专题06 拓展：对勾函数、飘带函数、V型函数、高斯函数的四大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019必修第一册（解析版）

②若时，由图得的单调递增区间为；22．（24-25高一上·安徽·期中）一般地，我们把形如的函数称为飘带函数，若飘带函数在上的最小值、最大值分别为和1.(1)确定a，b的值；(2)解方程=0.【分析】（1）分类讨论，由函数的单调性求解参数的值即可；（2）分类讨论，将函数的零点问题转化为方程的根的问题求解即可.【详解】（1）当时，是上的增函数，所以，即，解得；当时，是上的减函数，所以，即，解得；故或.（2）当时，，令，解得x=或x=；当时，，令，解得x=或x=；故方程=0的根为和或和.题型三：V型函数的应用23.已知函数fx=x2+【答案】 1+22或【详解】fx=2⇒2x−a+a=4x+2⇒x图1图2图3(1)当gx的左支y=−x+a与hx的左支相切时(如图1),−x+a=(2)当gx的左支y=−x+a与hx的右支相切时(如图2),−x+a=(3)当gx的顶点a2,a2在hx的右支上时(如图3),a2综上:a=1+22【点评】本题关键是通过变形把题目条件化为V形函数和反比例函数的交点问题,分别作出图象,观察图象变化,得出变量a的值.24.(2024-2025学年浙南名校联盟高一上期中16题)设函数fx=2x−a−4【答案】或或【详解】由方程，可得，即，令，，可得的顶点为在上，又由与的交点坐标为，，联立方程组，整理得，由，解得.作出函数的图象，如图所示，要使得有两个不同的解，则函数过时，显然符合，此时，由此实数的取值范围是或或.故答案为：或或.25．（24-25高一上·云南昆明·期中）定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）.(1)判断是否为“型函数”?并说明理由；(2)是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)若函数是“型函数”，求实数的取值范围.【分析】（1）根据二次函数性质求出和的值域，再利用“型函数”定义判断即可.（2）先根据复合函数的定义域求得，再根据“型函数”的单调性列不等式求解即可.（3）按照和分类讨论，利用单调性求出对应的值域，根据“型函数”定义列不等式，求解即可.【详解】（1）函数，当时，，当时，，当时，，不存在，使，所以不是“型函数”；（2）首先函数的定义域为，则，得，由复合函数单调性可知，函数在单调递减，在区间单调递增，所以只需对任意恒成立即可，所以；（3）函数是“型函数”，当时，在上单调递增，，而，要使存在且唯一，则有，解得：，所以，当时，在单调递减，在单调递增，所以，而，要使存在且唯一，则有，设，即，解得，解得：所以．题型四：高斯函数的应用26．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）对任意的，表示不超过x的最大整数，十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题目的高斯函数取整即可.【详解】依题意，故选：D27．（24-25高一上·河南洛阳·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：.则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据高斯函数的定义即可得解.【详解】由，得，解得，根据高斯函数的定义可得，所以不等式的解集为.故选：D.28．（24-25高一上·湖北·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有大于零的解之和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】，，使，可得，，分类讨论k为奇数和偶数的情况，求出k的值，再代入求解即可.【详解】，，使，则，于是，，若k为奇数，则，，，则，解得，或，当时，，，，，解得，当时，，，，，解得；若k为偶数，则，则，，则，解得，或，当时，，，，，解得，当时，，，，，解得，所以所有大于零的解之和为.故选：D29．（多选）（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（

）A． B．为偶函数C． D．的值域为【答案】AC【分析】根据取整函数的定义判断各选项.【详解】A选项：，A选项正确；B选项：，，即，所以函数不是偶函数，B选项错误；C选项：由已知可得，所以，，C选项正确；D选项：由已知，则，即，D选项错误；故选：AC.30．（23-24高一上·安徽·期末）高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，.下列结论正确的是（

