关于分式培优讲义

对于分式培优讲义对于分式培优讲义29/29对于分式培优讲义讲义———分式姓名：分式知识点一：分式的定义一般地，若是A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式，A为分子，B为分母。B知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（B≠0）②分式没心义：分母为0（B=0）③分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0且B≠0）④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于

A+B=0）0的整式，分式的值不变。字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符号法规：分式的分子、分母与分式自己的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。知识点四：分式的约分定义：依照分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，尔后约去分子与分母的公因。注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大合约数，尔后约去分子分母同样因式的最低次幂。②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。知识点五：分式的通分分式的通分：依照分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。最简公分母的定义：取各分母全部因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；Ⅲ同样字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。知识点六：分式的四则运算与分式的乘方分式的乘除法法规：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒地址后，与被除式相乘。式子表示为分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子分式的加减法规：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，尔后再加减。式子表示为整式与分式加减法：能够把整式看作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。分式的加、减、乘、除、乘方的混杂运算的运算序次先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵便，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依照，注意解题的格式要规范，不要任意跳步，以便查对有无错误或解析出错的原因。知识点七：整数指数幂引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推行到了全体实数，并且正正整数幂的法规对对负整数指数幂同样适用。即★★★★（）★★（）★（）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）m，n均为整数。科学记数法若一个数x是0<x<1的数，则能够表示为a10-n（1a＜10，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定：n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止全部的0的个数的相反数。如0.000000125=1.25107若一个数x是x>10的数则能够表示为a10n（1a＜10，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定：n=比整数部分的数位的个数少1。如120000000=1.2108知识点七分式方程的解的步骤⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）⑵解整式方程，获取整式方程的解。⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：若是最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；若是最简公分母不为0，则是原方程的解。产生增根的条件是：①是获取的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。知识点八：列分式方程基本步骤审：仔细审题，找出等量关系。设：合理设未知数。列：依照等量关系列出方程（组）。解：解出方程（组）。注意检验验：检验并答题。计算专练11x，尔后从中采用一个你认为合适的数作为x的值代入求值．1、化简()22,1,1x．．x112x21a1化简求值：a(4)2aa2a

1．xyx2y22y，其中a化简：3y22．3xx6xy9yxy22223ab3c2bc41x21b34a2(xy)2(x2xy)3?(xy)23)?(2)]()?()()?()yy[(3bcabax2yyx2a11111x2x6x2x622(x3)4xx1x11x；2x63x2(x29)；x4x412aa22aa12a(a)3(a6c)x2x1x4(2x)2a1a24a23a2bcx22xx24x4xaa2a2a12x2yxy11(aa2a(a1)2a21a1a1)()xyxyx2yxya21a1a1a222163xxx21a1a42a2a8aa1a2÷2·a4a4a44a2x1x1x2a8（a-4）a22b2xyy2xy23x13x23x2a+b+yxxyyx49x223x3x2(x+1－)÷abx12x22311a3b2221(x2y3)1(x2y3)2233.1401211ab32005032210123(1)211(2)31222014015(2004)0223321x11x12xx2652x3x22xx2x23x2x1x2124x5x1x1x2112x552x

x31x1(x1)(x2)分式典型题,a2b,x21、代数式1,xy,0,a21中，是整式的有_____________，是分式的有_____________.x42abx12、若M=(x1)(x2),则当x________时，M有意义；当x=________时，M=0；当x=________时，M=4.x213、当x________时，分式x2的值为正数.5x4、在正数范围内定义一种运算11，则x*(x+1)=________.*，其规则为a*b=ba5、不论x取何值时，以下分式总有意义的是（）x1B.x2C.xD.xA.2(x2)2x2x22x6、若x2－9=0,则分式x25x6的值为（）x3A.1B.－5C.1或－5D.57、若分式|m|1的值为零，则m取值为()m2mA.m=±1B.m=－1C.m=1D.m的值不存在8、每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混杂成杂拌糖，这样混杂后的杂拌糖果每千克的价格为()A.nxmy元B.mxmy元C.mn元D.1(xy)元xyxyxy2mn3x9、若是把分式x2yA.扩大2倍

