数分课件-第十章定积分应用习题课

定积分的应用习题课微元法理

论

依

据名称释译的所特求点量解题步骤定积分应用中的常用公式一、主要内容1、理论依据这表明连续函数的定积分就是(1)的微分的定积分.dU

U

(2)f

(t

)dt

(1)设f

(x)在[a,b]上连续,则它的变上限积分xab

baf

(

x)dx

a是

f

(

x)

的一个原函数,即

dU

(

x)

f

(

x)dx,于是U

(

x)

2、名称释译这种取微元f(x)dx计算积分或原函数的方法称微元法.f

(

x)dxaU

由理论依据(2)知,所求总量A

就是其微分dU

f

(x)dx

从a

到b

的无限积累(积分):b（1）U

是与一个变量x

的变化区间a,b有关的量；（2）U

对于区间a,b具有可加性，就是说，如果把区间a,b分成许多部分区间，则U

相应地分成许多部分量，而U

等于所有部分量之和；（3）部分量Ui

的近似值可表示为f

(i

)xi

；就可以考虑用定积分来表达这个量U

.3、所求量的特点1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]；2）设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任一小区间并记为[x,x

dx]，求出相应于这小区间的部分量U

的近似值．如果U

能近似地表示为[a,b]上的续函数在x

处的值f

(x)与区间上作定积分，得dx

的乘积，就把

f

(

x)dx

称为量U

的元素且记作dU

，即dU

f

(

x)dx

；3）以所求量U

的元素f

(x)dx

为被积表达式，在ba[a,

b]

U

f

(

x)dx，即为所求量U

．4、解题步骤5、定积分应用的常用公式(1)

平面图形的面积直角坐标情形xoy

f

(

x)A

baf

(

x)dxxy

yoy

f1

(

x)y

f2

(

x)A

b[

f

(

x)

f

(

x)]dxa12AAabab如果曲边梯形的曲边为参数方程

y

(t

)

x

(t

)曲边梯形的面积A

2t1t

(t

)

(t

)dt（其中t1和t2对应曲线起点与终点的参数值）在[t1

,t2

]（或[t2

,t1

]）上x

(t

)具有连续导数，y

(t

)连续.参数方程所表示的函数[

(

)]2

d2A

1odr

(

)or

2

(

)r

1

(

)

)

(

)]d[

(2A

12122极坐标情形x

dxx(2)

体积yoV

ba2

[

f

(

x)]

dxdc2

[

(

y)]

dyox

(

y)

V

cydoV

baA(

x)dxx

dxab平行截面面积为已知的立体的体积A(

x)(3)

平面曲线的弧长yo

ax

dx

b

dy弧长s

ba1

y2

dxA．曲线弧为

y

f

(

x)

x

(t

)y

(t

)(

t

)其中

(t

),

(t

)在[

,

]上具有连续导数弧长s

2

(t

)

2

(t

)dtB．曲线弧为C．曲线弧为

r

r(

) (

)弧长s

r

2

(

)

r2

(

)d(4)

旋转体的侧面积y

f

(

x)

0,

a

x

bx

dxxyoy

f

(

x)abS

2f

(

x) 1

f

2

(

x)dx侧(5)

细棒的质量ox

(

x)xx

dx

lm

ll

(

x)dxdm00(6)

转动惯量bxyx

dxa

o

xbabayyI

dI2x

(

x)dx(

(x)为线密度)(7)

变力所作的功F

(

x)bo

a

xx

dxxW

babaF

(

x)dxdW(8)

水压力bxyoaxx

dxbf

(

x)baaP

dPxf

(

x)dx(

为)(9)

引力xyx

dxo

xA

llllllydF

yF

Gadx3(a2

x2

)2xF

0.(G

为引力系数)(10)

函数的平均值b

ay

baf

(

x)dx1(11)

均y

bab

af

(

x)dx12二、典型例题例1求10

它所围成的面积;0

它的弧长;0

它绕轴旋转而成的旋转体体积及表面积.