）A．对，若，则 B．函数是上的奇的数C．对任意实数， D．对任意实数，【答案】AD【分析】利用函数定义及单调性的定义判断A；通过举例来判断BC；设，其中为的整数部分，为的小数部分，，分，讨论计算来判断D.【详解】对于A：对，若，则，即，故A正确；对于B：例如，，即，故函数不是奇函数，故B错误；对于C：取，，，不满足，故C错误；对于D：设，其中为的整数部分，，为的小数部分，，则，，若，可得，，若，可得，，所以对任意实数，，故D正确；故选：AD.31．（多选）（24-25高一上·江苏扬州·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，人们更习惯称之为“取整函数”.下列说法正确的是（

）A．函数，的图象不关于原点对称B．函数，的值域为C．，D．不等式的解集为【答案】AB【分析】根据高斯函数的定义，通过举例和讨论的方法，判断选项.【详解】A.，，所以函数，的图象不关于原点对称，故A正确；B.当，时，，当时，，所以函数，的值域为，故B正确；C.当时，，，故C错误；D.不等式，即，得，所以，故D错误.故选：AB32．（多选）（24-25高一上·广东·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，如=-2，称为高斯函数，记，则下列说法正确的是（

）A．B．的值域为C．不等式的解集为D．所有满足的点组成的区域的面积和为2024【答案】ACD【分析】分别利用题中的新概念判断，每一个选项即可.【详解】由题可知，，故A正确；设,，则，若，则，所以与假设矛盾，故，当时，显然与假设矛盾，故，即的值域为，故B错误；当，可知，故无解，当时，，故无解，当时，，故无解，当时，，解不等式，故此时不等式的解集为，当时，，故无解，综上所诉，不等式的解集为，故选项C正确；当时，得，此时满足点的区域的面积为1；当时，得，此时满足点的区域的面积为1；……当时，得，此时满足点的区域的面积为1；当时，，故为一个点，无面积所以所有满足的点组成的区域的面积和为2024，故选项D正确.故选：ACD33.(多选)（24-25高一上·湖南怀化·期中）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（

）A．B．的解集为C．若，则D．【答案】BD【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：整理可得，结合题意分析求解即可；对于C：分析可知，分析和两种情况运算求解；对于D：，整理可得，分和两种情况运算求解即可.【详解】对于A：取，故A错误；对于B：因为，可得，又因为，即，可得，即，故B正确；对于C：若，则，又因为，则，当时，；当时，；综上所述：，故C错误；对于D：设，则，所以，当时，，可得，故当时，成立；当时，则，可得，故当时，成立；故D正确；故选：BD.【点睛】解不等式，我们可以得到，因为，所以我们其实只需要讨论的时候即可.34．(多选)（24-25高一上·山西·期末）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如：，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（

）A．在R上单调递增，且图象关于原点对称B．函数的值域为C．函数在上单调递增D．函数与函数的图象没有交点【答案】BCD【分析】对于A，通过举反例即可判断结论错误；对于B，由即可求得的值域并判断；对于C，分段表示，易判断函数在上的单调性；对于D，求出函数的详解式，作出图象，数形结合即可判断.【详解】对于A，当时，，且当时，，故在R上不是增函数，且图象也不关于原点对称，故A错误；对于B，如图，由于，所以，所以函数的值域是，故B正确；对于C，，满足函数单调递增的条件，故C正确；对于D，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，，作出函数图象如图所示，由图可知，函数在上的值域为,故其与函数的图象没有交点，故D正确.故选:BCD35．（24-25高一上·湖南·期中）已知为实数，用表示不超过的最大整数.则函数称为取整函数，也叫高斯（Gaussian）函数，例如[3.5]=3，.(1)若函数，求的值；(2)若存在，使得，则称函数是函数，若函数是函数，求实数的取值范围.【分析】（1）根据题设函数定义求对应函数值；（2）根据题设有列方程得，即可求参数范围.【详解】（1）由于，所以，；（2）当时，，则存在，使得，对于，得，所以，即的取值范围是.36．（24-25高一上·江西宜春·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：，用表示不超过的最大整数，例如：.(1)已知，正数满足，求的最小值；(2)设方程