中的x、y的值都扩大2倍，那么分式的值（）B.扩大6倍C.扩大3倍D.不变10、甲、乙两人加工某种机器零件，已知甲每日比乙多做a个，甲做m个所用的天数与乙做n个所用的天数相等（其中m≠n），设甲每日做x个零件，则甲、乙两人每日所做零件的个数分别是（）A.am、anB.an、amC.am、anD.am、anmnmnmnmnmnmnnmnm11、以下各式中，是分式的是()x122x1xA.2B.3xC.x3D.1212、当a为任何实数时，以下分式中必然有意义的一个是()A.a1B.1a21a1a2a1C.1D.1aa213、当m______时，对于x的方程xx32xm3有增根；若对于14、已知xyz(x0)，求分式2x3y3z2342x3y3z15、已知113，求5xxy5y的值.xyxxyy

x的方程=无解，则m=的值。16、若方程2xa1的解是正数，求a的取值范围.x2已知对于x的分式方程=1的解是非正数，求a的取值范围.17、已知a2+3a+1=0,求（1）a+12141a;（2）a+a2;（3）a+a418、已知a、b、c均不为0，且a+2b3bc2ca,求c2b的值。5372b3a19a210a25b3b4a3ab22a2bb2a2，求代数式g的值、已知b2b3abb2a20、若xyz0,xyz0xyz的值。，求zxxyyz11ab的值21、已知5(ab),求b(ab)a(ab)aba4a3ba2b2ab3a3ab222、化简：3bab32a2b2a2bb3a23、计算：（巧算）1221x2x3x5x4x2x1x1x2x1x2x4x3111⋯－1xx(x1)(x1)(x2)(x2013)(x2014)24、已知x为正整数，且222x18也为正整数，求全部吻合条件的x的值。x33xx29分式培优题一、填空ab1、若a、b满足+=2，则的值是。ba2、当x_____________，x与3x互倒数．x3x3、若是，；．4、当m=，分式m24m3的零.5、已知1-1=4，aabb=。m23m2ab2a2b7ab6、若a∶b∶c=1∶3∶5，abc=，a2b2c2=。aa27、已知：a2b=5，a=．8、已知，=。b3b9、如，第（1）个多形由正三角形“展”而来，数，第（2）个多形由正方形“展”而来，数，⋯，依此推,由正形“展”而来的多形的数（n≥3）.的是,当的果是，n的.10、先察以低等式，尔后用你的律解答以下．(1)算．（2）研究．（用含有的式子表示）（3）若的，求的．二、选择题11、若是m个人完成一项工作需要d天，则（m+n）个人完成这项工作需要的天数为（）A．d+nB．d-nC．mdD．dmnmn12、若x+1=3,求x4x2的值是（）．A．1B．1C．1D．1xx218102413、若是a=2，则a2a2abb2＝()A．4B．1C．3D．2bb25514、若是满足，那么a21的值是()A．4B．4C．4D．14a2151715、已知分式6a18的值是正整数，求整数a的值。a2916、已知：的值．17、已知abc0，求分式3a2b3c的值。345abc13，求分式x21314118、已知xx2的值，能求出xx3，xx4的值吗？x19、已知3x4yz0,2xy8zo，求x2y2z2的值。xyyz2xz20、已知xyz，abc互不相等），求xyz的值。abbcca21、已知a,b,c为实数，且ab1,bc1,ac1，abc的值是多少？ab3bc4ac5abbcca22、（1）请你任意写出3个正的真分数：____，___，___，给每个分数的分子、分母同加一个相同正数获取三个新分数：____，____，____，（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，能够得出下面的结论：一个真分数是a（，均为正数），给其分子分母同加一个正数，得am，则两个分数的大小关系是bbmm________a．并证明你的结论mb分式方程培优题1、若对于x的方程m1xx=0有增根，则m的值是（）x11A．3B．2C．1D．-12、已知方程x233有增根，则这个增根必然是（）x3xA．2B．3C．4D．5|x|13、若x22x3的值为零，则x的值是()A.±1B.1C.-1D.不存在xa4、分式3x1中，当x=-a时，以下结论正确的选项是()A.分式的值为零B.分式没心义C.若a≠﹣1时,分式的值为零D.若a≠1时,分式的值为零2xm335、对于x的方程=1的解是正数，则m的取值范围是（）x-1A、m＞-1B、m＞-1且m≠0C、m＜-1D、m＜-1且m≠-26、某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合作所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合作所需天数的c倍，则1+1+1的值是（）A、1B、2C、3D、4a1b1c17、若对于x的方程ax1-1=0无实数根，则a的值为_______．