y

a

sin3

t

x

a

cos3

t星形线

(a

0)已知

aoya

x解10

设面积为A.由对称性,有aydx0A

4023

2

4

a

sin

t

3a

cos

t(

sin

t

)dt2a2[sin4

t

sin6

t]dt

0

12a2

.3820

设弧长为L.由对称性,有2

0L

42

220(

x

)

(

y

)

dt

43a

cos

t

sin

tdt

6a.30

设旋转体的表面积为S,体积为V

.由对称性,有axdx0S

222y

1

y20

43a

sin

t

3a

cos

t

sin

tdt

512a2

.02aV

2

y2dx

20a2

sin6

t

3a

cos2

t(

sin

t

)dt203

6a105323sin7

t(1

sin2

t)dt

a

.例2.

求抛物线

在(0,1)

内的一条切线,

使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y轴的交点分别为所指面积MBA机动上页下页返回结束且为最小点

.

故所求切线为得[0,1]上的唯一驻点BMA机动上页下页返回结束与直线及坐标轴所围图形解:(1)由方程得例3.

设非负函数曲线面积为2,求函数a

为何值时,所围图形绕x

轴一周所得旋转体体积最小?即故得机动上页下页返回结束又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时V

取最小值.xxooyy1机动上页下页返回结束例4.

证明曲边扇形绕极轴3

2

r3

(

)

sin

d

.ox旋转而成的体积为Vr

r(

)xdd

r证:先求上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积微元r

故

2

r3

(

)

sin

d3Vox机动上页下页返回结束o5

d

x)(d

u

5故所求旋转体体积为

1

(x2

2x)2

5

d

x575V

2220

51(x

2x) 5

d

x

16dV

2

d

uPd

x

2y

4x

x2d

u例5.

求由

y

2x

与

y

4x

x2

所围区域绕

y

2x旋转所得旋转体体积.解:曲线与直线的交点坐标为A(2,4),曲线上任一点uA

y

2xP

(x

,

4x

x2

)

到直线

y

2x

的距离为以y

2x为数轴

u

(如图),

则机动上页下页返回结束例6.

半径为R

,密度为的水池底,水的密度多少功?的球沉入深为H(H>2R)现将其从水池中取出,需做解:

建立坐标系如图

.

则对应[x

,

x

dx]上球的薄片提到水面上的微功为dW1

(

0

)

g

y2

dx(H

R

x)提出水面后的微功为dW2

g

y2

dx

(R

x)

g

(R2

x2

)(R

x)

dx2

)(

)d

x

0

)((g2

Hx(x

,

y)yxo微元体积所受重力上升高度机动上页下页返回结束因此微功元素为dW

dW1

dW2球从水中提出所做的功为R00

R[(

)H

(R

x)](R2

x2

)

dxW

g“偶倍奇零”0R

(

R2

x2

)

dx

2g[(

0

)H

0

R]Hyo

xx上页下页返回结束机动例6.

设有半径为R的半球形容器如图.以每秒a

升的速度向空容器中注水,求水深为为h(0<h<R)时水面上升的速度.设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最少应为多少?解:过球心的纵截面建立坐标系如图.oxy则半圆方程为hR设经过t

秒容器内水深为h,则h

h(t).机动上页下页返回结束oxyhR半球可看作半圆绕y轴旋转而成体积元素:

x2

d

yx2

2Ry

y2V

(h)20

(2Ry

y

)

d

y(1)求由题设,经过t

秒后容器内的水量为at

(升),而高为h的球缺的体积为h故有两边对t

求导,得

(2Rh

h2

)

a

(2Rh

h2

)a机动上页下页返回结束(2)将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提微元体积:微元的重力:

x2

dyg

x2

dyo

xRy

g

(2Ry

y2

)(R

y)

dy故所求功为R0g3(2R2

y

3Ry2

y

)

