第三讲微观基础2考虑资本和劳动两期竞争均衡模型

《中级宏观经济学》主讲:博士浙江大学经济学院2016年秋第三讲：两期动态模型2020/11/262第三讲

微观基础2：两期动态模型前面两个模型虽然简单，但是可以让我们很好地理解两期动态模型的基本实质。稍显不足的是这两个模型都没有考虑劳动的供给与需求问题，从而无法探讨影响就业的因素，在本节，在模型中引入劳动市场，从而形成一个完整的宏观模型。虽然我们的模型只有两期，但是，在某种意义上说，它已经涵盖了多期甚至是无限期问题的基本经济，所以，十分值得我们化些时间好好研究一番！第三讲：两期动态模型2020/11/263第三讲：两期动态模型2020/11/264第三节考虑资本和劳动的两期竞争均衡模型第三讲：两期动态模型2020/11/265一、决策环境：偏好、禀赋与技术基本环境经济仍由一

性的企业和一

性的消费者所组成，经济活动仅进行两期。消费者将决定最优的消费数量、储蓄数量（资本供给数量）和劳动供给数量；代表性企业将决定最合适的资本使用数量和劳动使用数量。消费者和企业的行为是竞争性的，也即他（她）们都是在视市场价格为既定的情况下来做决策的。消费者拥有企业。第三讲：两期动态模型2020/11/266偏好第三讲：两期动态模型2020/11/267我们用如下的一个简单的可分离效用函数来代表消费者的偏好：v(c1

,

c2

,l1

,l2

)

u(c1

,l1

)

u(c2

,l2

)

u(c1

)

u(l1

)

u(c2

)

u(l2

)(3.57)该效用函数具备我们在第一节中所描述的一切特征。k

2020/11/26n0

n第三讲：两期动态模型8技术企业根据如下的生产函数进行消费品的生产：y

zf

(k,

n)(3.58)其中，y

是产出，k

是资本投入，n

是资本投入，z是全要素生产率参数。我们仍假设生产函数是一个严格准凹、二次可微、一次齐次、对每一个变量都是严格递增的函数。同时，我们也假设生产函数满足稻田条件（Inada

conditions）：lim

f1

(k,n)

k

0lim

f1

(k,n)

0

以及lim

f2

(k,n)

，lim

f2

(k,n)

0

。禀赋第三讲：两期动态模型2020/11/269代表性消费者拥有k0

单位的资本，这些资本是以消费品的形式存在的，也即商品和资本之间是可以一对一转换的。同时，代表性消费者也拥有h

单位的时间禀赋，它们既可以用于劳动也可以用于闲暇。第三讲：两期动态模型2020/11/2610二、消费者最优化行为消费者把w

和r

视为给定，在

约束下寻求自己的效用最大化。也就是说，每个消费者都在求解如c1

,l1

,c2

,l2

,s1下这样一个最优化问题：m

a

xu(c1

)

u(l1

)

u(c2

)

u(l2

)

（3.59）s.t.c

s

w

(h

l

)

(1

r

)k

s1

1

1

1

1

1(3.60)c

s

w

(h

l

)

(1

r

)k

s2

2

2

2

2

2（3.61）第三讲：两期动态模型2020/11/2611第三讲：两期动态模型2020/11/261201

kk

s(3.62)12

sk

s(3.63)s2

0（3.64）

l

hns11（3.65）

l

hns22(3.66)这里，k

s、k

s

是消费者在第一期和第二期租给厂商的资本数1

2量，(3.60)式和（3.61）是者在第一期租给厂商的资本数量等于消费者外生拥有的资本数量k0

；(3.63)式说明消费者在第二期租给厂商的资本数量等于消费者在第一期的储蓄数量s1

。因为行为人只生活两期，所以他（她）不会为第三期进行储蓄，因此约束条件（3.64式是自然成立的。（3.65）式和（3.66）式是时间禀赋约束。第三讲：两期动态模型2020/11/2613为了求解消费者的最优化问题，我们可以构建如下一个 日方程：

u(c1

)

u(l1

)

u(c2

)

u(l2

)(3.67)

hh[w2)2)w1((r1211022

111

这里，

是

日乘子。我们已经对效用函数作了一系列限定，这可以确保产生一个唯一的最优解，这个最优解可以通过如下的五个一阶条件得到描述：第三讲：两期动态模型2020/11/2614第三讲：两期动态模型2020/11/2615111(FOCc

)u(c1

)

1

0（3.68）(FOCc

)2u(c2

)

2

0(3.69)(FOCl

)u(l1

)

1w1

0(3.70)(FOCl

)2u(l2

)

2

w2

0(3.71)(FOCs

)

1

2

(1

r2

)

0(3.72)结合（3.68）、（3.69）、(3.72)式，可以得到：2

(1

r

)21u

(c

)u(c

)（3.73）结合（3.68）、（3.70）式，可以得到：111u

(l

)u(c

)

w(3.74)结合（3.69）、（3.71）式，可以得到：2第三讲：两期动态模型2020/11/26162u(l2

)

wu(c

)(3.75)代

约束条件进（3.73）、（3.74）、（3.75）式，消掉其中的c1和c2

，我们可以看到，（3.73）式实际上隐性地描述了消费者的储蓄函数s

，也即消费者第二期的资本供给函数k

s

；（3.74）式1

2则隐性地描述了消费者的第一期的闲暇需求函数，或者说第一期的劳动供给函数；同理，（3.75）式则隐性地描述了消费者的第二期的闲暇需求函数，或者说第二期的劳动供给函数。第三讲：两期动态模型2020/11/2617三、企业的最优化行为第三讲：两期动态模型2020/11/2618第三讲：两期动态模型2020/11/2619企业第一期和第二期的利润函数分别为：dddd

d1

(1

)k1

11

1w

(n

)