x18、若对于x的方程2=1-m3无解，则m=x-3x9、若分式方程2+5=m会产生增根，则m=x11xx2110、若对于x的分式方程2xa=-1,的解是正数，则a的取值范围是x2111111、计算x2x4x6x812、解方程：x1x3x5x7x5x6x8x9b2a23b2c24，求11的值。、已知a、、c为实数，且满足013(b3)c2abbc14、已知a2＋2a－1＝0，求（a－2－2a－1a－42）÷的值．a＋2aa＋4a＋4a＋2【应用与研究】15、先阅读以下一段文字，尔后解答问题．已知：方程x-1=11的解是x1=2，x2=-1；方程x-1=22的解是x1=3，x2=-1；x22x3313的解是x=4，x=-1；14的解是x=5，x=-1．x4124x5125：察上述方程及其解，再猜想出方程x-1=1010的解，并写出．x1116、理解：以下资料，对于x的方程：x+1=c+1的解是x1=c，x2=1；x-1=c-1的妥是x1=c，x2=-1；xccxccx+2=c+2的解是x1=c，x2=2；x+3=c+3的解是x1=c，x2=3⋯⋯xccxcc（1）察上述方程与解的特色，比对于x的方程x+mcm（m≠0）与它的关系，?猜想它的解xc是什么，并利用“方程的解”的看法行．（2）由上述的察、比、猜想、，能够得出：?若是方程的左是未知数与其倒数的倍数，方程右的形式与左完好同样，只把其中未知数成了某个常数，那么的方程能够直接得解，用个解对于x的方程：x+2a2.x1a117、福商文具柜以每枝a（a整数）元的价格一批“英雄”牌笔，决定每枝涨价2元售.由于种品牌的笔价格、量好、表面美，很快就售一空.，售批笔的售399a+805(元).你能依照上面的信息求出文具柜共多少枝笔及每枝笔的价a是多少元？18、求方程2x2-xy-3x+y+2006=0的正整数解。19、甲、乙两人同从A地到B地，甲前一半行程用速度a，后一半路用速度b；乙前一半用速度a，后一半用速度b，哪个先到达B地？分式方程应用题1、抗震救灾抢修损坏的桥梁工程必定在规定日期内完成，保证救灾物质顺利经过。若是甲工程队单独做正好如期完成；若乙工程队单独做需要高出4天才能完成。现由甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做正好如期完成，问规定日期是多少天？2、南宁市2006年的污水办理量为10万吨/天，2007年的污水办理量为34万吨/天，2007年平均每日的污水排放量是2006年平均每日污水排放量的1.05倍，若2007年每日的污水办理率比2006年每日的污水办理率提高（污水办理率污水办理量）．40%污水排放量（1）求南宁市2006年、2007年平均每日的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数）（2）预计我市2010年平均每日的污水排放量比2007年平均每日污水排放量增加20%，依照国家要求“2010年省会城市的污水办理率不低于2007年每日污水办理量的基．．．70%”，那么我市2010年每日污水办理量在础上最少还需要增加多少万吨，才能吻合国家规定的要求？．．3、岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月能够完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？（2）已知甲队每个月施工花销为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总花销不高出141万元，工程必定在一年内竣工（包括12个月）．为了保证经费和工期，采用甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？4、小明到一家批发兼零售的文具店给九年级学生购买考试用2B铅笔，请依照以下情况解决问题。若给九年级学生每人购买1支，只能按零售一次购买铅笔300支以上(不包括300支)，价付款，需要120元；若多购买60支，则可能够按批发价付款；购买300支以下(包括按批发价付款，同样需要120元。支)，只能按零售价付款。售货员小明这个学校九年级学生总数在什么范围内？若按批发价购买6支与按零售价购买5支的所付款同样，那么这个学校九年级学生5、甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处连续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．依照图文信息，请问哪位同学获胜？6、金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书

