1.5周边有根，把方程写成三种x1不一样样的等价形式（1）x3x1对应迭代格式xn13xn11；(2)x2数值试题xn1111对应迭代格式xn1xn31。判对应迭代格式xn；（3）xx3断迭代格式在x01.5的收敛性，选一种收敛格式计算x1.5周边的根，精准到小数点后第三位。选一种迭代格式成立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明能否有加快见效。2、（8分）已知方程组43A341f14，

AXf，此中2430241）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的重量形式。2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。dyy1dx五、1、（15分）取步长h0.1，求解初值问题y(0)1用改良的欧拉法求y(0.1)的值；用经典的四阶龙格—库塔法求y(0.1)的值。2、（8分）求一次数不高于4次的多项式p(x)使它知足p(x0)f(x0),p(x1)f(x1),p(x0)f(x0),p(x1)f(x1),p(x2)f(x2)六、（以下2题任选一题，4分）1、1、数值积分公式形如1Bf(1)Cf(0)Df(1)xf(x)dxS(x)Af(0)0（1）（1）试确立参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高；（2）C4[0,1]，推导余项公式R(x)1xf(x)dxS(x)，并预计设f(x)0偏差。2、2、用二步法yn10yn1yn1h[f(xn,yn)(1)f(xn1,yn1)]yf(x,y)求解常微分方程的初值问题y(x0)y0时，怎样选择参数0,1,使方法阶数尽可能高，并求局部截断偏差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每题２分）１、若A是nn阶非奇怪阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使ALU独一成立。（）２、当n8时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不坚固性。3数值试题（）3、形如

bnf(x)dxAif(xi)a1i

的高斯（Gauss）型求积公式拥有最高代数精准度的次数为2n1。（）210A111４、矩阵012的２－范数A2＝９。（）2aa0A0a05、设00a，则对随意实数a0，方程组Axb都是病态的。（用）（）6、设ARnn，QRnn，且有QTQI（单位阵），则有A2QA2。（）7、区间a,b上对于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且独一。（）8、对矩阵A作以下的Doolittle分解：223100223A4772100b12451a1006，则a,b的值分别为a2，b2。（）二、填空题：（共20分，每题2分）1、设f(x)9x83x421x210，则均差f[20,21,,28]__________，f[30,31,,39]__________。2、设函数f(x)于区间a,b上有足够阶连续导数，pa,b为f(x)的xkf(xk)1xkm一个m重零点，Newton迭代公式f'(xk)的收敛阶最少是__________阶。、区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上拥有直到__________阶的连续导数。724、向量XA(1,2)T,矩阵31，则AX1__________，cond(A)__________。1f(x)dxf(x0)f(x1)拥有最高的代5、为使两点的数值求积公式：14数值试题数精准度，则其求积基点应为x1__________，x2__________。6、设ARnn，ATA，则(A)（谱半径）__________A2。（此处填小于、大于、等于）10A211limAk7、设42，则k__________。三、简答题：（9分）1、1、方程x42x在区间1,2内有独一根x*，若用迭代公式：xk1ln(4xk)/ln2(k0,1,2,)，则其产生的序列xk能否收敛于x*？说明原因。2、2、使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为何要用选主元的技术？1cosx3、3、设xf(x)x20.001，试选择较好的算法计算函数值。四、（10分）已知数值积分公式为：hh[f(0)f(h)]h2[f'(0)f'(h)]f(x)dx02

，试确立积分公式中的参数，使其代数精准度尽量高，并指出其代数精准度的次数。五、（8分）已知求a(a0)的迭代公式为：xk11(xka)x00k0,1,22xk证明：对全部k1,2,,xka，且序列xk是单一递减的，进而迭代过程收敛。33[f(1)f(2)]六、（9分）数值求积公式f(x)dx20能否为插值型求积公式？为何？其代数精度是多少？七、（9分）设线性代数方程组AXb中系数矩阵A非奇怪，X为精准~~解，b0，若向量X是AXb的一个近似解，残向量rbAX，~XXrcond(A)证明预计式：Xb（假设所用矩阵范数与向量范数相容）。八、(10分)设函数f(x)在区间0,3上拥有四阶连续导数，试求知足以下插值条件的一个次数不超出3的插值多项式H(x)，并导出其余项。5数值试题ii(xi)f'(xi)