(1

r

)k1

11

zf

(k

,

n )

(3.76)d22

zf

(k

d

,

nd

)

w

(nd

)

(1

r

)k

d

(1

)k2

2

2

2

2

2(3.77)其中，kd、kd

和nd、nd

各自代表企业在第一期和1

2

1

2第二期的资本需求以及在第一期和第二期的劳动需求。在这里，同样出于简单化考虑我们仍假定资本折旧率

1。第三讲：两期动态模型2020/11/2620企业在把w

和r

视为既定的情况下，通过选择恰当的资本投入数量和劳动投入数量来最大化利润。企业的利润最大化的可由如下的四个一阶条件来描述：zf

(k

d

,

nd

)

1

r1

1

1

1(3.78)zf

(k

d

,

nd

)

w2

1

1

1(3.79)zf

(k

d

,

nd

)

1

r1

2

2

2（3.80）zf

(k

d

,

nd

)

w2

2

2

2(3.81)第三讲：两期动态模型2020/11/2621对应于每一个实际利率r

，企业都会根据zf

(k

d

,nd

)

1

r1

1

1

1

11的原则选择一个相应的资本使用数量kd

,对应于每一个实际利率r

，企业都会根据

zf

(k

d

,

nd

)

1

r

的原则选择2

1

2

2

22一个相应的资本使用数量kd

。这意味着，第一期与第二期企业的资本边际产出曲线实际上也就是企业的资本需求曲线。同理，根据（3.79）式和(3.81)式我们知道第一期与第二期企业的劳动边际产出曲线实际上也就是企业的劳动需求曲线。第三讲：两期动态模型2020/11/2622四、市场均衡第三讲：两期动态模型2020/11/2623在我们这个完整的两期模型中，总共有五个市场必须出清：第一个是第一期资本市场，出清条件是：

k

k

d0

1k

s1（3.82）第二个是第二期资本市场，出清条件是：

s

k

d1

2k

s2(3.83)第三讲：两期动态模型2020/11/2624第三个是商品市场，出清条件为：c

c

zf

(kd

,

nd

)

zf

(kd

,

nd

)

kd1

2

1

1

2

2

2（3.84）第四个是第一期的劳动市场，出清条件为：

h

l

nd1

1ns1(3.85)第五个是第二期的劳动市场，出清条件为：

h

l

nd2

2ns2(3.86)第三讲：两期动态模型2020/11/2625再一次，根据瓦尔拉斯定理，一个经济有n个市场，只要n－1个市场出清，剩余的一个市场自动会出清。因为其中一个市场可以被标准化。这里，我们就忽略商品市场出清条件。现在，我们有十四个未知数需要求解，它们是c

、c

、l

、l

、k

d、k

d、k

s、k

s、nd、nd、r、r

、w、w

。而相1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2应的，我们也有两个约束条件、四个均衡条件两个资本供给函数、两个闲暇需求函数或者劳动供给函数、两个资本需求函数和两个劳动需求函数，共有十四个方程组恰好可以求解十四个未知数。第三讲：两期动态模型2020/11/2626五、计划最优第三讲：两期动态模型2020/11/2627第三讲：两期动态模型2020/11/2628计划者在资源的约束下最大化消费者的最大效用。计划者实际上就是通过求解如下一个问题来实现效用的最大化：max

u(c1

)

u(l1

)

u(c2

)

u(l2

)c1

,l1

,c2

,l2

,k2s.t.（3.87c1

k2

zf

k0

,

(h

l1

)c2

zf

k2

,

(h

l2

)(3.88)（3.89）构建如下

日函数：

u(c1

)

u(l1

)

u(c2

)

u(l2

)(3.90)

l

,)(

c22h

l

,)(

c

zf

k01

k

zf

k2221h1该最大化问题的最优现在如下七个一阶条件中：第三讲：两期动态模型2020/11/2629第三讲：两期动态模型2020/11/263011(FOCc

)u(c1

)

1

0（3.91(FOCc

)2u(c2)

2

0(3.92)(FOCl

)u(l1

)

1

zf2

k0

,(h

l1

)

0(3.93)(FOCl

)2u(l2)

2

zf2

k2

,

(h

l2

)

0(3.94)(FOCk

)2

1

2

zf1

k2

,

(h

l2

)

0zf

k0

,

(h

l1

)

c1

k2

0

zf

k2

,

(h

l2

)

c2

0(3.95)1(FOC

)（3.96(FOC

)2（3.97结合（3.91）、（3.92）、(3.95)式，可以得到：

zf1

k2

,

(h

l2

)u(c1

)2u(c

)（3.98）上式就是我们熟悉的

方程。结合（3.91）、（3.93）式，可以得到：

zf2

k0

,

(h

l1

)11u

(l

)u(c

)(3.99)结合（3.92）、（3.94）式，可以得到：

zf2

k2

,

(h

l2

)22