.从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的

2

；若由甲队先做

10天，剩下的3工程再由甲、乙两队合作

30天能够完成

.求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每日的施工花销为0.84万元，乙队每日的施工花销为0.56万元.工程估量的施工花销为50万.为缩散工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程估量的施工花销可否够用？若不够用，需追加估量多少万元？请给出你的判断并说明原因.7、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为

1000

米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程

.已知甲工程队比乙工程队每日能多铺设

20米，且甲工程队铺设

350米所用的天数与乙工程队

铺设

250米所用的天数同样

.（1）甲、乙工程队每日各能铺设多少米？（2）若是要求完成该项工程的工期不高出

10天，那么为两工程队分派工程量

（以百米为单位）

的方案有几种？请你帮助设计出来

.8、某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B的工作效率同样，且都为队的2倍，若由一个工程队单独完成，C队比A队要多用10天．（1）求工程队A平均每日维修课桌的张数；（2）学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工节气，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不高出6节气限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，提高后，A、B的工作效率依旧同样，且都为C队的2倍．这样他们最少还需要3天才能完成整个维修任务．求工程队A提高工作效率后平均每日多维修课桌张数的取值范围．

C29、某工厂有100名工人在A型生产线上工作．经工厂多方察看，发现其生产碰到限制，于是决定引入B型生产线．B型生产线上每人每日生产量比A型生产线多30件．一工人在B型生产线上生产100件产品的时间与原来在A型生产线上生产40件产品的时间同样．（1）A型生产线上每人每日可生产多少件产品？（2）工厂决定从这100名工人中分派一部分工人到B型生产线工作．分工后，连续在A型生产线上工作的工人的日均产量可增加25%，若要保证工厂分工后，A型生产线每日的总产量很多于分工前的每日总产量，而B型生产线每日的总产量不低于分工前A型生产线每日总产量的40%，则有多少种分派方案？（不写出具体方案）（3）设工厂每日的总产量为P，在（2）题条件下，当多少人分派到B型生产线时，P有最大值？请写出此时的分派方案，并求出P的最大值．10、“玉树地震”的灾情牵动着千万人的心，汇川中学的同学们踊跃为灾区捐款，小易同学对

1班和

2班捐款情况进行了统计，

1班的捐款人数比

2班多

3人，其中

1班共捐款

2400元，2班共捐款

1800元，2班平均每人的捐款钱数是

1班平均每人捐款钱数的

4

倍。5（1）求1班、2班各有多少人捐款？（2）慈善总会欲将此善款所实用于购买帐篷和矿泉水对口支援结古县官贝村，该村最少需要40顶帐篷和160件矿泉水，一顶帐篷的价格为48元，一件矿泉水的价格为12元。因道路损坏，只能用一架直升飞机将所购物质运往目的地。该直升飞机的货运空间为20.8立方米，而一顶包装好的帐篷体积为0.16立方米，一件矿泉水的体积为0.08立方米。应当如何安排购买方案，才能将所需物质一次性运往目的地？用必要的计算说明原因。3）因直升飞机翱翔一次所需燃料花销甚多，故应最大程度利用飞机货运空间。在上述方案中，采用那种方案使得它的利用程度最高，说明原因。11、某工厂计划将一批货物从甲地运到乙地,有A,B,C三种方式可供选择,选择方式A的平均速度比选择方式B每小时少30千米,但两者所用的运输时间同样.选择方式B的平均速度是方式C的两倍,但运输时间是方式C的40％,这三种运输方式所需各项成本见下表.经测算,总花销(含运输费和装卸费，其他花销忽略不计)最少的方式是A,最多的方式是C.运输方式ABC经过的行程(千米)500800a运输费(元／千米．吨)2.521装卸花销合计(元)390002500061000求选择方式B的平均速度；求这批货物的重量范围；若选择方式C比选择方式A平均每吨的总花销多150元，求货物的重量．、十二五时期，湖北省把宜昌市定位为省域副中心城市，全部是人民倍受激励，市委市政府推行了“东扩、西进、北连、南展”的决策，其中一项为哪一项大力推行基础设施的完满，仅2010年公路建设总花销（含新修公路花销和改造公路花销，下同）共5亿元。据统计新修公路花销比改造公路花销多50%，改造公路的里程比新修公路的里程多500千米，市委市政府计划再投资到2011、2012年公路建设总花销10亿元。（1）求2010年新修公路的花销（2）据交通部门测算，每改造1千米公路的花销为每新修1千米公路花销的一半，而2011年和2012年每年改造公路的里程比上一年减少500千米，这两年新修公路的里程比上一年平均增加20%，（假定2013年前每改造1千米公路的花销和每新修1千米公路的花销都不发生变化），请问市委市政府2011、2012投资的钱是否够用？节约或超支多少元13、某地现有耕地10000公顷，规划若干年后粮食单产比现在增加65%，人均粮食占有量比现在提高20%，人口总数比现在增加10%，耕地面积会减少.1）在下表三个空格中，填入合适的代数式：求耕地最多只能减少多少公顷？14、某条公路分作两段由甲、乙两队同时开始分别施工修建，上级要求两队同时完成各自的任务．施工开始后两队用30节气间共修了1500米，其中甲队的施工进度比乙队快了50％(施工进度指每日修路的长度，单位：米／天)．由于两队连续按这样施工进度修路，将不能够同时完成各自的任务，所以从第31天起，经过合理分派，降低甲队的施工进度并提高两队的总施工进度(两队施工进度之和)，其中甲队的施工进度降低的百分数恰为总施工进度增加的百分数，这样恰巧使两队同时完成各自的任务.若是一开始两