dy4

gR4y到池沿高度所需的功.对应于 薄层所需的功元素机动上页下页返回结束例7

以每秒a

的流量往半径为R

的半球形水池内注水.(1)求在池中水深h

(0

h

R)时水面上升的速度;(2)若再将满池水全部抽出,oxy

R

h

解x2 2

R2

y

R

()0(

y

R).至少需作功多少?建立坐标系.半圆的方程为于是对半圆上任一点,有x2

R2

(

y

R)2

2Ry

y2

(0

y

R).)1因(已知半球可看作此半圆绕y

轴旋转而成的,故半球内高为h

的球缺的体积即水深为h

时水池内水的体积为V

(h)

h

hx dy

02(2Ry

y

)dy02又设水深

h

时已注水的时间为t

,则有V

(h)

at

,h02(2Ry

y

)dy

at即dt两边对

t

求导,得(2Rh

h2

)dh

a,故所求速度为.dt

(2Rh

h2

)adh

(2)将满池的水全部抽出所需的最小功即将池内水全部提升到池沿高度所需的功.抽水时使水位从

(降)0

到

yRydyy

所需的功约为x2dy(

yR),

1(水的

)又x2

2Ry

y2

,即功元素dW

(2Ry

y2

)(R

y)dy.故将满池水全部提升到池沿高度所需功为W

R02(2Ry

y

)(

R

y)dy

R02(2R y

3Ry2

y3

)dy4

R4

.例8:如图,平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角

,计算这平面截圆柱体所得的体积.解:取x为积分变量,变化区间为[R,R],在[R,R]上任取一点x,过x作垂直于x轴的平面截,截面的面积RoyxR

yx2

y2

R2xA(x)

1

y

y

tan

1

(R2

x2

)

tan2

2

RV

RA(x)dxR

R

21

(R2

x2

)

tan

dxx3

R3

Rtan

R2

x

1223

3

R

tanf

(

x)

kx,101f

(

x)dxw

,k20hhw

f

(

x)dx.例9

用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？设n次击入的总深度为h厘米n次锤击所作的总功为解

设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为hhw

kxdx022kh

,wh

nw1

kh2k

n

,2

2h

n,n

n

1.n

次击入的总深度为第n次击入的深度为依题意知，每次锤击所作的功相等．例10

有一长度为l

、线密度为

的均匀细棒，在其中垂线上距棒a

单位处有一质量为m

的质点M

，计算该棒对质点M

的引力．l2y2

loM取任一小区间[y,y

dy]将典型小段近似看成质点,

,2

2l l

取y为积分变量y

dy,yy

dyra小段的质量为解

建立坐标系如图小段与质点的距离为r

a2

y2

,

y2

,F

ka2mdy3

,(a2

y2

)2amdyxdF

k32l22(a2

y2

)amdyklxF

,

2kml122a(4a2

l

)Fy

0.由对称性知，引力在铅直方向分力为水平方向的分力元素引力分别为 米和

305米0

,高为20

米,如果顶部高出水面 米,4求 一侧所受的水的静压力.例11

一等腰梯形

,,梯形的上下底解

如图建立坐标系,则梯形的腰AB

的方程为y

4o

x16

x

dxAxBy

1

x

23.2一侧受到静水压力为此x

23)dxgx(160P

2122

160x3

g(

23x

)3

g(

1

4096

23

256)3

4522.67g

4.43

107

(牛).思考与练习ox30

x

d

x1.为清除井底污泥,

用缆绳将抓斗放入井底,

抓起污泥后提出井口,已知井深30

m

,抓斗自重400N

,

缆绳每上页下页返回结束提示:作x

轴如图.将抓起污泥的抓斗由x

提升dx

所作的功为机动米重50N

,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m

/s,在提升过程中污泥以20N

/s

的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,问克服重力需作多少焦耳(J)功?(99考研)提升抓斗中的污泥:井深

30m,

抓斗自重

400

N,抓斗抓起的污泥重2000N,缆绳每米重50N,提升速度为3m∕s,污泥以20N∕s

的速度从抓斗缝隙中漏掉ox30

x

d

x抓斗升至x

处所需时间:3x

(s)

91500

(J)W3300[400

50