012012-1133九、(9分)设n(x)是区间[a,b]上对于权函数w(x)的直交多项式序列，xi(i1,2,,n,n1)为n1(x)的零点，li(x)(i1,2,,n,n1)是以xi为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基bn1f(x)w(x)dxAkf(xk)函数，ak1为高斯型求积公式，证明：n1（1）（1）当0k,jn,kAik(xi)j(xi)0j时，i1b（2）alk(x)lj(x)w(x)dx0(kj)n1blk2(x)w(x)dxbw(x)dx（3）k1aa十、（选做题8分）若f(x)n1(x)(xx0)(xx1)(xxn)，xi(i0,1,,n)互异，求f[x0,x1,,xp]的值，此中pn1。数值计算方法试题三一、（24分）填空题(1)(1)(2分)改变函数f(x)x1x(x1)的形式，使计算结果较精准。(2)(2)(2分)若用二分法求方程fx0在区间[1,2]内的根，要求精准到第3位小数，则需要对分次。x12x22(3)(3)(2分)设fxx1x2，则f'x6数值试题2x3,0x1(4)(4)(3分)设Sx3ax2c,1x2是3次样条函数，xbx则a=,b=,c=。1(5)(3分)若用复化梯形公式计算0exdx，要求偏差不超出106，利用余项公式预计，最少用个求积节点。x11.6x21(6)(6)(6分)写出求解方程组0.4x1x22的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法能否收敛。(7)(7)(4分)设CondA。

54A,则A43，(8)(8)(2分)若用Euler法求解初值问题y'10y,y01，为保证算法的绝对坚固，则步长h的取值范围为.(64分)(1)(1)(6分)写出求方程4xcosx1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(2)(2)(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项预计偏差。(3)(3)(10分)求fxex在区间[0,1]上的1次最正确平方迫近多项7数值试题式。1sinx(4)(4)(10分)用复化Simpson公式计算积分Ixdx0的近似值，要求偏差限为0.5105。(5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：x14x22x3243x1x25x3342x16x2x32713x15122x2(6)(6)(8分)求方程组111的最小二乘解。(7)(8分)已知常微分方程的初值问题：dydxxy,1x1.2y(1)2用改良的Euler方法计算y(12.)的近似值，取步长h0.2。三．(12分，在以下5个题中至多项选择做3个题)(1)(6分)求一次数不超出4次的多项式p(x)知足：p115，p'120，p''130，p257，p'272(2)(6分)结构代数精度最高的以下形式的求积公式，并求出其代数精度：11A1f1xfxdxA0f02101A(3)(3)(6分)用幂法求矩阵11的模最大的特点值及其相应的单位特点向量，迭代至特点值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特点向量的初始近似值为1,0T。8数值试题(4)(6分)推求解常微分方程初y'xfx,yx,axb,yay0的形式yi1yih0fi1fi1,i=1,2,⋯,N的公式，使其精度尽量高，此中fifxi,yi,xiaih,i=0,1,⋯,N,baN(5)(6分)求出用差分方法求解常微分方程的y''pxy'qxyrx0,axby'a0,yb0所获得的三角性方程。数算方法三一、（24分）填空(9)(1)(2分)改函数f(x)x1x(x1)的形式，使算果精准。(10)(2)(2分)若用二分法求方程fx0在区[1,2]内的根，要求精准到第3位小数，需要分次。x12x22fx，f'x(11)(3)(2分)x1x22x3,0x1Sx1x2是3次条函数，(12)(4)(3分)x3ax2bxc,a=,b=,c=。9数值试题1(5)(3分)若用复化梯形公式计算0exdx，要求偏差不超出106，利用余项公式预计，最少用个求积节点。x11.6x21(14)(6)(6分)写出求解方程组0.4x1x22的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法能否收敛。(15)(7)(4分)设CondA。

54A,则A43，(16)(8)(2分)若用Euler法求解初值问题y'10y,y01，为保证算法的绝对坚固，则步长h的取值范围为.(64分)(8)(1)(6分)写出求方程4xcosx1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(9)(2)(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项预计偏差。(10)(3)(10分)求fxex在区间[0,1]上的1次最正确平方迫近多项式。1sinxI0dx(11)(4)(10分)用复化Simpson公式计算积分x的近似值，要求偏差限为0.5105。10数值试题(5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程：x14x22x3243x1x25x3342x16x2x32713x15122x2(13)(6)(8分)求方程111的最小二乘解。(7)(8分)已知常微分方程的初：dydxxy,1x1.2y(1)2用改的Euler方法算y(12.)的近似，取步h0.2。三．(12分，在以下5此中至多做3个)(1)(6分)求一次数不超4次的多式p(x)足：p115，p'120，p''130，p257，p'272(2)(6分)结构代数精度最高的以下形式的求公式，并求出其代数精度：11A1f1xfxdxA0f02101A(8)(3)(6分)用法求矩11的模最大的特点及其相的位特点向量，迭代至特点的相两次的近似的距离小于0.05，取特点向量的初始近似1,0T。(4)(6分)推求解常微分方程初y'xfx,yx,axb,yay0的形式yi1yih0fi1fi1,i=1,2,⋯,N的公式，使其精度尽量高，此中fifxi,yi,xiaih,11数值试题i=0,1,⋯,N,baN(5)(6分)求出用差分方法求解常微分方程的y''pxy'qxyrx0,axby'a0,yb0所获得的三角性方程。数算方法一答案一、一、填空（每空1分，共17分）、（10）(2,0)(0,2)3、a=(3)，b（），c=12=3（1）4、(1)、(xj7!6945236.25)、(x4x23)5、6、27497、08、a19、210、（2,222（lii0）二、二、（每2分）1、（(2)）2、（（1））3、（（1））4、（（3））三、1、（8分）解：span{1,x2}AT1111192252312382yT19.032.349.073.3解方程ATACATyATA43391ATy173.6此中33913529603179980.7C0.92555770.0501025因此a0.9255577，b0.0501025解得：2、（15分）解：RT[f]bah2f()11e010.001302121282768h7T(8)2f(xk)f(b)][f(a)2k1[12(0.88249690.77880080.606530661653526140.472366550.41686207)0.36787947]

6、）、12数值试题0.63294341(x2四、1、（15分）解：（1）(x)1）31，故收敛；3，（1.5）0.18(x)11（2）2x21（1.5）0.171，故收敛；x，2，（）31.521，故发散。（3）(x)3x1.5选择（1）：x01.5，x11.3572x21.3309，x31.3259，x41.3249，，x51.32476，x61.32472xk1xk((xk)xk)2Steffensen迭代：((xk))2(xk)xkxk(3xk1xk)233xk1123xk11计算结果：x01.5，x11.324899x21.324718有加快见效。，x1(k1)1(243x2(k))4x2(k1)1(303x1(k)x3(k))42、（8分）解：Jacobi迭代法：

x3(k1)1(24x2(k))4k0,1,2,3,x1(k1)1(243x2(k))4x2(k1)1(303x1(k1)x3(k))41(24x2(k1))x3(k1)4Gauss-Seidel迭代法：k0,1,2,3,030BJD1(LU)3430434(BJ)5(或10)0.790569004，84SOR迭代法：

x1(k1)(1)x1(k)4(243x2(k))x2(k1)(1)x2(k)(303x1(k1)x3(k))4x3(k1)(1)x3(k)(24x2(k1))4k0,1,2,3,五、1、（15分）解：改良的欧拉法：13数值试题yn(01)ynhf(xn,yn)0.9yn0.1yn1ynh[f(xn,yn)f(xn1,yn(0)1)]0.905yn0.0952因此y(0.1)y11；经典的四阶龙格—库塔法：yn1ynh[k12k22k3k4]6k1f(xn,yn)k2f(xnh,ynhk1)22k3f(xnh,ynhk2)22k4f(xnh,ynhk3)k12、（8分）解：设H3(x)为知足条件插值多项式，则p(x)H3(x)k(xx0)2(xx1)2f(x2)H3(x2)k2(x2x1)2(x2x0)

k2k3k40，因此y(0.1)y11。H3(xi)f(xi)H3(xi)f(xi)i0,1的Hermite代入条件p(x2)f(x2)得：六、（以下2题任选一题，4分）1、解：将f(x)1,x,x2,x3散布代入公式得：3711A,B,B30,D202020H3(xi)f(xi)结构Hermite插值多项式H3(x)知足H3(xi)f(xi)i

0,1此中x00,x111xH3(x)dxS(x)，则有：01x[f(x)S(x)]dx1fR(x)00f(4)()1x3(x1)2dx4!0

f(x)H3(x)f(4)()x2(x4!(4)()3(x1)2dx4!xf(4)()f(4)()4!601440

1)22、解：Rn,hy(xn1)yn1y(xn)hy(xn)h2y(xn)h3y(xn)h22!h33!0y(xn)1(y(xn)hy(xn)y(xn)y(xn))2!3!h[y(xn)(1)(y(xn)hy(xn)h2y(xn)h3y(4)(xn)2!3!

]14数值试题(101)y(xn)h(111)y(xn)h2(111)y(xn)h3(111)y(xn)O(h4)22662101001101011103因此2225h3y(xn)该方法是二阶的。主项：12数值计算方法试题二答案一、一、判断题：（共10分，每题２分）1、（Ⅹ）2、（∨）3、（Ⅹ）4、（∨）5、（Ⅹ）6、（∨）7、（Ⅹ）8、（Ⅹ）二、二、填空题：（共10分，每题2分）1、98!、01,12、__二___3、__二___4、_16、90__5、336、=、0三、三、简答题：（15分）1、1、解：迭代函数为(x)ln(4x)/ln21111'(x)ln24214xln22、2、答：Gauss消去法能进行终归的条件是各步消元的主元素akk(k)全不为0，假如在消元过程中发现某个主元素为0，即使det(A)0，则消元过程将没法进行；其次，即便主元素不为0，但若主元素akk(k)的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，必然造成舍入偏差的严重扩散，致使于方程组解的精准程度遇到严重影响，采纳选主元的技术，可防范主元素akk(k)=0或akk(k)很小的状况发生，进而不会使计算中止或因偏差扩大太大而使计算不坚固。3、3、解：cosx1x2x4(1)nx2n2!4!(2n!)1cosxx2x4(1)n1x2n2!4!(2n!)f(x)1x2(1)n1x2n22!4!(2n!)四、四、解：f(x)1明显精准成立；15数值试题hh2h[0h2[11]h]f(x)x时，0xdx22；h2h3h22h31xdx2[0h]h[02h]2hf(x)x2时，03212；h3h4h3122xdx2[0h]12h[03h]；f(x)x3时，04h4h5h4123h5xdx2[0h]12h[04h]f(x)x4时，056；因此，其代数精准度为3。xk11(xka)12xkaak0,1,2五、五、证明：2xk2xk故对全部k1,2,,xka。又

xk11(1a2)1(11)1xkxk，即序列xk是单一递减有2xk2因此xk1下界，进而迭代过程收敛。六、六、解：是。由于f(x)在基点1、2处的插值多项式为x2x1f(2)p(x)f(1)11223p(x)dx3[f(1)f(2)]02。其代数精度为1。~七、七、证明：由题意知：AXb,AXbr~~1r~A1rA(XX)rXXAXXAXbbAXAX1AXb又~XXAA1rAcond(A)因此Xbb。八、解：设H(x)N2(x)ax(x1)(x2)N2(x)f(0)f[0,1](x0)f[0,1,2](x0)(x1)12x1(x0)(x1)216数值试题因此H(x)12x1x(x1)ax(x1)(x2)2由H'(0)3得：a14因此H(x)1x35x23x144令R(x)f(x)H(x)，作协助函数g(t)f(t)H(t)k(x)t2(t1)(t2)则g(t)在[0,3]上也拥有4阶连续导数且最罕有4个零点：tx,0,1，2频频利用罗尔定理可得：k(x)f(4)()g(4)()0)4!，(2f(4)()2(x1)(x2)R(x)f(x)H(x)k(x)x(x1)(x2)x因此4!bn1Akf(xk)f(x)w(x)dx的高斯（Gauss）型求九、九、证明：形如ak1积公式拥有最高代数精度2n+1次，它对f(x)取全部次数不超出2n+1次的多项式均精准成立n1bAik(xi)j(xi)k(x)j(x)w(x)dx0a1）i1）由于li(x)是n次多项式，且有li(xj)2bn1lk(x)lj(x)w(x)dxAilk(xi)lj(xi)因此ai13）取f(x)li2(x)，代入求积公式：由于bn1Aj[li(xj)]2li(x)w(x)dxAi因此aj1n1bn1balk2(x)w(x)dxAkw(x)dxk1k1a故结论成立。十、十、解：

0ij1ij0(kj)i2(x)是2n次多项式，f[x0,x1,,xp]f[x0,x1,,xn1]

pf(xi)0pni0p(xixj)0jif(n1)()1(n1)!数值计算方法试题三答案17数值试题一.(24分)fx1(2)(2分)10(1)(2分)x1x2x12x2(3)(2分)x2x1(4)(3分)3-31(5)(3分)477x1k111.6x2k,k0,1,01.6(6)(6分)x2k120.4x1k100.64收(7)(4分)991(8)(2分)h<0.2.(64分)(1)(6分)xn1xn11cosxn，n=0,1,2,4⋯'x1sinx11∴随意的初x0[0,1],迭代公式都收。44(12分)用Newton插方法：差分表：100100.047619012111-0.00009411360.04347831441210+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.72275555f'''x3x28Rf'''1001151211151441153!1310068

52156290.00163(3)(10分)xc11xc22xc1c2x18数值试题1,11,2c1f,2,12,2c2f,

11111,1，dx1，1,2xdx，20022,1x2dx1f,1exp(x)dxe1f,21xexp(x)dx120，1，300112c1e1c10.87311213c21，c21.690,x0.87311.690xx4e10186ex=0.873127+1.69031x(4)(10分)S11f04f1f10.9461458862S21f04f12f13f10.9460869312424f4IS21S2S10.39310-5IS20.9460869315fxsinx1x2x4x6x8x3!5!7!9!或利用余项：f(4)x17x29x4f(4)x152!4!5Rba5f(4)10.51052，IS22880n428805n4，n(5)(10分)3.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00000.00005.3333-2.33334.333319数值试题0.00000.00001.93759.6875x2.00